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重庆市南开中学2025届高三上学期8月第三次质量检测数学试题（Word版附解析）
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这是一份重庆市南开中学2025届高三上学期8月第三次质量检测数学试题（Word版附解析），文件包含重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题Word版含解析docx、重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. 0B. C. D.
3. 已知函数为偶函数，其图像在点1,f1处的切线方程为，记的导函数为f′x，则（ ）
A B. C. D. 2
4. 设函数，则不等式解集为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 设方程的两根为，，则（ ）
A. ，B.
C. D.
7. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的值域为
B. 是周期函数
C. 在单调递减
D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称
11. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数有且仅有两个零点
B. 函数有且仅有三个零点
C. 当时，不等式恒成立
D. 在上的值域为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是______．
13. 表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______．
14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数的导数．
（1）（t为常数）；
（2）．
16. 已知函数.
（1）当时，求单调区间；
（2）对，恒成立，求a的取值范围.
17. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．
18. 函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，曲线y=fx上两点，连线斜率记为k，求证：；
（3）盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：．
19. 已知动点与定点距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．
①当时，求证：值及的周长均为定值；
②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. 0B. C. D.
3. 已知函数为偶函数，其图像在点1,f1处的切线方程为，记的导函数为f′x，则（ ）
A B. C. D. 2
4. 设函数，则不等式解集为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 设方程的两根为，，则（ ）
A. ，B.
C. D.
7. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的值域为
B. 是周期函数
C. 在单调递减
D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称
11. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数有且仅有两个零点
B. 函数有且仅有三个零点
C. 当时，不等式恒成立
D. 在上的值域为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是______．
13. 表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______．
14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求下列函数的导数．
（1）（t为常数）；
（2）．
16. 已知函数.
（1）当时，求单调区间；
（2）对，恒成立，求a的取值范围.
17. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．
18. 函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，曲线y=fx上两点，连线斜率记为k，求证：；
（3）盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：．
19. 已知动点与定点距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．
①当时，求证：值及的周长均为定值；
②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．
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