中考数学有理数专项复习

这是一份中考数学有理数专项复习，共16页。试卷主要包含了基础检测，基础知识回顾，考点把握，有理数的概念和分类，数轴，相反数和绝对值，倒数，有理数的加减法等内容，欢迎下载使用。

 中考有理数专项复习

一 基础检测
1.若（ ）-（-2）=3，则括号内的数是（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．-5

2.计算的结果是（ ）
A、-1 B、-2 C、-3 D、-4

3.（﹣2）﹣2等于（　　）
　 A．﹣4 B．4 C．﹣ D．　
4.计算：的结果是（ ）
A．-3 B．0 C．-1 D．3

5.如果收入15元记作+15元，那么支出20元记作．
A．+5元 B．+20元 C．–5元 D．–20元

6．在，–1，0，–3.2这四个数中，属于负分数的是
A． B．–1 C．0 D．–3.2
7．1不是–1的
A． 相反数 B．绝对值 C．平方数 D．倒数

8.|–2|的倒数是
A． B．– C．2 D．–2

9．计算：
（1）（+1–2.75）×（–24）+（–1）2017． （2）（–1）4–{–[（）2+0.4×（–1）]÷（–2）2}．[来源:Z&xx&k.Com]




二 基础知识回顾
一、正数和负数：
1．正数、负数的概念
正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数．
2．正数和负数的表示方法：
一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的．正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如5、7、50、+14200等；负的量用小学学过的数前面放上“–”（读作负）号来表示，如–3、–8、–47、–4745等．
3．正数和负数的意义：
（1）正数和负数的引入是为了在实际问题中区分表示相反意义的量．为了用数表示具有相反意义的量，我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的．负数是根据实际需要产生的．
（2）描述一堆具有相反意义的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降，增加与减少，盈利与亏损，收入与支出等．
4．注意：
（1）小学学过的数，除了0以外，都是正数，在学习时为了简便把“+”都省略了．
（2）用正数和负数表示相反意义的量时，规定哪种意义的量为正是可以任意选定的（如将上升2米规定为+2米或–2米都可以），一旦选定一种意义的量为正，则另一种相反意义的量就只能为负．
（3）带有“+”号的数不一定是正数，带有“–”号的数不一定是负数．如+（–2）是负数，–（–5）是正数．
（4）0的意义：①小学学习了0可以表示没有；②现在我们知道，0比任何正数都小，比任何负数都大，0是正数和负数的分界点，因此0还常用来表示某个量的基准，如0°C不能理解为没有温度，而是温度中的一个值，也是零上和零下的分界点，在物理学中，0°C表示冰的熔点，0°C常用来作为计量温度的基准．
二、有理数
1．有理数的分类
（1）按有理数的性质分类：；
（2）按有理数的定义分类：．
2．数轴
（1）数轴的定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示–1，–2，–3，…
（2） 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．
（3）数轴的画法：
①画一条水平的直线．[来源:学科网ZXXK]
②在直线上适当选取一点为原点．
③通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）．
④根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次为1，2，3，…，从原点向左，用类似的方法依次标出–1，–2，–3，…，如图所示：

