重庆市南开中学2023-2024学年高一数学上学期9月测试试题（Word版附解析）

重庆南开中学高2026级高一上数学

一、选择题（本大题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 集合的意义是（    ）

A. 第二象限内的点集

B. 第四象限内点集

C. 第二、四象限内的点集

D. 不在第一、三象限内的点的集合

【答案】D

【解析】

【分析】意味着和异号或至少一个为零，结合象限的概念可得结果．

【详解】因为意味着和异号或至少一个为零，

故为第二、四象限内的点或坐标轴上的点，即不在第一、三象限内的点，

所以的意义是不在第一、三象限内的点的集合.

故选：D．

2. 已知集合，则集合真子集个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】求出后，由真子集的定义可得．

【详解】集合中元素满足，即该数为大于1的奇数，

而集合中大于1的奇数只有3和9.

所以，

的真子集有3个，分别是：，，.

故选：C.

3. 已知集合，且，则实数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 0或3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据得或，求出后验证集合中元素的互异性可得结果.

【详解】因为且，

所以或，

①若，此时，不满足互异性；

②若，解得或3，

当时不满足互异性，当时，符合题意.

综上所述，.

故选：B

4. 下列集合中表示同一集合的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.

【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；

对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；

对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；

对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确.

故选：D.

5. 已知集合 A=

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合与元素的关系，列不等式求解即可.

【详解】由题意： ,

∴

解得：

故选：C

6. 若集合中的元素都是非零实数，定义，若，且中有4个元素，则的值为（    ）

A. 1 B.  C. 1或 D. 1或

【答案】C

【解析】

【分析】根据所给定义，求出中的所有元素，再分类讨论可得.

【详解】解：

根据定义，且中有4个元素，

，，，，，，

当时，解得，不满足条件，

当时，解得，满足条件，

当时，解得，不满足条件，

当时，解得，不满足条件，

当时，解得，满足条件，

当时，解得，不满足条件，

故选：.

【点睛】本题考查集合中的新定义，分类讨论思想，属于基础题.

7. 若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由集合的新定义先确定集合，而要想取得最大值，则要最小，从而确定，即可求解

【详解】因为，

所以为

又且为互斥集，

所以为，

要想取得最大值，

则要最小，此时，

不妨令，则，

故选：C

8. 已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解.

【详解】由题知：集合，若，且对任意、，均有，作如下等价转化：

考虑，是平面内的满足题目条件的任意两点，

“”等价于“或”

即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，

要使集合中这样的点最多，就是直线两条直线上的整数点，共19个，

（当然也可考虑直线两条直线上的整数点，共19个）
故选：D

二、选择题（本大题共4小题、每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分、有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 下列关于集合的命题错误的有（    ）

A. 很小的整数可以构成集合

B. 集合与集合是同一个集合

C. 1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素

D. 空集是任何集合的子集

【答案】ABC

【解析】

【分析】结合集合的确定性，互异性，集合中元素特征直接判断即可.

【详解】对A选项，元素不确定，不构成集合，故A错；

对B选项，表示函数的值域，表示函数图象上的所有点坐标构成的集合，故B错误；

对C选项，，故组成的集合应该有3个元素，C错误；

对D选项，空集是任何集合的子集，正确，

故选：ABC

10. 设全集，集合，，则包含的集合可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】首先求，再求包含的集合.

【详解】由题意可知，，，

所以，

所以包含的集合可以是A，D.

故选：AD

11. 已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（    ）

A.  B.

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】由，利用条件②和③判断选项AB；得，根据，由②得到，再根据，利用②判断选项C；根据，，利用②得到，再由③得到，，进而再由②判断.

【详解】因为，由②得，，，由③得，故A正确，B错误；

因为，由②得，所以，故C正确；

因为，，由②得，由③得，，由②得，由③得，由②得，故D正确；

故选：ACD

12. 对非空有限数集，定义运算“”：表示集合A中的最小元素．现给定两个非空有限数集A，B，定义集合，我们称为集合A，B之间的“距离”，记为．则下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 对于任意有限数集A，B，C，均有

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题中条件可得AC正确，通过举反例可得BD错误.

【详解】对于A，若，则A，B中最小的元素相同，则，故A为真命题；

对于B，取集合，，满足，而，故B为假命题；

对于C，若，则A，B中存在相同的元素，所以交集非空集，故C为真命题；

对于D，取集合，，，可知，，，则不成立，故D为假命题．

故选：AC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上）

13. 方程组的解集是______．

【答案】

【解析】

【分析】解方程组，得到解集.

【详解】，两式相减得，解得，

代入，可得，

故方程组的解集为.

故答案为：

14. 若集合，实数的值为______

【答案】

【解析】

【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案．

详解】令,,，,,，

,,，，，

若，则，则,,，,,，满足要求；

若，则，而中元素，矛盾；

若，则，则,,，,,，满足要求；

故实数的值为.

故答案为：

15. 若集合，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

对二次项系数a是否为0进行讨论，根据二次函数图像与性质，列出不等式，即可得答案.

