江苏省南京市金陵中学河西分校2023~2024学年八年级上学期10月月考数学试卷（月考）

2023~2024学年金陵中学河西分校八年级上学期10月月考数学试卷

命题人：施宇                 审核人：欧丽丽

一、选择题（本答题共8小题，每小题2分，共16分）.

1．2的平方根是　　

A．4 B． C． D．

2．下列图形中不一定是轴对称图形的是　　

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形

3．下列四组线段、、，能组成直角三角形的是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

4．下列整数中，与最接近的是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

5．如图，点在锐角的内部，连接，，点关于、所在直线的对称点分别是、，则、两点之间的距离可能是　　

A．8 B．7 C．6 D．5

6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为　　

A． B． C． D．

7．如图，直角三角形纸片中，，，将其沿边上的中线折叠，使点落在点处，则的度数为　　

A． B． C． D．

8．如图，若点是正方形内一点，，，，则的度数为（    ）．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

9. 计算：         .

10．比较大小：　　3（填“”、“ ”或“” ．

11．若等腰三角形一个内角的度数为，则它的顶角的度数是 　　         ．

12．若，则的取值范围是 　　 ．

13．如图，在四边形中，，．下列结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中所有正确结论的序号是 　     　．

14．如图，在中，，，，则点到的距离是       .　　

15．如图，在中，、的平分线交于点，经过点，且，分别交、于点、．若，，则　 　．

16．在中，将、按如图所示方式折叠，点、均落于边上一点处，线段、为折痕．若，则　  　．

17．如图，中，，分别以、为斜边作等腰直角三角形、，以为边作正方形．若与的面积和为9，则正方形的边长等于　  　．

18．如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点（与、不重合）在底边上从向以的速度移动，当运动　   　秒时，是直角三角形．

三、解答题（本大题共9小题，共64分）

19. （6分）计算：（1）            （2）

20.（6分）求的值：（1）

21．（6分）如图，将长为的橡皮筋放置在桌面上，固定两端和，然后把中点向上竖直拉升到点，则橡皮筋被拉长了多少？

22．（6分）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”．其中有一个法则是“如果是大于2的偶数，那么，的一半的平方减1，的一半的平方加1是一组勾股数．”

（1）按照这个法则，写出2组不同的勾股数 　       　，　      　（最大数不超过．

（2）用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．

23．（6分）在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．

24．（8分）如图，在中，，，，将沿翻折，使点落在点处．

（1）设，在中，根据勾股定理，可得关于的方程 　　；

（2）分别求、的长．

25．（8分）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．

（1）如图1，当点为的中点时，求证：

（2）如图2，若，，求的长.

26．（8分）如图，在中，，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹）

（1）如图①，在边上求作一点，使点到点的距离等于点到边的距离；

（2）如图②，在边上求作一点，使点到点的距离等于点到边的距离．

27．（10分）如图1，中，于，且．

（1）试说明是等腰三角形；

（2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点运动的时间为（秒．

①若的边与平行，求的值；

②在点、运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，直接写出的值；若不能，请说明理由．

【答案与解析】

2023~2024学年金陵中学河西分校八年级上学期10月月考数学试卷

命题人：施宇                 审核人：欧丽丽

一、选择题（本答题共8小题，每小题2分，共16分）.

1．2的平方根是　　

A．4 B． C． D．

【分析】如果一个数，那么就是的一个平方根．正数有两个平方根，并且互为相反数，利用平方根的定义解答．

【解答】解：，

的平方根是．

故选：．

【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2．下列图形中不一定是轴对称图形的是　　

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：、不一定是轴对称图形，若直角三角形不是等腰直角三角形就不是轴对称图形；

、、都是轴对称图形．

故选：．

【点评】本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．

3．下列四组线段、、，能组成直角三角形的是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【分析】根据如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．

