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新高考物理一轮复习重难点练习难点07 圆周运动的临界问题（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习重难点练习难点07 圆周运动的临界问题（含解析），共24页。试卷主要包含了水平面内圆周运动的临界问题，竖直面内圆周运动的临界问题，斜面上圆周运动的临界问题等内容，欢迎下载使用。
难点07 圆周运动的临界问题
一、水平面内圆周运动的临界问题
1．运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆．
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动．
2．过程分析
重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题．
3．方法突破
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
4．解决方法
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
【例1】（2022·云南·德宏傣族景颇族自治州教育体育局教育科学研究所高三期末）如图所示，将一个质量为m=0.2kg的物体放在水平圆桌上，物体到圆心的距离L=0.2m，圆桌可绕通过圆心的竖直轴旋转，若物体与桌面之间的动摩擦因数为μ=0.5，物体可看成质点，物体与圆桌一起绕固定轴匀速转动（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2）。下列说法中正确的是（ ）
A．物体与圆桌一起匀速转动的线速度大小与圆桌边缘线速度大小相等
B．物体与圆桌一起匀速转动的最大向心加速度是5m/s2
C．物体与圆桌一起匀速转动的最大角速度是25rad/s
D．在角速度一定时，物体到转轴的距离越近，物体越容易脱离圆桌
【答案】B
【解析】A．由题意可知，物块和转盘同轴转动，则角速度相等，由
可知物块转动的线速度大小小于圆桌边缘线速度的大小，故A错误；
D．物块的最大静摩擦力为
物块圆周运动需要的向心力
可知在角速度一定时，物块到转轴的距离越近，需要的向心力越小，物块越不容易脱离圆桌，故D错误；
BC．当物体与圆桌刚要相对滑动时，物体受圆桌的静摩擦力达到最大值，此时向心加速度和角速度都达到最大，则有
可得
，
故B正确，C错误。
故选B。
【例2】（2022·河北衡水·二模）2022年2月7日，我国运动员任子威、李文龙在北京冬奥会短道速滑男子1000米决赛中分获冠、亚军。如图所示为短道速滑比赛场地示意图，比赛场地周长约为，其中直道长度为，弯道半径为。若一名质量为的运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，转弯时冰刀与冰面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动员可看作质点，重力加速度g取，则（ ）
A．该运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为
B．该运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为
C．运动员受到冰面的作用力最大为
D．运动员受到冰面的作用力最大为
【答案】A
【解析】AB．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为，静摩擦力提供向心力有
解得
故B错误A正确；
CD．运动员在水平面内做匀速圆周运动需要的向心力为
竖直方向受力平衡
所以运动员受到冰面的作用力
故CD错误。
故选A。
二、竖直面内圆周运动的临界问题
1．两类模型对比
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力示意图
F弹向下或等于零
F弹向下、等于零或向上
力学方程
mg＋F弹＝m
mg±F弹＝m
临界特征
F弹＝0
mg＝m
即vmin＝
v＝0
即F向＝0
F弹＝mg
讨论分析
(1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹
(2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心
(2)当0
(4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．
【例3】（2022·江苏·公道中学模拟预测）如图所示，A、B两小球质量均为m，A球位于半径为R的竖直光滑圆轨道内侧，B球穿过固定的光滑竖直长杆，杆和圆轨道在同一竖直平面内，杆的延长线过轨道圆心O。两球用轻质铰链与长为L（L>2R）的轻杆连接，连接两球的轻杆能随小球自由移动，某时刻小球A获得水平向左的初速度，沿着圆环恰能上升到P点。其中M、N、P三点分别为圆轨道上最低点、圆心的等高点和最高点，重力加速度为g（ ）
A．小球A的初动能为
B．当小球A到达P点时，其加速度大小一定为g
C．当小球A运动到N点时，A球与B球的速度大小之比为2：1
D．小球A从M点运动到P点过程中，B球速度先增大后减小
【答案】D
【解析】AB．小球A恰好能上升到P点，此时小球A的速度为水平方向，小球B的速度为零，因此
解得
根据机械能守恒定律有
联立解得
故AB错误；
C．当小球A运动到N点时，设小球连接轻杆与竖直光滑杆的夹角为，小球A与B沿轻杆方向的速度相等，即
此时小球A、B的速度大小相等，故C错误；
D．小球A在M，P两点的速度均沿水平方向，所以沿轻杆方向的速度为零，小球B的速度也就为零，所以小球A从M点运动到P点过程中，B球速度先增大后减小，故D正确。
故选D。
【例4】（2021·湖南·模拟预测）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做完整的圆周运动，管径略大于小球的直径，内侧壁半径为R，小球半径为r，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度为
B．小球通过最低点时的最小速度为
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】C
【解析】A．在最高点，因为圆管的外侧壁和内侧壁都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于零时，内壁对小球产生支持力与小球的重力平衡，故最小速度可以为0，故A错误；