【详解】当时，不等式可化为，不成立，故为空集，满足题意；

当时，根据二次函数图像与性质可得，解得，

综上.

故答案为：

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，涉及分类讨论的思想，属基础题.

16. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________.

【答案】6

【解析】

【分析】将原问题转化为Venn图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.

【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，

则有：

，

即，

即，当时，x的最大值为6，

即三天都开车上班的职工人数至多是6.

故答案为：6

【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）的值为0或   

（2）的值为

【解析】

【分析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值．

（2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值．

【小问1详解】

集合中有三个元素：，，，，

或，

解得或，

当时，，，，成立；

当时，，，，成立．

的值为0或．

【小问2详解】

集合中也有三个元素：0，1，，，

当取0，1，时，都有，

集合中的元素都有互异性，，，

．

实数的值为．

18. 已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，再把代入，利用补集、交集的定义求解作答.

（2）由已知可得，再利用集合的包含关系分类求解作答.

【小问1详解】

解不等式，得，即，

当时，，，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，由，得，

当，即时，，满足，因此；

当，即时，，即有，

则，解得，因此，

所以实数的取值范围.

19. 集合，.

（1）若，写出集合B的真子集；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）当时，集合B的真子集为：，，；当时，集合B的真子集为：.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据集合的交集，元素与集合的关系以及一元二次方程进行求解.

（2）根据集合的包含关系，分类讨论求解.

【小问1详解】

由题知，，若，

则，

所以，，

解得或，

当时，，

所以集合B的真子集为：，，；

当时，，

所以集合B的真子集为：.

综上，当时，集合B的真子集为：，，；当时，集合B的真子集为：.

【小问2详解】

对于集合B中的方程，，

因为，所以，

当，即，此时，显然满足；

当，即，此时，满足；

当，即，当才能满足条件，

由韦达定理有，，即，无解.

故实数a的取值范围是.

20. 已知全集，集合．

（1）若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M；

（2）集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）能，.

【解析】

【分析】（1）当时，由，得到，求得，结合条件即可求解；

（2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解.

小问1详解】

解：当时，可得，

因为，所以，

又由，

又因AMB，

所以这样的集合M共有如下6个：.

【小问2详解】

解：能；

由，可得，

若时，此时满足是的一个子集，此时，解得；

若时，由（1）知，

当时，，此时，此时不是的一个子集；

当时，，此时，此时是的一个子集；

当时，，此时，此时是的一个子集，

综上可得，当或时，满足，

此时实数的取值范围为.

21. 已知集合，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集．

（1）当，时，分别写出集合，的衍生和集；

（2）当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．

【答案】（1）的衍生和集；的衍生和集   

（2）最大值为，最小值为

【解析】

【分析】（1）由衍生和集定义可直接写出结果；

（2）设，，列举得到所有必然不相等的两个元素之和的情况，由此得到最小值；假设任意两个元素之和都不相等，可确定最大值.

【小问1详解】

由衍生和集的定义知：集合的衍生和集；集合的衍生和集.

【小问2详解】

当时，设集合，且；

，

集合的衍生和集的元素个数的最小值为；

若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为；

最大值为，最小值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题关键是明确衍生和集的本质是集合中两个元素之和，根据集合中元素的互异性可确定衍生和集中元素个数最小和最大的情况.

22. 设集合，若集合S中的元素同时满足以下条件：

①，恰好都含有3个元素；

②，，为单元素集合；

③

则称集合S为“优选集”．

（1）判断集合，是否为“优选集”；

（2）证明：若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合；

（3）若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值．

【答案】（1）不是“优选集”， 是“优选集”；   

（2）证明过程见详解；   

（3）7

【解析】

【分析】（1）根据“优选集”的定义判断即可；

（2）先取，其中，，，，，，，可得，可以属于S中的三个集合，再用反证法证明不存在，使得可以属于S中的四个集合即可；

（3）结合（2）可知S中的元素个数可以为7，再用反证法证明不存在即可．

【小问1详解】

对于集合，

满足条件①：和恰好都含有3个元素；

满足条件②：为单元素集合；

但不满足条件③：，则不是“优选集”；

对于集合，

满足条件①：，和恰好都含有3个元素；

满足条件②：，，为单元素集合；

满足条件③：．所以集合是“优选集”．

【小问2详解】

由集合S为“优选集”，

结合（1）显然，可以属于S中的零个集合，一个集合，两个集合，

取集合，其中，，，，，，，

此时，可以属于S中的两个集合，三个集合，

假设存在，使得可以属于S中的四个集合，即，其中，

为了满足条件③，显然还存在，

为了满足条件②，中的元素必须在，，，中除外的另外两个元素中各选一个，

此时中有4个元素，显然不满足条件①，

因此假设不成立，

故若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合；

【小问3详解】

结合（2）有集合，其中，，，，，，，此时S的元素个数为7，

假设存在，则可得中必有元素或，

不妨令，要使，，都为单元素集合，

则或或或，

当时，，舍去；

当时，不是单元素集合，舍去；

当时，不是单元素集合，舍去；

当时，不是单元素集合，舍去，

因此假设不成立，

故集合S的元素个数的最大值为7．