【解答】解：、，不能组成直角三角形，故此选项错误；

、，能组成直角三角形，故此选项正确；

、，不能组成直角三角形，故此选项错误；

、，不能组成直角三角形，故此选项错误；

故选：．

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

4．下列整数中，与最接近的是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】估算出的值即可解答．

【解答】解：，

，

，

，

最接近的整数是3，

故选：B．

【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．

5．如图，点在锐角的内部，连接，，点关于、所在直线的对称点分别是、，则、两点之间的距离可能是　　

A．8 B．7 C．6 D．5

【分析】由轴对称的性质可得，，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．

【解答】解：连接，，，

点关于、所在直线的对称点分别是、，

，，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，解本题的关键是熟练掌握轴对称性和三角形三边关系定理．

6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，设旗杆的高为，则绳子的长为，再由勾股定理，即可求解．

【解答】解：根据题意，画出图形，，如图：

设旗杆的高为：，则绳子的长为，

在中，

由勾股定理得：，

即，

解得：，

即旗杆的高为．

故选：．

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，能够正确根据题意画出图形，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．

7．如图，直角三角形纸片中，，，将其沿边上的中线折叠，使点落在点处，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等腰三角形的性质，和翻折的性质可知．进而可以解决问题．

【解答】解：是上的中线，，

，

，

．

由翻折的性质可知：．

．

故选：．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质，直角三角形斜边上的中线，求得是解题的关键．

问题解决

8．如图，若点是正方形内一点，，，，则的度数为（    ）．

【解答】将绕点按顺时针方向旋转，使与重合

则，，，，

由勾股定理得：；

，，

，

，

又，

，

，

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

9. 计算：         .

【解答】，故答案为

10．比较大小：　　3（填“”、“ ”或“” ．

【分析】估算出的值即可解答．

【解答】解：，

，

，

，

故答案为：．

【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方数是解题的关键．

11．若等腰三角形一个内角的度数为，则它的顶角的度数是 　　         ．

【分析】可知有两种情况（顶角是和底角是时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．

【解答】解：如图所示，中，．

有两种情况：

①顶角；

②当底角是时，

，

，

，

，

这个等腰三角形的顶角为或．

故答案为：或．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．

12．若，则的取值范围是 　　 ．

【分析】根据二次根式的性质列出关于的不等式，求出的值即可．

【解答】解：，

，解得．

故答案为：．

【点评】本题考查的是二次根式的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．

13．如图，在四边形中，，．下列结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中所有正确结论的序号是 　     　．

【分析】根据线段垂直平分线性质即可判断①，根据推出，再判断②③④即可．

【解答】解：，，

、都在线段的垂直平分线上，即垂直平分，故①正确；

在和中，，，故④正确；

，，

即平分，故②正确；

和不一定相等，

和不一定相等，

即和不一定平行，故③错误；

即正确的结论序号是①②④，

故答案为：①②④．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定定理和性质定理等知识点，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．

14．如图，在中，，，，则点到的距离是       .　　

【分析】过点作交的延长线于点，由勾股定理得出，代入数据得出的长，再根据勾股定理即可求解．

【解答】解：如图，过点作交的延长线于点，

在与中，由勾股定理得，

，

即，

，

，

即点到的距离是12，

故答案为：12

【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

15．如图，在中，、的平分线交于点，经过点，且，分别交、于点、．若，，则　 　．

【分析】根据平分，平分，且，结合等腰三角形的判定可证得，，于是得到，进而求出．

【解答】解：、的平分线相交于点，

，，

，

，，

，，

，，

，即，

，，

，

故答案为：2．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据角平分线的定义即平行线的性质证得，是解决问题的关键．

16．在中，将、按如图所示方式折叠，点、均落于边上一点处，线段、为折痕．若，则　  　．

【分析】由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解．

【解答】解：线段、为折痕，

，，

，

，

，

，

故答案为：82．

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数．

17．如图，中，，分别以、为斜边作等腰直角三角形、，以为边作正方形．若与的面积和为9，则正方形的边长等于　  　．

【分析】分别以，为边向的外部作正方形，则，，由勾股定理可得，进而可求解的长．

【解答】解：分别以，为边向的外部作正方形，

则，，

在中，

，

，

，

，

．

故答案为6．

【点评】本题主要考查勾股定理，分别以，为边向的外部作正方形，利用勾股定理列算式时解题的关键．

18．如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点（与、不重合）在底边上从向以的速度移动，当运动　   　秒时，是直角三角形．