B．当小球在最高点速度为零时，对应的最低点速度最小，设大小为v，由动能定理得
解得
故B错误；
C．小球在水平线ab以下的管道中运动，因为沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有指向圆心的作用力，内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，因为沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故D错误。
故选C。
三、斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
【例5】(多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用
B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D．ω的最大值是1.0 rad/s
【答案】CD
【解析】当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，即可能指向圆心，也可能背离圆心，故C正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcos θ，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos θ，又μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故D正确．
一、单选题
1．（2022·黑龙江·汤原县高级中学一模）如图所示，一轻杆一端固定在O点，杆长10cm，另一端固定一小球，小球质量是0.2kg，在竖直面内做圆周运动，到达最高点时，杆与小球间弹力大小为N，小球在最高点的速度大小为v， g取10m/s2 下列说法正确的是（ ）
A．当v为3m/s 时，杆对小球弹力N方向向上
B．当 v为1m/s 时，杆对小球弹力N为10N
C．当 v为1m/s 时，杆对小球弹力方向向上
D．当 v为1m/s 时，杆对小球弹力N为0N
【答案】D
【解析】在最高点，若F=0，则
解得
当v为3m/s 时，则重力不足以提供向心力，所以杆对球的作用力向下，故D正确ABC错误。
故选D。
2．（2022·海南·西南大学东方实验中学模拟预测）汽车通过拱形桥面和凹形桥面是生活中常见的两种现象。如图所示，若在汽车中固定一力传感器，力传感器下端挂有一小球。当汽车通过拱形桥面的最高点和通过凹形桥面最低点时速度大小均为v。已知汽车的质量为M，小球的质量为m，桥面的圆弧半径均为r，重力加速度取g。下列说法正确的是（ ）
A．甲图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力
B．乙图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力
C．甲图中力传感器的示数大小为
D．乙图中力传感器的示数大小为
【答案】A
【解析】AB．当汽车通过凹形桥面最低点时，根据曲线运动特点可知，汽车处于超重状态，凹形桥面对汽车的支持力大于汽车所受到的重力，当汽车通过拱形桥面的最高点时，汽车处于失重状态，桥面对汽车的支持力小于汽车所受到的重力，故A正确，B错误；
C．对题图甲中的小球受力分析如图1所示，根据牛顿第二定律得
则力传感器的示数，故C错误；
D．对题图乙中的小球受力分析如图2所示，根据牛顿第二定律得
则力传感器的示数，故D错误。
故选A。
3．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台间的动摩擦因数均为μ， A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）
A．绳中无拉力时，A、B物体受到的摩擦力大小相等
B．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于
C．若转台转动的角速度为，则A、B一起相对转台向B离心的方向滑动
D．物体A所受的摩擦力方向一定指向圆心
【答案】C
【解析】A．绳中无拉力时，两物体所受的静摩擦力提供向心力，由于向心力大小不等，所以摩擦力大小也不相等，故Ａ错误。
B．由于A物体的旋转半径大，所以A物体相对转台的摩擦力先达到滑动摩擦力，此时有
解得
即当时，绳中有拉力，故B错误。
CD．当后，对A、B分别有
联立解得
当转台的转速小时，所受的摩擦力均为静摩擦力， 当A的摩擦力达到滑动摩擦力后，随角速度的增大，B所受的静摩擦力增大，直到达到滑动摩擦力，之后A的摩擦力先减少，再反向增大，最后达到滑动摩擦力时，A、B一起相对转台向B离心的方向滑动，滑动时有
解得
故D错误，C正确。
故选C。
4．（2022·广东茂名·二模）金家庄特长螺旋隧道为2022年冬奥会重点交通工程。该隧道工程创造性地设计了半径为860m的螺旋线，有效减小了坡度，通过螺旋线实现原地抬升112m，如图所示。对这段公路的相关分析，下列说法正确的是（ ）
A．车辆以额定功率上坡时，速度越大，牵引力越大
B．螺旋隧道设计能有效减小坡度，主要目的是增大车辆行驶过程中的摩擦力
C．车辆转弯处，路面应适当内低外高
D．车辆以某一恒定速率转弯时，转弯半径越大，所需的向心力越大
【答案】C
【解析】A．车辆功率一定时，由可知，速度v越大，牵引力F越小，A项错误；
B．减小坡度，主要目的是减小车辆的重力沿斜面下滑的力，B项错误；
C．转弯路面处内低外高时，重力和支持力的合力可以提供一部分向心力，减少车辆拐弯时所需要的摩擦力，使车辆转弯时更安全，C项正确；
D．由向心力公式
可知，以某一恒定速率转弯时，转弯半径越大，所需的向心力越小，D项错误。
故选C。
5．（2022·江苏·三模）无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径R，则下列说法正确的是（ ）
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．管状模型转动的角速度最大为
D．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
【答案】D
【解析】A．铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力沿半径方向的合力提供向心力，故A错误；
B．模型最下部受到的铁水的作用力最大，最上方受到的作用力最小，故B错误；
CD．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力，则有