3．相反数
（1）相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0．
（2）注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0．
（3）相反数的判定与性质：求一个数的相反数，只需在这个数的前面加上“–”即可．若原数带符号，则应先添加括号．判断两数是否为相反数，除依据定义外，还可以看两个数的和是否为0，若和为0，则两个数互为相反数，即若a+b=0，则a，b互为相反数；反之，若两个数互为相反数，则这两个数的和一定是0，即若a，b互为相反数，则a+b=0．
（4）多重符号的化简方法：①在一个数前面添加一个“+”，所得的数与原数相等；②在一个数前面添加一个“–”，所得的数是原数的相反数；③对于有三个或三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“–”的个数，当“–”的个数为偶数时，结果取“+”，当“–”的个数为奇数时，结果取“–”．
4．绝对值
（1）绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|．
（2）绝对值的代数定义：[来源:学科网]
①一个正数的绝对值是它本身；
②一个负数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0．
即： 或 ．
（3）绝对值的性质：
①，即有最小值；
②若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零；
③若|x|=a（a>0），则x=±a．
三、有理数的加减法
1．有理数的加法：
（1）有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
③互为相反数的两个数相加得0．
（2）用字母表示有理数加法法则：
①同号两数相加：若a>0，b>0，则；若a<0，b<0，则．
②异号两数相加：若a>0，b<0，且时，则；
若a>0，b<0，且时，则；若a>0，b<0，且时，则a+b=0．
③a+0=a．
（3）加法运算律：
①加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．表达式：a+b=b+a．
②加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变．
表达式：（a+b）+c=a+（b+c）．
③在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
·互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
·符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
·分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
·几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
·整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”．
2．有理数的减法：
（1）有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
（2）对于有理数的减法运算，应先转化为加法，再根据有理数加法法则计算，即加法与减法是互逆运算．
四、有理数的乘除法
1．有理数的乘法法则：
两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0．
2．乘法运算律：
（1）乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．表达式：ab=ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把其中的两个数相乘，积相等．表达式：（ab）c=a（bc）．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
表达式：a（b+c）=ab+ac．
3．倒数的定义：
乘积为1的两个数互为倒数．
4．有理数的除法：
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即（b≠0）；
（2）在进行除法运算时，若能整除，则根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”进行计算；若不能整除，则根据“除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数”进行计算；
（3）除法算式中的小数常化成分数，带分数常化成假分数，以利于转化为乘法时约分；
（4）0不能作除数（即分母）；
（5）多个有理数相除时，可以按从左到右的顺序依次计算，也可以转化为乘法后再计算．
5．有理数的混合运算：
（1）因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算；
（2）结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数时结果为正，负因数个数是奇数时结果为负；
（3）化成乘法后，应先约分再相乘；
（4）有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
五、有理数的乘方
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
三 考点把握
考向一 正数和负数的定义
正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数．
像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数；
像–3，–2.7%，–4.5，–1.2这样在正数前加符号“–”(负)号的数叫做负数．

典例1 如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数
A．都是负数 B．都是正数 C．一正一负网 D．不能确定

1．给出下列各数：–3，0，+5，，+3.1，，2004，+2010，其中是负数的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列结论中正确的是
A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数
C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数
考向二 用正数、负数表示具有相反意义的量
1．相反意义的量注意两点：
（1）它们都是数量，而且必须是同类的量．如节约3吨汽油与浪费1吨水就不具有相反意义的量．
（2）表示的意义要完全相反，而不仅仅是不同．如：向东和向南就不是相反意义的量．
2．通常将上升、增加、盈利、收入等记为正的，下降、减少、亏损、支出等记为负的．

典例2 下列各对量中，不具有相反意义的是
A．胜3局与负4局 B．收入3000元与支出2000元
C．气温升高4°C与气温升高10°C D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈

3．规定海平面的海拔高度为0米，珠穆朗玛峰高于海平面8844.43米，其海拔高度记作+8844.43米，那么吐鲁番盆地低于海平面155米，则其海拔高度记作
A．+155米 B．–155米 C．+8689.43米 D．–8689.43米
4．某天的温度上升了–2°C的意义是
A．上升了2°C B．没有变化
C．下降了–2°C D．下降了2°C
考向三 “0”的意义
1．0是正数和负数的分界点；
2．0还常用来表示某个量的基准．

典例3 如果正午记作0时，下午3点记作+3时，那么上午8点记作 ．

5．下列结论中正确的是
A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数
C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数
6．下列说法正确的是
A．没有最小的正数 B．–a表示负数
C．0是最小的正数 D．0是最大的负数
考向四 有理数的概念和分类
1．正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．
2．按整数和分数的关系分类：
（1）整数：正整数、0、负整数
（2）分数：正分数、负分数
3．按正数、0和负数的关系分类：
（1）正有理数：正整数、正分数；（2）0；（3）负有理数：负整数、负分数

