新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题16 等差数列及其前n项和（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题16 等差数列及其前n项和（含解析），共27页。

专题16 等差数列及其前n项和
【考纲要求】
1、理解等差数列的定义，会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
2、掌握等差中项的概念，深化认识并能运用，掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
3、经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
4、熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
【思维导图】

一、等差数列的概念
【考点总结】
1、数列前n项和的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
等差数列{an}的概念可用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*)．
[化解疑难]
1．“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻．
3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
2、等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝.
[化解疑难]
1．A是a与b的等差中项，则A＝或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．
2．当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项.
3、等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)
[化解疑难]
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
二、等差数列的前n项和
【考点总结】
1、数列前n项和的概念
把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn．则 a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1(n≥2)．
思考　由Sn与Sn－1的表达式可以得出
an＝
2、等差数列前n项和公式
1．公式1：若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝．
2．公式2：若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d．
3．推导方法：倒序相加法
过程：Sn＝a1＋a2＋…＋an，
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，
∵a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1，
∴2Sn＝n(a1＋an)，
∴Sn＝.
4．从函数角度认识等差数列的前n项和公式
(1)公式的变形
Sn＝na1＋＝n2＋(a1－)n.
(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项；
②当d＝0时，Sn＝na1，不是项数n的二次函数．
3、等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列也是等差数列，且公差为.
2．若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d．
3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
4．若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd，＝.
5．若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，
S偶－S奇＝－an＋1，＝.


【题型汇编】
题型一：等差数列及其通项公式
题型二：等差数列的性质
题型三：等差数列的前n项和
题型四：等差数列的前n项和的函数特性
【题型讲解】
题型一：等差数列及其通项公式
一、单选题
1．（2022·江西九江·三模（文））等差数列中，若，则（       ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【解析】
【分析】
根据列出关于的两个方程，解出， 代入即可得到答案
【详解】