可得
即管状模型转动的角速度最小为，故C错误，D正确。
故选D。
6．（2022·湖南衡阳·三模）如图所示，在粗糙的水平地面上有一斜面，轻绳绕过两光滑的定滑轮，左端与粗糙斜面上的物块P相连，右端与小球相连，轻绳PC恰好与斜面垂直。现将小球从A处由静止释放，小球在AB间摆动过程中，斜面体和物块P始终保持静止不动，则小球从A→O→B的运动过程中（ ）
A．斜面对物块的摩擦力先减小后增大
B．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小
C．若小球运动到O点，轻绳断裂，小球将做自由落体运动
D．若小球运动到O点，轻绳断裂，物块P可能会沿斜面运动
【答案】B
【解析】A．对物块受力分析，由于轻绳PC恰好与斜面垂直，斜面体和物块P始终保持静止不动，物块受斜面沿斜面向上的静摩擦力f与物块重力沿斜面向下的分力mgsinθ始终平衡，所以斜面对物块的摩擦力保持不变，A错误；
B．小球从A→O→B的运动过程中，由机械能守恒知小球的速率先增大后减小，由牛顿第二定律可知绳的拉力先增大后减小，细绳对P物块的拉力也是先增大后减小，以P和斜面为一整体进行受力分析可知：细绳对P的拉力即对整体的拉力的水平分力被地面对斜面向左的静摩擦力平衡，所以地面对斜面体的摩擦力先增大后减小，B正确；
C．若小球运动到O点，轻绳断裂，小球速度水平向右，只受重力作用，将做平抛运动，C错误；
D．若小球运动到O点，轻绳断裂，物块P对斜面体的压力增大，最大静摩擦力增大，斜面体给物块的静摩擦力继续平衡物块重力沿斜面向下的分力，物块保持静止，D错误。
故选B。
7．（2022·重庆一中高三阶段练习）智能呼啦圈轻便类观，深受大众喜爱。如图甲所示，腰带外侧带有轨道，将滑轮置于轨道内，滑轮通过一根不可伸长的绳子与配重连接，其简化模型如图乙所示。水平固定好腰带，通过人体的微小扭动，配重将在滑轮的带动下一起在水平面内做匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为，运动过程中腰带可看作不动，下列说法正确的是（ ）
A．若以更大的转速匀速转动，则绳子上的拉力将增大
B．若以更大的转速匀速转动，则身体对腰带的摩擦力将增大
C．增大转速的过程中，绳子对配重的拉力不会对配重做功
D．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向的夹角将减小
【答案】A
【解析】AD．绳长为L，悬挂点到腰带中心的距离为r，以配重为研究对象，受到重力和拉力，如图所示
竖直方向根据平衡条件可得
Tcosθ=mg
在水平方向上
联立可得
由此可知转速增大、配重做匀速圆周运动的半径变大，θ增大、T增大，若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向的夹角将不变，故A正确，D错误；
B．若增大转速，配重做匀速圆周运动的半径变大，绳与竖直方向的夹角θ将增大，竖直方向
mg=Tcosθ
对腰带分析如图
可得竖直方向
f=Mg+Tcosθ=Mg+mg
故腰受到腰带的摩擦力不变，故B错误；
C．由A中公式可知，转速增大、配重做匀速圆周运动的半径变大，θ增大，速度增大，动能增大，同时高度上升，重力势能增大，所以机械能增大；由功能关系可知绳子对配重做的功等于配重机械能的增加量，所以功为正值，做正功，故C错误。
故选A。
8．（2022·河北张家口·三模）如图所示，O为半球形容器的球心，半球形容器绕通过O的竖直轴以角速度匀速转动，放在容器内的两个质量相等的小物块a和b相对容器静止，b与容器壁间恰好没有摩擦力。已知a和O、b和O的连线与竖直方向的夹角分别为60°和30°，则下列说法正确的是（ ）
A．小物块a和b做圆周运动的向心力之比为
B．小物块a和b对容器壁的压力之比为
C．小物块a与容器壁之间无摩擦力
D．容器壁对小物块a的摩擦力方向沿器壁切线向下
【答案】A
【解析】A．a、b角速度相等，向心力可表示为
所以a、b向心力之比为，A正确；
BCD．若无摩擦力a将移动到和b等高的位置，所以摩擦力沿切线方向向上。定量分析：对b分析可得
结合对b分析结果，对a分析
即支持力在指向转，轴方向的分力大于所需要的向心力，因此摩擦力有背离转轴方向的分力，即摩擦力沿切线方向向上；对b有
对a有
所
BCD错误。
故选A。
二、多选题
9．（2022·广东·高三专题练习）如图所示，内壁光滑的圆形细管固定在倾角为θ的斜面上，其半径为R，A、C分别为细管的最高点和最低点，B、D为细管上与圆心O处于同一水平高度的两点，细管内有一直径稍小于细管内径的质量为m的小球，小球可视为质点。开始时小球静止在A点，某时刻对小球施加轻微扰动，使小球自A向B沿着细管开始滑动。以过直线BOD的水平面为重力势能的参考平面，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球不能返回到A点
B．小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大
C．小球在C点时的机械能为2mgRsinθ
D．小球到达D点时，细管对小球的作用力大小为
【答案】BD
【解析】A．小球在运动过程中，机械能守恒，所以小球能返回到A点，故A错误
B．小球在A点时速度为零，重力的瞬时功率为零，小球从A到B的过程中，速度逐渐增大，速度沿斜面的分量（v1）也逐渐增大，根据瞬时功率表达式
可知小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大，故B正确；
C．小球在运动过程中，机械能守恒，所以小球在C点时的机械能为mgRsinθ，故C错误；
D．根据机械能守恒可得小球到达D点时的速度为
根据牛顿第二定律可得侧壁对小球的支持力为
解得
管的底部对小球的支持力为
小球到达D点时，细管对小球的作用力大小为
故D正确。
故选BD。
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期末）如图所示，甲、乙为两辆完全一样的电动玩具汽车，以相同且不变的角速度在水平地面上做匀速圆周运动，甲运动的半径小于乙运动的半径。下列说法正确的是（ ）
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲、乙两辆车所受的摩擦力大小相同
C．若角速度增大，则乙先发生侧滑
D．甲的加速度小于乙的加速度
【答案】CD
【解析】A．两小车做圆周运动的角速度相同，根据v=ωr，因甲的转动半径较小，可知甲的线速度小于乙的线速度，选项A错误；
B．两者做圆周运动的向心力由摩擦力提供，根据
f=mω2r
