重庆市南开中学2023-2024学年高二数学上学期9月测试试题（Word版附解析）

重庆南开中学高2025届高二（上）数学测试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填写在答题卡相应的位置上，

1. 直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用直线的点斜式方程求解.

【详解】因为直线的倾斜角，

所以直线的斜率为1，

又直线经过点，

所以直线的方程为，

即，

故选：C

2. 两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ）

A. 垂直 B. 斜交

C. 平行 D. 重合

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及直线的斜率关系判定直线位置关系即可.

【详解】不妨设两直线的斜率分别为，则由题意有，所以两直线互相垂直.

故选：A

3. 直线与直线平行，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答.

【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，，

解得或，

当时，直线与直线重合，

当时，直线与直线平行，

所以的值为.

故选：C

4. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.

【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，

当时，直线过原点，斜率为，故方程为；

当时，直线的斜率，

故直线方程为，即，

故选：D

5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，

【详解】记，则为直线的斜率，

故当直线与半圆相切时，得k最小，

此时设，故，解得或（舍去），

即．

故选：C

6. 已知点为直线上的一点，分别为圆与圆上的点,则的最大值为

A 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】求得关于直线的对称点为，由对称性可得，，结合圆的几何性质，可得，从而可得结果.

【详解】求得关于直线的对称点为，

解得，

由对称性可得，

则，

由于，

，

的最大值为，故选C.

【点睛】本题主要考查圆的方程与性质、点关于直线对称问题以及解析几何求最值，属于中档题.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.

7. 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意计算得的轨迹方程为，根据对称性可得圆心在直线方程上，即，从而利用乘“1”法即可得到最值.

【详解】设点的坐标为，因为，则，

即，

所以点的轨迹方程为，

因为点的轨迹关于直线对称，

所以圆心在此直线上，即，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值是.

故选：B.

8. 已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解.

【详解】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，

由得点，由得点，而，，

于是得，

而表示动点到定点与的距离的和，

显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，

当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，

从而得取最小值，

所以，当直线l3方程为：时，取最小值.

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

9. 下列选项正确的是（    ）．

A. 过点且和直线平行的直线方程是

B. 若直线l的斜率，则直线倾斜角的取值范围是

C. 若直线与平行，则与的距离为

D. 圆和圆相交

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A：根据题意可设直线方程是，代入点运算求解即可；对于B：根据斜率与倾斜角的关系结合图象分析求解；对于C：根据平行关系求的方程，进而结合两平行线间的距离公式运算求解；对于D：分别求圆心和半径，进而可得，根据两圆位置关系分析判断.

【详解】对于选项A：设与直线平行的直线方程是，

因为直线过点，

则，解得，

所以过点且和直线平行的直线方程是，故A正确；

对于选项B：因为，如图所示，

若，所以，故B错误；

对于选项C：若直线与平行，

则，解得，

可知，即，

所以与的距离为，故C错误；

对于选项D：圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，

因为，且，

即，所以圆和圆相交，故D正确；

故选：AD.

10. 已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（    ）

A. 点的坐标为 B.

C. 的最大值为10 D. 的轨迹方程为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据直线方程求出定点的坐标，判断A，证明直线垂直，判断B，再结合判断C，D.

【详解】直线的方程可化为，

所以直线过定点，

直线的方程可化为，

所以直线过定点，

所以点的坐标为，点的坐标为，所以A错误，

由已知，

所以直线与直线垂直，即，B正确，

因为，所以，

故，

所以，当且仅当时等号成立，

C正确；

因为，故，

设点的坐标为，

则，

化简可得，

又点不是直线的交点，点在圆上，

故点的轨迹为圆除去点，D错误；

故选：BC.

11. 已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点．则下列说法正确的是（   ）

A. 四边形的面积最小值为

B. 最短时，弦长为

C. 最短时，弦直线方程为

D. 直线过定点为

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题意可得当取最小值时，的面积最小，四边形的面积取最小值，此时最短，弦长为，弦的直线方程为，即可得AB正确，C错误；易知在以为直径的圆上，设，以为直径的圆的方程可表示为， 可得直线方程为，过定点为，D错误.

【详解】如下图所示：

由直线分别于圆切于点可得，，又，是公共边，

所以，即四边形的面积，

对于A，当面积最小时，四边形的面积取最小值，

，

所以当取最小值时，即为圆心到直线的距离时面积最小，

即，四边形的面积的最小值为，即A正确；

对于B，由A可知，当取最小值时，最短，

此时，所以B正确；

对于C，易知在以为直径的圆上，又，当最短时不妨设，

则，且，解得，即，

所以，且的中点为，

即以为直径的圆的方程为，

与圆相减即可得公共弦的直线方程为，即C错误；

对于D，设，由C可知，在以为直径的圆上，

所以圆心坐标为，半径为，

即以为直径的圆的方程可表示为，

与圆相减整理得，直线方程为，

此时直线过定点为，即D错误.

故选：AB

12. 已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（    ）

A. 的面积的最大值为

B. 直线被圆截得的弦长的最小值为

C. 有且仅有一个点，使得为等边三角形

D. 有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线

【答案】ACD

【解析】

【分析】设点到直线的距离为，由求得的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，利用为等边三角形，则需，判断C，利用射影定理可得进而判断D.