，解得

故选：B
2．（2022·四川成都·三模（文））在等差数列中，已知，，则数列的公差为（       ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
设公差为，依题意根据等差数列的通项公式得到方程组，解得即可；
【详解】
解：设公差为，由，，
所以，解得 ；
故选：D
3．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，，则（       ）
A．28 B．30 C．32 D．35
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，通项公式及其前项和公式求解即可.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以公差，
所以，
故选：.
4．（2022·陕西汉中·二模（理））已知等差数列的前项和为，，，则等差数列的公差是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，即可解得的值.
【详解】
设等差数列的公差为，由题意可得，解得.
故选：D.
5．（2022·广西柳州·三模（文））记为等差数列的前项和，若，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列通项和求和公式列出方程组分别求出公差和首项，代入计算即可.
【详解】
由题意得，，，
所以，解得，即.
故选：D.
6．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，的值为（       ）
A．8 B．7 C．6 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得等差数列的通项公式，即可得到取最小值时的值.
【详解】
由，可得，
则等差数列的通项公式为
则等差数列中：
则等差数列的前项和取最小值时，的值为6
故选：C
7．（2022·山西太原·一模（文））设为等差数列的前项和，若，，则（       ）
A．26 B．27 C．28 D．29
【答案】B
【解析】
【分析】
由，求出公差，该根据等差数列前项和公式求出.
【详解】
因为，，
所以，
解得，
所以，
故选：B.
8．（2022·四川雅安·二模）设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（       ）
A．19 B．20 C．21 D．20或21
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令，求出的范围，从而可得出答案.
【详解】
解：设等差数列的公差为，
因为，，
则有，解得，
所以，
令，则，
又，
所以当或时，取最小值.
故选：D.
9．（2022·四川成都·二模（理））已知数列的前项和为．若，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由可证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可得结果.
【详解】
由得：，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
故选：C.
10．（2022·江苏·金陵中学二模）设是公差的等差数列，如果，那么（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得，即可得解.
【详解】
由已知可得
.
故选：D.
题型二：等差数列的性质
一、单选题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列的前n项和为，，，则（       ）
A．-110 B．-115 C．110 D．115
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和等差数列的通项公式求出公差，结合等差数列前n项求和公式计算即可.
【详解】
由题意知，，
得，解得，
所以.
故选：B
2．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列中，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列性质若，则，可得．
【详解】
∵，则
∴
故选：B．
3．（2022·安徽淮南·二模（理））已知等差数列的前n项和为，若，则（       ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
依据等差数列的性质去求的值
【详解】
等差数列的前n项和为，，
则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列
则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20
故选：D
4．（2022·安徽滁州·二模（文））已知是公差不为零的等差数列，若，则（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差数列的性质即可获解
【详解】
由等差数列的性质得，
所以,即
故选:A
5．（2022·四川·成都七中二模（文））已知数列满足，，，则（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断数列为等差数列，结合等差数列的性质可求结果.
【详解】
∵，∴是等差数列．
由等差数列的性质可得，，
∴，，∴．
故选：B．
6．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知等差数列的前项和为，若，则（       ）
A．2020 B．1021 C．1010 D．1002
【答案】C
【解析】
利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】
由，则，
所以.
故选：C
【点睛】
本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
7．（2022·江西·二模（文））己知等差数列的前n项和是，若公差，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和是,可得,根据等差数列的性质,可得,由单调递增,即可做出判断.
【详解】
由,故可知或
,可知等差数列单调递增.所以只能是.故可知
故选:D
8．（2022·河南许昌·三模（文））设等差数列的前项和为，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质求出的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】
由等差数列的性质可得，则，
因此，.
故选：C.
9．（2022·山西太原·二模（理））等差数列的前n项和为，若则公差（       ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的前项和公式和等差数列的概念可证数列是首项为，公差为的等差数列，再根据等差数列的性质，可知，由此即可求出结果.
【详解】
数列为等差数，设其公差为，
则等差数列的前项和，
所以，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列；
所以，所以.
故选：D.
10．（2022·安徽省含山中学三模（文））已知等差数列的前n项和为．若，则（       ）
A．60 B．50 C．30 D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列求和公式及等差数列下标和的性质即可求得答案.
【详解】
.
故选：C．
二、多选题
1．（2022·重庆·二模）设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（       ）
A． B．当时，取得最小值
C． D．当时，的最小值为29
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.
【详解】
解：根据题意，
由.故A正确；
因为，故当时，，，当时，，当或时，取得最小值，故B正确；
由于，故C正确；
因为，，所以由，可得：，因此n的最小值为，故D错误.
故选：ABC
2．（2022·江苏南京·二模）已知是等差数列的前项和，且，则下列说法正确的是（       ）
A．中的最大项为 B．数列的公差
C． D．当且仅当时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由与关系可推导得到，，；根据知B正确；由的正负可确定A错误；根据等差数列性质和求和公式可得到，，由此确定CD正确.
【详解】
，，，，
，B正确；
当时，；当时，；
中的最大项为，A错误；
，，C正确；
，，D正确.
故选：BCD.
题型三：等差数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·辽宁沈阳·一模）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则的前n项和（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出首项，根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】
设等差数列公差d＝2，
由，，成等比数列得，，即，解得，∴n×0＋＝.
故选：B.
2．（2022·河南·一模（文））已知数列为等差数列，首项，公差，前n项和，则（       ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的前n项和公式，结合，求项数n.
【详解】
由题意及等差数列前n项和公式，知：，
∴.
故选：C.
3．（2022·宁夏中卫·三模（理））已知数列满足点在直线上，则数列的前项和
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把点带入直线方程，即得数列的通项公式，再运用等差数列求和公式即可.
【详解】
因为在直线上，所以
即

故选：D.
4．（2022·湖南省临澧县第一中学二模）设为等差数列的前项和，，，则
A．-6 B．-4 C．-2 D．2
【答案】A
【解析】
【详解】
由已知得
解得．
故选A．
考点：等差数列的通项公式和前项和公式．
5．（2022·江西师大附中三模（理））等差数列的前项和为，满足：，则（       ）
A．72 B．75 C．60 D．100
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可得，再利用等差数列的求和公式可求出结果
【详解】
设等差数列的公差为，则由，得
，
化简得，
所以，
故选：B
6．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知在等差数列中，，则（       ）
A．30 B．39 C．42 D．78
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件求得等差数列的首项和公差，即可求得答案.
【详解】
设等差数列的首项为 ，公差为 ，
则 ，解得 ，
故，
故选：B
7．（2022·安徽合肥·二模（文））设等差数列的前项和为，，则的值为（       ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式和等差数列的前项和公式即可求得答案.
【详解】
设等差数列的公差为，
由已知有，解得，
故选：C
8．（2022·重庆·二模）等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（       ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前项和公式和一元二次函数求其最值.
【详解】
设等差数列的首项为，
因为，且，
所以，
解得，
则
，
即取最大值为9.
故选：C.
9．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的基本量，列出关于首项和公差的方程组，求解即可.
【详解】
设等差数列的公差为，由可得：，即；
由可得：，即；解得.
故选：C.
10．（2022·浙江杭州·二模）设等差数列的前n项和为，若，则（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质以及通项公式计算即可.
【详解】
由等差中项的性质得 ， ，即 ，
，
故选：C.
二、多选题
1．（2022·河北沧州·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由条件可得当为奇数时，；当为偶数时，，然后可逐一判断.
【详解】
因为，
所以当为奇数时，；当为偶数时，.
所以，选项错误；又因为，所以，选项B正确；