可知，乙车所受的摩擦力大于甲车所受的摩擦力，选项B错误；
C．若角速度增大，则乙车先达到最大静摩擦力，则乙车先发生侧滑，选项C正确；
D．根据a=ω2r，可知，甲的加速度小于乙的加速度，选项D正确。
故选CD。
11．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑固定细管（忽略管的内径），半径OB水平，OA竖直，一个直径略小于管内径的小球由B点以某一初速度进入细管，之后由管内的顶部A点以大小为的水平速度飞出。重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足
B．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足
C．为使小球从A点水平飞出后再返回B点，小球在B点的初速度应为
D．小球从A点飞出的水平初速度必须满足，因而不可能使小球从A点水平飞出后再返回B点
【答案】BC
【解析】AB．为使小球能从A点飞出，则在A点的最小速度为零，则由机械能守恒定律
解得
则小球在B点的初速度必须满足
选项A错误，B正确；
C．为使小球从A点水平飞出后再返回B点，则
解得
小球在B点的初速度应为
选项C正确；
D．要使的小球从A点飞出，则小球在A点的速度大于零即可，由选项C的分析可知，只要小球在A点的速度，小球就能从A点水平飞出后再返回B点，选项D错误。
故选BC。
12．（2022·山东·高三专题练习）如图所示，在水平桌面上有一个固定竖直转轴且过圆心的转盘，转盘半径为r，边缘绕有一条足够长的细轻绳，细绳末端系住一木块。已知木块与桌面之间的动摩擦因数。当转盘以角速度旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同。已知，下列说法正确的是（ ）
A．当稳定时，木块做圆周运动的半径为2m
B．当稳定时，木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为
C．要保持上述的稳定状态，角速度
D．无论角速度多大，都可以保持上述稳定状态
【答案】AC
【解析】设小木块的质量为，做圆周运动的半径为，对木块受力分析，如图所示
根据几何关系有
，
根据题意,物块的切向加速度为零，则有
根据几何关系有
物块做匀速圆周运动有
联立解的
AB．当稳定时，代入数据解的，木块做圆周运动的半径为
木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为
故B错误A正确；
CD．要保持上述的稳定状态，由
可知
解得
故D错误C正确。
故选AC。
三、解答题
13．（2018·湖南·宁乡市教育研究中心高三阶段练习）如图所示，质量分布均匀、半径为R的光滑半圆形金属槽，静止在光滑的水平面上，左边紧靠竖直墙壁。质量为的小球从距金属槽上端处由静止下落，恰好与金属槽左端相切进入槽内，且刚好能到达金属槽右端最高点，重力加速度为，不计空气阻力。求：
（1）小球第一次到达最低点时对金属槽的压力大小；
（2）小球到达金属槽右端最高点时的速度和金属槽的质量大小。
【答案】（1）；（2）,
【解析】（1）小球从静止到第一次到达最低点的过程，根据动能定理有
小球刚到最低点时，根据牛顿第二定律有
根据牛顿第三定律可知小球对金属槽的压力为
联立解得小球第一次到达最低点时对金属槽的压力
（2）设小球到达金属槽右端最高点时的速度为,第一次到到达最低点至小球到达最高点过程，小球和金属槽水平动量守恒
再由能量守恒定律可得
联立可得
,
14．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R的大圆弧和r的小圆弧，直道与弯道相切，直道长度L。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的K倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为120°弯道上做匀速圆周运动，若，要使赛车安全且绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度为g）。求
（1）赛车行驶的最大速率；
（2）赛车绕赛道一圈的最短时间。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，由牛顿定律有
解得最大速率为
（2）根据题意，由公式可得，赛车在上直道的时间为
小圆弧弯道的时间为
大圆弧弯道的时间为
则赛车绕赛道一圈的最短时间
15．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，光滑的半圆形轨道ACB竖直放置，AB是其直径且竖直，粗糙的水平轨道在B点与半圆轨道相连，小滑块a从与圆心O等高的C点无初速度地释放，滑到水平轨道上的D点时速度减为零，此时恰好与向右运动的小滑块b发生弹性碰撞，此后滑块a恰能运动到半圆轨道的最高点A点，已知半圆形轨道半径，BD间距离，重力加速度，b的质量是a的5倍，a、b均可视为质点．
（1）求滑块a与水平轨道间的动摩擦因数；
（2）求滑块b与滑块a碰前的瞬时速度大小．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）滑块a从C到D由能量关系可知
解得
（2）滑块a在圆弧最高点时
滑块a从碰撞完了后到圆弧最高点的过程由动能定理
碰撞过程由动量守恒定律和能量关系
解得
16．（2022·黑龙江·虎林市实验高级中学高三期末）如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动（加速度很小），当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=1m，离水平地面的高度H=1.25m，物块平抛落地过程水平位移的大小s=1.57m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2 ，，求：
（1）物块与转台间的动摩擦因数；（结果保留两位有效数字）
（2）物体落地时离抛出点的距离。（结果保留三位有效数字）
【答案】（1）0.99；（2）1.70m
【解析】（1）物体飞出平台后做初速度为v的平抛运动，设时间为t，则
解得
t=0.5s
v=3.14m/s
对物体在圆盘上刚要被甩出的瞬间进行受力分析，有
解得
（2）物体做平抛运动时圆盘仍在转动，因为圆盘的加速转动极为缓慢，所以在物体下落过程中圆盘可看作匀速转动，转过的角度为 ，角速度为 ，则
解得
设落地点到抛出点的距离为L，则
解得
难点07 圆周运动的临界问题