【详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，，

所以，且，

对于A选项，设点到直线的距离为，则，

所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确；

对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7，

所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；

对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为，

所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以，

当且仅当四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确；

对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得，

同上，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确；

故选：ACD

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应位置上.

13. 平行直线与之间的距离为_________．

【答案】##0.3

【解析】

【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案.

【详解】由题意得即

则平行直线与之间的距离为，

故答案为：

14. 已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为__________.

【答案】

【解析】

【分析】直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求直线的方程.

【详解】由题意，直线的方程化为，

由得

∴直线过定点，显然点在圆内，

要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，

，解得，

代入到直线的方程并化简得.

故答案为：.

15. 已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先求得直线与直线的交点，然后利用角平分线定理求得点坐标，进而求得直线的方程.

【详解】，直线的方程为，

由解得，设，

依题意，的平分线为直线，

由正弦定理得，

由于，由此整理得,

则，设，

则，

整理得，解得或（舍去），

则，，

直线的方程为.

故答案为：

16. 在中，，点是边上的一点，且，当的面积最大时，则____________.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，求出点​的轨迹为以​为圆心，半径为2的圆，数形结合，得到当​在​处时，​的面积最大，从而求出.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.

则​.

令​.

由​，即​.

所以​，即点​的轨迹为以​为圆心，半径为2的圆.

所以当​在​处时，​的面积最大.

所以.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案填写在答题卡相应的位置上.

17. 圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.

（1）当弦AB最长时，求直线l的方程；

（2）当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）弦AB最长时，直线l过点和圆心,可求方程；

（2）根据弦长，求得圆心到直线距离，利用点到距离公式可求直线方程

【小问1详解】

圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为.

又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为，

即.

【小问2详解】

当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，

弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得，

圆心到直线距离为，即，解得，

此时直线l的方程为，

经检验k不存在时的直线也符合条件.

所以直线l的方程为或.

18. 已知为圆C：上任意一点，且点．

（1）求的最大值和最小值．

（2）求的最大值和最小值．

（3）求的最大值和最小值．

【答案】【小问1】最大值为，最小值为

    【小问2】最大值为，最小值为

    【小问3】最大值为9，最小值为1

【解析】

【分析】（1）利用图形及点与圆的关系即可得结果；

（2）利用图形将问题转化为斜率最值即可；

（3）利用图形将问题转化为直线与圆的位置关系；

【详解】（1）圆C：，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时取得最小值，

即，

与B重合时取得最大值即，故最大值，最小值为；

（2）易知，由图形知当与圆C相切时取得最值，如图所示.

可设，则C到其距离为，解得，

故最大值为，最小值为

（3）设，如图所示，即过点M的直线的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为，所以或9，故最大值为9，最小值为1.

19. 在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）作交于点，由面面垂直的性质可得平面，可得，再由线面垂直的判定定理得平面，从而得到，再由线面垂直的判定定理可得答案；

（2）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，可得，求出平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.

【小问1详解】

因为侧面为菱形，，，

所以为边长为的等边三角形，

作交于点，则点为的中点，

因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，

平面，可得，

又，，平面，可得平面，

因为平面，所以，因为侧面为菱形，所以，

，平面，所以平面；

【小问2详解】

由（1）知，平面，，取做的中点，连接，

则，所以平面，

以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

，，

设，可得，所以，

设平面的一个法向量为，则

，即，令，可得，

可得，

解得舍去，或，所以.

20. 已知，，分别为三个内角，，的对边，，且，

（1）求；

（2）若为的外接圆，若、分别切于点、，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题目条件可证得,可得为直角三角形，可求出.

（2）用分别表示出，结合均值不等式即可求出答案.

【小问1详解】

因为，则，

所以，则，所以为直角三角形，

所以.

【小问2详解】

的外接圆的半径为，，

又，其中，

所以，

而，

，

当且仅当取等.

所以的最小值为.

21. 在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为.经过坐标原点的直线与圆交于，两点.

（1）求圆的方程；

（2）若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设圆的标准方程，把点的坐标代入，结合弦长公式求解即可；

（2）设，由解方程组的方法用的坐标表示的坐标，然后直接计算斜率即可得定值.

【小问1详解】

由已知圆的圆心在轴上，设圆，

又圆经过点，且被轴截得的弦长为，所以，

解得，所以圆.

【小问2详解】

设，

则直线的方程为，其中，与联立得：

，由韦达定理知，

所以，，所以，

同理，

所以

，所以，

所以定值.

22. 已知在平面直角坐标系中，平面内动点P满足．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与轴的交点，E为直线上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据题意用两点间距离公式求解即可；(2)利用韦达定理求出M，N的坐标，进而求得的直线方程，即可利用基本不等式求出的最小值.

【小问1详解】

设，则，化简得．

【小问2详解】

由题意得，

设，则直线CE的方程为，

直线DE的方程为，

联立得，

则，即，

则，

联立得，

则，即，,

，

①当时，直线MN的斜率，

则直线MN的方程为，

即，，

②当时，直线MN垂直于x轴，方程为，也过定点．

综上，直线MN恒过定点．

又，

所以，

所以，

当且仅当时取等，

所以的最小值为.