【分析】过作于，根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理得到，分两种情况：①当点运动秒后有时，如图1，根据勾股定理得到；②当时，如图2，根据等腰三角形的性质得到．

【解答】解：过作于，

，

，

，

分两种情况：

①当点运动秒后有时，如图1，

则，，

，

，

解得：；

②当时，如图2，

，

，

，

综上所述，当运动或秒时，是直角三角形，

故答案为：1.75或4．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，此题难度适中，解题的关键是分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．

三、解答题（本大题共9小题，共64分）

19. （6分）计算：（1）            （2）

【解答】（1）

（2）

20.（6分）求的值：（1）

【解答】（1）                        （2）

（2）

或

21．（6分）如图，将长为的橡皮筋放置在桌面上，固定两端和，然后把中点向上竖直拉升到点，则橡皮筋被拉长了多少？

【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．

【解答】解：中，，；

根据勾股定理，得：；

；

故橡皮筋被拉长了．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

22．（6分）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”．其中有一个法则是“如果是大于2的偶数，那么，的一半的平方减1，的一半的平方加1是一组勾股数．”

（1）按照这个法则，写出2组不同的勾股数 　       　，　      　（最大数不超过．

（2）用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明．

【分析】（1）分别令，，再求出其余的数即可；

（2）分别用表示出一组勾股数，再找出其数量关系即可．

【解答】解：（1）当时，这一组勾股数是3，4，5；

当时，这一组勾股数是6，8，10．

故答案为：3，4，5；6，8，10；

（2）当大于2时，．

证明：左边

；

右边．

左边右边，

等式成立．

【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键．

23．（6分）在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．

【分析】关键是根据三角形内角和解答即可．

【解答】已知：在中，点是的中点，连接，且，

求证：为直角三角形，

证明：由条件可知，，

则，，

又，

．

【点评】此题考查直角三角形的性质，根据是根据三角形的内角和解答．

24．（8分）如图，在中，，，，将沿翻折，使点落在点处．

（1）设，在中，根据勾股定理，可得关于的方程 　　；

（2）分别求、的长．

【分析】（1）由折叠的性质得出，，设，则，在中，由勾股定理可求出答案；

（2）由勾股定理可求出答案．

【解答】解：（1）将沿翻折，使点落在点处．

，，

设，则，

，

，

故答案为：；

（2）由（1）得，

解得，

，

．

，，

，

，

．

【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

25．（8分）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．

（1）如图1，当点为的中点时，求证：

（2）如图2，若，，求的长.

【解答】（1）证明：

，

，

是等边三角形，

，

点为的中点，

，，

，

，

，

，

，

在中，，∴

∴

（2）过点作，交于点，

则，，，

是等边三角形，

，，

，，

为等边三角形，，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，

；

，

．

【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

26．（8分）如图，在中，，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹）

（1）如图①，在边上求作一点，使点到点的距离等于点到边的距离；

（2）如图②，在边上求作一点，使点到点的距离等于点到边的距离．

【分析】（1）作的角平分线交于点；

（2）作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点．

【解答】解：（1）如图①，点为所作；

（2）如图②，点为所作．

【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离．

27．（10分）如图1，中，于，且．

（1）试说明是等腰三角形；

（2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点运动的时间为（秒．

①若的边与平行，求的值；

②在点、运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，直接写出的值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）设，，，由勾股定理求得的长即可判断；

（2）由的面积求出、、、；①当时，；当时，；得出方程，解方程即可；

②分和两种情况，根据相似三角形的判定与性质分别得出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）设，，，

则，

在中，，

，

是等腰三角形；

（2），

而，

，

则，，，．

①当时，，

即，

；

当时，，

得：；

若的边与平行时，值为5或6．

②由题意知，，

如图1，

当时，，

则，即，

解得：；

如图2，

当时，，

则，即，

解得：；

综上，或时，是直角三角形．

【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．