典例4 下面说法正确的是
A．有理数是正数和负数的统称 B．有理数是整数
C．整数一定是正数 D．有理数包括整数和分数
典例5 下列说法不正确的是
A．任何一个有理数的绝对值都是正数
B．0既不是正数也不是负数
C．有理数可以分为正有理数，负有理数和零
D．0的绝对值等于它的相反数

7．给出下列各数：–3，0，+5，，+3.1，，204，+2010，其中是负数的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．下列实数中小于0的数是
A．2017 B．–2017 C．–（–2017） D．–（–）

考向五 数轴
1．一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数–a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．
2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．[来源:Z_xx_k.Com]

典例6 在数轴上，点B表示–5，从B点出发，沿数轴移动3个单位，则点B表示的数可能是 ．

9．下列说法中错误的是
A．规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴
B．数轴上的原点表示数是零
C．在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大
D．所有的有理数都可以用数轴上的点表示
10．下列结论正确的是
A．数轴上表示6的点与表示4的点相距10
B．数轴上表示+6的点与表示–4的点相距10
C．数轴上表示–4的点与表示4的点相距10
D．数轴上表示–6的点与表示–4的点相距10
考向六 相反数和绝对值
1．几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数．
2．代数意义：互为相反数中，“相反”的意思是说“只有符合相反”，即两个数除符号不同外其余都是相同．例如：–3和+1，虽然符号相反，但不互为相反数，而–3和+3，–1和+1互为相反数．
3．相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个．正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0．
4．绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记住．
5．绝对值的意义
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是正数，一个负数的绝对值是正数，0的绝对值是0．
绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

典例7 两个互为相反数的有理数相乘，积为
A．正数 B．负数 C．零 D．负数或零
典例8 若a+b<0，ab<0，则
A．a>0，b>0
B．a<0，b<0
C．a，b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D．a，b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值

11．2017的相反数是
A．2017 B．–2017 C． D．
12．_______的绝对值是2017，0的绝对值是_______．
考向七 倒数
乘积为“1”的两个数互为倒数；乘积为“-1”的两个数互为负倒数；
1、的倒数是（ ）
A、-5 B、 C、5 D、
2、-的倒数是（ ）
A、 B、 C、- D、-
考向八 有理数的加减法
1．有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0．[来源:学§科§网]
2．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
3．对于有理数的减法运算，应先转化为加法，再根据有理数加法法则计算，即加法与减法是互逆运算．

典例9 计算：．


典例10 有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1.2，–0.8，2.3，1.7，–1.5，–2.7，2，–0.2，则这8箱橘子的总重量是多少？




13．计算：（1）–（–2）+（–3）；（2）（–5.3）+|–2.5|+（–3.2）–（+4.8）．


考向九 有理数的乘除法
1．因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算．
2．结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数时结果为正，负因数个数是奇数时结果为负．
3．化成乘法后，应先约分再相乘．
4．有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．

典例11 计算：． 典例12 ．





14．计算：1÷（–5）×（–）的结果是
A．1 B．–1 C． D．–
15．计算×（–8）÷（–）结果等于
A．8 B．–8 C． D．1
考向十 有理数的乘方
乘方运算法则：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．

典例13 根据有理数乘方的意义，算式可表示为__________．

16．计算（–1）2017的结果是
A．–1 B．1 C．–2017 D．2017
17．算式24+24+24+24的结果是
A．216 B．84 C．28 D．26