故C正确
，选项D正确.
故选：BCD
2．（2022·广东惠州·二模）已知为等差数列，其前项和，若，，则（       ）
A．公差 B．
C． D．当且仅当时
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据题意，结合等差数列前项和的公式和性质，一一判断即可.
【详解】
由，得，即.
因，所以，且，故选项AB正确；
因，且，故时，最大，即，故选项C正确；
由，得，即，故D错.
故选：ABC.
题型四：等差数列的前n项和的函数特性
一、单选题
1．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，的值为（       ）
A．8 B．7 C．6 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得等差数列的通项公式，即可得到取最小值时的值.
【详解】
由，可得，
则等差数列的通项公式为
则等差数列中：
则等差数列的前项和取最小值时，的值为6
故选：C
2．（2022·四川雅安·二模）设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（       ）
A．19 B．20 C．21 D．20或21
【答案】D
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令，求出的范围，从而可得出答案.
【详解】
解：设等差数列的公差为，
因为，，
则有，解得，
所以，
令，则，
又，
所以当或时，取最小值.
故选：D.
3．（2022·重庆·二模）等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（       ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前项和公式和一元二次函数求其最值.
【详解】
设等差数列的首项为，
因为，且，
所以，
解得，
则
，
即取最大值为9.
故选：C.
4．（2022·河南许昌·三模（文））已知是等差数列的前n项和，若对任意的，均有．成立，则的最小值为（       ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由成立，得到，公差，分和，，两种情况讨论，求得的范围，即可求解.
【详解】
由题意，等差数列，对任意的，均有成立，
即是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，
当，此时，、是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，即，则.
当，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，，即，
则，则有，，，，，
综合可得，所以的最小值为.
故选：D .
5．（2022·北京·潞河中学三模）已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意且，”与“”推出关系，进而确定它们的关系.
【详解】
由等差数列前n项和公式知：，
∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列，
∴“对于任意且，”必有“”，
而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立，
∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件.
故选：B.
6．（2022·上海·二模）已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（       ）
A．为递增数列
B．当且仅当时，有最大值
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知求出首项和公差即可依次判断.
【详解】
由，知，即，
设等差数列的首项，公差，，解得，
对于A，由，知为递减数列，故错误；
对于B，由，知当或时，有最大值，故B错误；
对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，故C正确；
对于D，由等差数列求通项公式知，解得，故D错误；
故选：C.
7．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数，对任意实数m，n都有，已知，则的最大值等于（       ）
A．133 B．135 C．136 D．138
【答案】C
【解析】
【分析】
由递推关系可得{f (n)}是以31为首项，以为公差的等差数列，利用等差数列的求和公式以及二次函数的性质即可求解所求式子的最大值.
【详解】
因为对任意实数m，n都有，
所以，
所以，
故{f (n)}是以31为首项，以为公差的等差数列，
所以，
对称轴为，
因为,
所以时，取得最大值为136.
故选：C
【点睛】
关键点点点睛：由对任意实数m，n都有，当时推出，得到{f (n)}是等差数列是解题的关键，属于中档题.
8．（2022·河南·三模（理））在等差数列中，，且它的前项和有最小值，则当时，的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析出等差数列的公差大于零，由分析出，，可得出，，进而可得出结果.
【详解】
设等差数列的公差为，，所以，，可得，
由于等差数列的前项和有最小值，且，则，即，
所以，，
若，则，这与矛盾，所以，，，
则，，
因此，当时，的最大值为.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：对于等差数列前项和的最值，可以利用如下方法求解：
（1）将表示为有关的二次函数，结合二次函数图象的开口方向与对称轴来处理；
（2）从项的角度出发：①若有最大值，只需将数列中所有的非负项全部相加；
②若有最小值，只需将数列中所有的非正项全部相加.
二、多选题
1．（2022·福建漳州·三模）已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（       ）．
A．是递增数列 B．是递减数列
C． D．数列的最大项为和
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.
【详解】
解：因为，所以数列的最大项为和，故D正确；
当时，，
当时，由，得，
两式相减得：，
又，适合上式，
所以，故C正确；
因为，所以是递减数列，故A错误，B正确；
故选：BCD