一、水平面内圆周运动的临界问题
1．运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆．
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动．
2．过程分析
重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题．
3．方法突破
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
4．解决方法
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解．
【例1】（2022·云南·德宏傣族景颇族自治州教育体育局教育科学研究所高三期末）如图所示，将一个质量为m=0.2kg的物体放在水平圆桌上，物体到圆心的距离L=0.2m，圆桌可绕通过圆心的竖直轴旋转，若物体与桌面之间的动摩擦因数为μ=0.5，物体可看成质点，物体与圆桌一起绕固定轴匀速转动（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2）。下列说法中正确的是（ ）
A．物体与圆桌一起匀速转动的线速度大小与圆桌边缘线速度大小相等
B．物体与圆桌一起匀速转动的最大向心加速度是5m/s2
C．物体与圆桌一起匀速转动的最大角速度是25rad/s
D．在角速度一定时，物体到转轴的距离越近，物体越容易脱离圆桌
【答案】B
【解析】A．由题意可知，物块和转盘同轴转动，则角速度相等，由
可知物块转动的线速度大小小于圆桌边缘线速度的大小，故A错误；
D．物块的最大静摩擦力为
物块圆周运动需要的向心力
可知在角速度一定时，物块到转轴的距离越近，需要的向心力越小，物块越不容易脱离圆桌，故D错误；
BC．当物体与圆桌刚要相对滑动时，物体受圆桌的静摩擦力达到最大值，此时向心加速度和角速度都达到最大，则有
可得
，
故B正确，C错误。
故选B。
【例2】（2022·河北衡水·二模）2022年2月7日，我国运动员任子威、李文龙在北京冬奥会短道速滑男子1000米决赛中分获冠、亚军。如图所示为短道速滑比赛场地示意图，比赛场地周长约为，其中直道长度为，弯道半径为。若一名质量为的运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，转弯时冰刀与冰面间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动员可看作质点，重力加速度g取，则（ ）
A．该运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为
B．该运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为
C．运动员受到冰面的作用力最大为
D．运动员受到冰面的作用力最大为
【答案】A
【解析】AB．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为，静摩擦力提供向心力有
解得
故B错误A正确；
CD．运动员在水平面内做匀速圆周运动需要的向心力为
竖直方向受力平衡
所以运动员受到冰面的作用力
故CD错误。
故选A。
二、竖直面内圆周运动的临界问题
1．两类模型对比
轻绳模型(最高点无支撑)
轻杆模型(最高点有支撑)
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力示意图
F弹向下或等于零
F弹向下、等于零或向上
力学方程
mg＋F弹＝m
mg±F弹＝m
临界特征
F弹＝0
mg＝m
即vmin＝
v＝0
即F向＝0
F弹＝mg
讨论分析
(1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹
(2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心
(2)当0
(4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大
2．解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力．
【例3】（2022·江苏·公道中学模拟预测）如图所示，A、B两小球质量均为m，A球位于半径为R的竖直光滑圆轨道内侧，B球穿过固定的光滑竖直长杆，杆和圆轨道在同一竖直平面内，杆的延长线过轨道圆心O。两球用轻质铰链与长为L（L>2R）的轻杆连接，连接两球的轻杆能随小球自由移动，某时刻小球A获得水平向左的初速度，沿着圆环恰能上升到P点。其中M、N、P三点分别为圆轨道上最低点、圆心的等高点和最高点，重力加速度为g（ ）
A．小球A的初动能为
B．当小球A到达P点时，其加速度大小一定为g
C．当小球A运动到N点时，A球与B球的速度大小之比为2：1
D．小球A从M点运动到P点过程中，B球速度先增大后减小
【答案】D
【解析】AB．小球A恰好能上升到P点，此时小球A的速度为水平方向，小球B的速度为零，因此
解得
根据机械能守恒定律有
联立解得
故AB错误；
C．当小球A运动到N点时，设小球连接轻杆与竖直光滑杆的夹角为，小球A与B沿轻杆方向的速度相等，即
此时小球A、B的速度大小相等，故C错误；
D．小球A在M，P两点的速度均沿水平方向，所以沿轻杆方向的速度为零，小球B的速度也就为零，所以小球A从M点运动到P点过程中，B球速度先增大后减小，故D正确。
故选D。
【例4】（2021·湖南·模拟预测）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做完整的圆周运动，管径略大于小球的直径，内侧壁半径为R，小球半径为r，下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时的最小速度为
B．小球通过最低点时的最小速度为
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】C
【解析】A．在最高点，因为圆管的外侧壁和内侧壁都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于零时，内壁对小球产生支持力与小球的重力平衡，故最小速度可以为0，故A错误；
B．当小球在最高点速度为零时，对应的最低点速度最小，设大小为v，由动能定理得
解得
故B错误；