四 达标测评
1．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是
A．24.70千克 B．25.30千克 C．24.80千克 D．25.51千克
2．在–2、+、–3、2、0、4、5、–1中，负数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前256年，可记作
A．256 B．–957 C．–256 D．445
4．如果m是一个有理数，那么–m是
A．正数 B．0 C．负数 D．以上三者情况都有可能
5．下列四个数中，正整数是
A．–2 B．–1 C．0 D．1
6．数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是
A．4 B．–4 C．±8 D．±4
7．计算–2+1的值是
A．–3 B．–1 C．1 D．3
8．如果两个数的和是负数，那么这两个数
A．同是正数 B．同为负数C．至少有一个为正数 D．至少有一个为负数
9．计算（–20）+17的结果是
A．–3 B．3 C．–2017 D．2017
10．比–1大2的数是
A．–3 B．–2 C．1 D．2
11．–的倒数是
A．4 B．– C． D．–4
12．|–32|的值是
A．–3 B．3 C．9 D．–9
13．（–3）2的值是
A．–9 B．9 C．–6 D．6
14．下列运算正确的是
A．（–3）2=–9 B．（–1）2017×（–1）=1 C．–9÷3=3 D．–|–1|=1
15．下列四个数中，是负数的是
A．|–3| B．（–3）2 C．–（–3） D．–32
16．火星和地球的距离约为34 000 000千米，用科学记数法表示34 000 000的结果是千米．
A．0.34×108 B．3.4×106 C．34×106 D．3.4×107
17．地球绕太阳公转的速度约是110 000千米/时，将110 000用科学记数法表示为
A．11×104 B．1.1×104 C．1.1×105 D．0.11×106
18．过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少十分之一的包装纸用量，那么能减少吨二氧化碳的排放量，把数据3 120 000用科学记数法表示为
A．312×104 B．0.312×107 C．3.12×106 D．3.12×107
19．计算：8+（–5）的结果为__________．
20．计算–3+|–5|的结果是__________．
21．计算：–22÷（–）=__________．
22．计算
（1）（–）2÷（–）4×（–1）6–（1+1–2）×48． （2）2×（–3）2–5÷（–）×（–2）




（3）26–（–+）×（–6）2．








五 巩固练习
1．如果向北走6步记作+6步，那么向南走8步记作
A．+8步 B．–8步 C．+14步 D．–2步
2．大米包装袋上（10±0.1）kg的标识表示此袋大米重
A．（9.9～10.1）kg B．10.1kg C．9.9kg D．10kg
3．计算–1+2的结果是
A．–3 B．–1 C．1 D．3
4．若数轴上表示–1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是
A．–4 B．–2 C．2 D．4
5．如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为

A．–6 B．6 C．0 D．无法确定
6．的相反数是
A． B．– C．2 D．–2
7．计算（–3）+5的结果等于
A．2 B．–2 C．8 D．–8
8．C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机，其零部件总数超过100万个，将100万用科学记数法表示为
A．1×106 B．100×104 C．1×107 D．0.1×108
9．我市冬季里某一天的最低气温是–10°C，最高气温是5°C，这一天的温差为
A．–5°C B．5°C C．10°C D．15°C
10．–2的倒数是
A．– B． C．–2 D．2
11．有理数–的倒数为
A．5 B． C．– D．–5
12．–|–2|的倒数是
A．2 B． C．– D．–2
13．–22=
A．–2 B．–4 C．2 D．4
14．下列运算结果为正数的是
A．（–3）2 B．–3÷2 C．0×（–2017） D．2–3
15．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000 kg的煤所产生的能量．把130 000 000 kg用科学记数法可表示为
A．13×107 kg B．0.13×108 kg C．1.3×107 kg D．1.3×108 kg
16．计算12+（–18）÷（–6）–（–3）×2的结果是
A．7 B．8 C．21 D．36
17．计算：（–12）÷3=__________．
18．若=2，=6，则=__________．
19．计算：–10+（+6）=__________．
20．计算：|–2|+2=__________．
21．计算：|–3|+（–1）2=__________．
22．计算：
（1）23×（1–）×0.5． （2）．