广东省茂名市高州市第一中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

2023-2024学年度第一学期学情练习（10月）

九年级数学卷

一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)．

1．下列方程中，是一元二次方程的是（         ）

A．          B．          C．                D．

2．一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（        ）

A．6，2，9       B．2，，9  C．2，，   D．，6，

3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（         ）

A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分

4．一元二次方程的根是（         ）

A． B． C． D．

5．菱形的两条对角线长分别为6和10，则该菱形的面积为（           ）

A．12 B．24 C．30 D．36

6．一元二次方程配方后可变形为（            ）

A．            B．             C．             D．

A．     B． C． D．

8．两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（         ）

A．                                           B．

C． D．

9．若关于的方程是一元二次方程，则的值是（        ）

A．       B．     C．3 D．

10．如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：

①；  ②；   ③四边形的面积为正方形面积的；

④．

其中正确的是　　

A．①②③④        B．①②③ C．①②④ D．③④

二．填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)．

11．如图，在正方形的外侧，作等边，则                o．

12．设，是一元二次方程的两个根，则                          ．

13．如图，在矩形中，对角线、交于点O，直线过点O，且分别交边、于

点E、F．若矩形的面积是10，则图中阴影部分的面积是                     ．

14．若是方程的一个根，则的值为                      ．

三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．

16．用规定的方法解下列方程：

(1)；（配方法）                                                   (2)．（公式法）

17．已知：关于x的方程，求证：方程有两个不相等的实数根．

四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)求的周长．

20．用长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门（门不使用竹栅栏），宽度都是，设与墙垂直的一边长为．

(1)当时，矩形菜园面积是，求x；

(2)当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到？

21．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相较于点O，

与相较于N，连接．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，求的长．

五．解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．

22．阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，．

材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．

解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，

∴，，则

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________；

(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．

(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．

23．问题背景：

△ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF

猜想证明：

(1)如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由．

(2)当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长．

拓展延伸：

(3)如图②，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD相交于点N，点N，H恰好在FC上．求证：△ABN和△DEN均为等腰直角三角形．

学情练习（10月）九年级数学卷参考答案

一、1~5：DCBCC           6~10：BBBAA

二、11：15             12：4            13：2.5           14：2024             15：

16：(1)解：，

 ，

解得：，．

 (2) 解：

，

17：解：，

∵无论k取何值，，

∴，即，

∴方程有两个不相等的实数根．

18：解：设每件小商品的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件．

依题意，得，

整理，得，

解得：，．

答：将每件小商品的售价定为12元或16元时，才能使每天的利润为640元．

19：解：（1）证明：∵沿射线方向平移得到线段

∴，且                        

∴四边形是平行四边形                    

∴，

∵是的中点

∴，                

∴四边形是平行四边形                    

∵

∴

∴四边形是矩形．

（2）解：在中，，，根据勾股定理可得

∵四边形是矩形

∴

∴                    

又∵                            

∴的周长．

20：解：（1）解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为．

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

当时，；

当时，．

答：x的值为8或20．

（2）令①，

整理得：．

∵，

∴方程①无实数根，

∴矩形菜园的面积不能达到．

21：解：（1）证明：∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴平行四边形是菱形；

（2）解：∵四边形是菱形，

∴，

设长为x，则，

在中，由勾股定理得，

∴，

解得：，

∴．

22：（1）解：一元二次方程的两个根为，

，，

，

故答案为：；

（2）解：一元二次方程的两根分别为、，

，，

；

（3）解：实数、满足，，

与看作是方程的两个实数根，

，，

，

，

，

，

．

23：（1）解：四边形FGHI是菱形.

理由：如图①，连接AE,BD，

∵△ABC和△CDE均为等边三角形，

∴AC＝BC,EC＝DC，

在△AEC和△BDC中，

，

∴△AEC≌△BDC(SAS)，

∴AE＝BD，

∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，

FG＝AE＝IH.FI＝BD＝CH.

∴FG＝GH＝IH＝FI.

∴四边形FGHI是菱形；

（2）解：如图②，过点D作DM⊥EC于点M，

∵△CDE为等边三角形，

∴MC＝EC＝×2＝1，∠C＝60°，

∴BM＝BC－MC＝6－1＝5，

在Rt△DMC中，DM＝，

在Rt△BDM中，BD＝，

∴GH＝BD＝，

由(1)知四边形FGHI是菱形，

∴.四边形FGHI的周长为4GH＝4.

（3）解：∵点F为AB的中点，△ABC和△CDE均为等边三角形，

∴直线CF为△ABC和△CDE的对称轴.

∴AN＝BN，DN＝EN，

∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，

∴FGAE，IHAE，FIBD，GHBD.

∴.FGAEIH，FIBDGH，

∵四边形FGHI是正方形，

∴∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°

∴.∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°.      ∴△ABN和△DEN均为等腰直角三角形.