C．小球在水平线ab以下的管道中运动，因为沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有指向圆心的作用力，内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，因为沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，可能外侧管壁对小球有作用力，也可能内侧管壁对小球有作用力，故D错误。
故选C。
三、斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．
【例5】(多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用
B．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D．ω的最大值是1.0 rad/s
【答案】CD
【解析】当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，即可能指向圆心，也可能背离圆心，故C正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcos θ，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos θ，又μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故D正确．
一、单选题
1．（2022·黑龙江·汤原县高级中学一模）如图所示，一轻杆一端固定在O点，杆长10cm，另一端固定一小球，小球质量是0.2kg，在竖直面内做圆周运动，到达最高点时，杆与小球间弹力大小为N，小球在最高点的速度大小为v， g取10m/s2 下列说法正确的是（ ）
A．当v为3m/s 时，杆对小球弹力N方向向上
B．当 v为1m/s 时，杆对小球弹力N为10N
C．当 v为1m/s 时，杆对小球弹力方向向上
D．当 v为1m/s 时，杆对小球弹力N为0N
【答案】D
【解析】在最高点，若F=0，则
解得
当v为3m/s 时，则重力不足以提供向心力，所以杆对球的作用力向下，故D正确ABC错误。
故选D。
2．（2022·海南·西南大学东方实验中学模拟预测）汽车通过拱形桥面和凹形桥面是生活中常见的两种现象。如图所示，若在汽车中固定一力传感器，力传感器下端挂有一小球。当汽车通过拱形桥面的最高点和通过凹形桥面最低点时速度大小均为v。已知汽车的质量为M，小球的质量为m，桥面的圆弧半径均为r，重力加速度取g。下列说法正确的是（ ）
A．甲图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力
B．乙图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力
C．甲图中力传感器的示数大小为
D．乙图中力传感器的示数大小为
【答案】A
【解析】AB．当汽车通过凹形桥面最低点时，根据曲线运动特点可知，汽车处于超重状态，凹形桥面对汽车的支持力大于汽车所受到的重力，当汽车通过拱形桥面的最高点时，汽车处于失重状态，桥面对汽车的支持力小于汽车所受到的重力，故A正确，B错误；
C．对题图甲中的小球受力分析如图1所示，根据牛顿第二定律得
则力传感器的示数，故C错误；
D．对题图乙中的小球受力分析如图2所示，根据牛顿第二定律得
则力传感器的示数，故D错误。
故选A。
3．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台间的动摩擦因数均为μ， A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）
A．绳中无拉力时，A、B物体受到的摩擦力大小相等
B．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于
C．若转台转动的角速度为，则A、B一起相对转台向B离心的方向滑动
D．物体A所受的摩擦力方向一定指向圆心
【答案】C
【解析】A．绳中无拉力时，两物体所受的静摩擦力提供向心力，由于向心力大小不等，所以摩擦力大小也不相等，故Ａ错误。
B．由于A物体的旋转半径大，所以A物体相对转台的摩擦力先达到滑动摩擦力，此时有
解得
即当时，绳中有拉力，故B错误。
CD．当后，对A、B分别有
联立解得
当转台的转速小时，所受的摩擦力均为静摩擦力， 当A的摩擦力达到滑动摩擦力后，随角速度的增大，B所受的静摩擦力增大，直到达到滑动摩擦力，之后A的摩擦力先减少，再反向增大，最后达到滑动摩擦力时，A、B一起相对转台向B离心的方向滑动，滑动时有
解得
故D错误，C正确。
故选C。
4．（2022·广东茂名·二模）金家庄特长螺旋隧道为2022年冬奥会重点交通工程。该隧道工程创造性地设计了半径为860m的螺旋线，有效减小了坡度，通过螺旋线实现原地抬升112m，如图所示。对这段公路的相关分析，下列说法正确的是（ ）
A．车辆以额定功率上坡时，速度越大，牵引力越大
B．螺旋隧道设计能有效减小坡度，主要目的是增大车辆行驶过程中的摩擦力
C．车辆转弯处，路面应适当内低外高
D．车辆以某一恒定速率转弯时，转弯半径越大，所需的向心力越大
【答案】C
【解析】A．车辆功率一定时，由可知，速度v越大，牵引力F越小，A项错误；
B．减小坡度，主要目的是减小车辆的重力沿斜面下滑的力，B项错误；
C．转弯路面处内低外高时，重力和支持力的合力可以提供一部分向心力，减少车辆拐弯时所需要的摩擦力，使车辆转弯时更安全，C项正确；
D．由向心力公式
可知，以某一恒定速率转弯时，转弯半径越大，所需的向心力越小，D项错误。
故选C。
5．（2022·江苏·三模）无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径R，则下列说法正确的是（ ）
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．管状模型转动的角速度最大为
D．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
【答案】D
【解析】A．铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力沿半径方向的合力提供向心力，故A错误；
B．模型最下部受到的铁水的作用力最大，最上方受到的作用力最小，故B错误；
CD．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力，则有
可得
即管状模型转动的角速度最小为，故C错误，D正确。
故选D。
6．（2022·湖南衡阳·三模）如图所示，在粗糙的水平地面上有一斜面，轻绳绕过两光滑的定滑轮，左端与粗糙斜面上的物块P相连，右端与小球相连，轻绳PC恰好与斜面垂直。现将小球从A处由静止释放，小球在AB间摆动过程中，斜面体和物块P始终保持静止不动，则小球从A→O→B的运动过程中（ ）
A．斜面对物块的摩擦力先减小后增大
B．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小
C．若小球运动到O点，轻绳断裂，小球将做自由落体运动
D．若小球运动到O点，轻绳断裂，物块P可能会沿斜面运动
【答案】B
【解析】A．对物块受力分析，由于轻绳PC恰好与斜面垂直，斜面体和物块P始终保持静止不动，物块受斜面沿斜面向上的静摩擦力f与物块重力沿斜面向下的分力mgsinθ始终平衡，所以斜面对物块的摩擦力保持不变，A错误；
B．小球从A→O→B的运动过程中，由机械能守恒知小球的速率先增大后减小，由牛顿第二定律可知绳的拉力先增大后减小，细绳对P物块的拉力也是先增大后减小，以P和斜面为一整体进行受力分析可知：细绳对P的拉力即对整体的拉力的水平分力被地面对斜面向左的静摩擦力平衡，所以地面对斜面体的摩擦力先增大后减小，B正确；
C．若小球运动到O点，轻绳断裂，小球速度水平向右，只受重力作用，将做平抛运动，C错误；
D．若小球运动到O点，轻绳断裂，物块P对斜面体的压力增大，最大静摩擦力增大，斜面体给物块的静摩擦力继续平衡物块重力沿斜面向下的分力，物块保持静止，D错误。
故选B。
7．（2022·重庆一中高三阶段练习）智能呼啦圈轻便类观，深受大众喜爱。如图甲所示，腰带外侧带有轨道，将滑轮置于轨道内，滑轮通过一根不可伸长的绳子与配重连接，其简化模型如图乙所示。水平固定好腰带，通过人体的微小扭动，配重将在滑轮的带动下一起在水平面内做匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为，运动过程中腰带可看作不动，下列说法正确的是（ ）
A．若以更大的转速匀速转动，则绳子上的拉力将增大
B．若以更大的转速匀速转动，则身体对腰带的摩擦力将增大
C．增大转速的过程中，绳子对配重的拉力不会对配重做功
D．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向的夹角将减小
【答案】A
【解析】AD．绳长为L，悬挂点到腰带中心的距离为r，以配重为研究对象，受到重力和拉力，如图所示
竖直方向根据平衡条件可得
Tcosθ=mg
在水平方向上
联立可得
由此可知转速增大、配重做匀速圆周运动的半径变大，θ增大、T增大，若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向的夹角将不变，故A正确，D错误；
B．若增大转速，配重做匀速圆周运动的半径变大，绳与竖直方向的夹角θ将增大，竖直方向
mg=Tcosθ
对腰带分析如图
可得竖直方向
f=Mg+Tcosθ=Mg+mg
故腰受到腰带的摩擦力不变，故B错误；
C．由A中公式可知，转速增大、配重做匀速圆周运动的半径变大，θ增大，速度增大，动能增大，同时高度上升，重力势能增大，所以机械能增大；由功能关系可知绳子对配重做的功等于配重机械能的增加量，所以功为正值，做正功，故C错误。
故选A。
8．（2022·河北张家口·三模）如图所示，O为半球形容器的球心，半球形容器绕通过O的竖直轴以角速度匀速转动，放在容器内的两个质量相等的小物块a和b相对容器静止，b与容器壁间恰好没有摩擦力。已知a和O、b和O的连线与竖直方向的夹角分别为60°和30°，则下列说法正确的是（ ）
A．小物块a和b做圆周运动的向心力之比为
B．小物块a和b对容器壁的压力之比为
C．小物块a与容器壁之间无摩擦力
D．容器壁对小物块a的摩擦力方向沿器壁切线向下
【答案】A
【解析】A．a、b角速度相等，向心力可表示为
所以a、b向心力之比为，A正确；
BCD．若无摩擦力a将移动到和b等高的位置，所以摩擦力沿切线方向向上。定量分析：对b分析可得
结合对b分析结果，对a分析
即支持力在指向转，轴方向的分力大于所需要的向心力，因此摩擦力有背离转轴方向的分力，即摩擦力沿切线方向向上；对b有
对a有
所
BCD错误。
故选A。
二、多选题
9．（2022·广东·高三专题练习）如图所示，内壁光滑的圆形细管固定在倾角为θ的斜面上，其半径为R，A、C分别为细管的最高点和最低点，B、D为细管上与圆心O处于同一水平高度的两点，细管内有一直径稍小于细管内径的质量为m的小球，小球可视为质点。开始时小球静止在A点，某时刻对小球施加轻微扰动，使小球自A向B沿着细管开始滑动。以过直线BOD的水平面为重力势能的参考平面，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球不能返回到A点
B．小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大
C．小球在C点时的机械能为2mgRsinθ
D．小球到达D点时，细管对小球的作用力大小为
【答案】BD
【解析】A．小球在运动过程中，机械能守恒，所以小球能返回到A点，故A错误
B．小球在A点时速度为零，重力的瞬时功率为零，小球从A到B的过程中，速度逐渐增大，速度沿斜面的分量（v1）也逐渐增大，根据瞬时功率表达式
可知小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大，故B正确；
C．小球在运动过程中，机械能守恒，所以小球在C点时的机械能为mgRsinθ，故C错误；
D．根据机械能守恒可得小球到达D点时的速度为
根据牛顿第二定律可得侧壁对小球的支持力为
解得
管的底部对小球的支持力为
小球到达D点时，细管对小球的作用力大小为
故D正确。
故选BD。
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期末）如图所示，甲、乙为两辆完全一样的电动玩具汽车，以相同且不变的角速度在水平地面上做匀速圆周运动，甲运动的半径小于乙运动的半径。下列说法正确的是（ ）
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲、乙两辆车所受的摩擦力大小相同
C．若角速度增大，则乙先发生侧滑
D．甲的加速度小于乙的加速度
【答案】CD
【解析】A．两小车做圆周运动的角速度相同，根据v=ωr，因甲的转动半径较小，可知甲的线速度小于乙的线速度，选项A错误；
B．两者做圆周运动的向心力由摩擦力提供，根据
f=mω2r
可知，乙车所受的摩擦力大于甲车所受的摩擦力，选项B错误；
C．若角速度增大，则乙车先达到最大静摩擦力，则乙车先发生侧滑，选项C正确；
D．根据a=ω2r，可知，甲的加速度小于乙的加速度，选项D正确。
故选CD。
11．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）如图所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑固定细管（忽略管的内径），半径OB水平，OA竖直，一个直径略小于管内径的小球由B点以某一初速度进入细管，之后由管内的顶部A点以大小为的水平速度飞出。重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足
B．为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足
C．为使小球从A点水平飞出后再返回B点，小球在B点的初速度应为
D．小球从A点飞出的水平初速度必须满足，因而不可能使小球从A点水平飞出后再返回B点
【答案】BC
【解析】AB．为使小球能从A点飞出，则在A点的最小速度为零，则由机械能守恒定律
解得
则小球在B点的初速度必须满足
选项A错误，B正确；
C．为使小球从A点水平飞出后再返回B点，则
解得
小球在B点的初速度应为
选项C正确；
D．要使的小球从A点飞出，则小球在A点的速度大于零即可，由选项C的分析可知，只要小球在A点的速度，小球就能从A点水平飞出后再返回B点，选项D错误。
故选BC。
12．（2022·山东·高三专题练习）如图所示，在水平桌面上有一个固定竖直转轴且过圆心的转盘，转盘半径为r，边缘绕有一条足够长的细轻绳，细绳末端系住一木块。已知木块与桌面之间的动摩擦因数。当转盘以角速度旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同。已知，下列说法正确的是（ ）
A．当稳定时，木块做圆周运动的半径为2m
B．当稳定时，木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为
C．要保持上述的稳定状态，角速度
D．无论角速度多大，都可以保持上述稳定状态
【答案】AC
【解析】设小木块的质量为，做圆周运动的半径为，对木块受力分析，如图所示
根据几何关系有
，
根据题意,物块的切向加速度为零，则有
根据几何关系有
物块做匀速圆周运动有
联立解的
AB．当稳定时，代入数据解的，木块做圆周运动的半径为
木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为
故B错误A正确；
CD．要保持上述的稳定状态，由
可知
解得
故D错误C正确。
故选AC。
三、解答题
13．（2018·湖南·宁乡市教育研究中心高三阶段练习）如图所示，质量分布均匀、半径为R的光滑半圆形金属槽，静止在光滑的水平面上，左边紧靠竖直墙壁。质量为的小球从距金属槽上端处由静止下落，恰好与金属槽左端相切进入槽内，且刚好能到达金属槽右端最高点，重力加速度为，不计空气阻力。求：
（1）小球第一次到达最低点时对金属槽的压力大小；
（2）小球到达金属槽右端最高点时的速度和金属槽的质量大小。
【答案】（1）；（2）,
【解析】（1）小球从静止到第一次到达最低点的过程，根据动能定理有
小球刚到最低点时，根据牛顿第二定律有
根据牛顿第三定律可知小球对金属槽的压力为
联立解得小球第一次到达最低点时对金属槽的压力
（2）设小球到达金属槽右端最高点时的速度为,第一次到到达最低点至小球到达最高点过程，小球和金属槽水平动量守恒
再由能量守恒定律可得
联立可得
,
14．（2022·江苏泰州·模拟预测）如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R的大圆弧和r的小圆弧，直道与弯道相切，直道长度L。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的K倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为120°弯道上做匀速圆周运动，若，要使赛车安全且绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度为g）。求
（1）赛车行驶的最大速率；
（2）赛车绕赛道一圈的最短时间。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，由牛顿定律有
解得最大速率为
（2）根据题意，由公式可得，赛车在上直道的时间为
小圆弧弯道的时间为
大圆弧弯道的时间为
则赛车绕赛道一圈的最短时间
15．（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图所示，光滑的半圆形轨道ACB竖直放置，AB是其直径且竖直，粗糙的水平轨道在B点与半圆轨道相连，小滑块a从与圆心O等高的C点无初速度地释放，滑到水平轨道上的D点时速度减为零，此时恰好与向右运动的小滑块b发生弹性碰撞，此后滑块a恰能运动到半圆轨道的最高点A点，已知半圆形轨道半径，BD间距离，重力加速度，b的质量是a的5倍，a、b均可视为质点．
（1）求滑块a与水平轨道间的动摩擦因数；
（2）求滑块b与滑块a碰前的瞬时速度大小．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）滑块a从C到D由能量关系可知
解得
（2）滑块a在圆弧最高点时
滑块a从碰撞完了后到圆弧最高点的过程由动能定理
碰撞过程由动量守恒定律和能量关系
解得
16．（2022·黑龙江·虎林市实验高级中学高三期末）如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动（加速度很小），当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=1m，离水平地面的高度H=1.25m，物块平抛落地过程水平位移的大小s=1.57m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2 ，，求：
（1）物块与转台间的动摩擦因数；（结果保留两位有效数字）
（2）物体落地时离抛出点的距离。（结果保留三位有效数字）
【答案】（1）0.99；（2）1.70m
【解析】（1）物体飞出平台后做初速度为v的平抛运动，设时间为t，则
解得
t=0.5s
v=3.14m/s
对物体在圆盘上刚要被甩出的瞬间进行受力分析，有
解得
（2）物体做平抛运动时圆盘仍在转动，因为圆盘的加速转动极为缓慢，所以在物体下落过程中圆盘可看作匀速转动，转过的角度为 ，角速度为 ，则
解得
设落地点到抛出点的距离为L，则
解得
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