新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题07 三角函数 7.2三角恒等变换（含解析）

专题七  《三角函数》讲义

7.2  三角恒等变换

知识梳理.三角恒等变换

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．

S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．

S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．

T(α＋β)：tan(α＋β)＝.

T(α－β)：tan(α－β)＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2α：sin 2α＝2sinαcosα．

C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．

T2α：tan 2α＝.

3．辅助角公式

其中

题型一. 两角和与差公式

1．已知sin（α），α∈（，），则cos（α）＝　　．

【解答】解：∵α∈（，），∴（），

由sin（α），得cos（α），

∴cos（α）＝cos[（α）]＝cos（α）sin（α）•sin

．

故答案为：．

2．已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），则sin2β＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵已知β＜α，∴α﹣β∈（0，），α+β∈（π，），

若cos（α﹣β），sin（α+β），

∴sin（α﹣β），cos（α+β），

则sin2β＝sin[（α+β）﹣（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）﹣cos（α+β）sin（α﹣β）•（）•，

故选：D．

3．（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值；

 （2）化简求值：．

【解答】解：（1）∵α为锐角，，∴；∵β为锐角，，∴，

∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，∵α+β∈（0，π），∴α+β．

（2）sin50°•1．

4．（2020•新课标Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ）＝7，则tanθ＝（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【解答】解：由2tanθ﹣tan（θ）＝7，得2tanθ7，

即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，

得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，

即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，

即（tanθ﹣2）2＝0，

则tanθ＝2，

故选：D．

5．（2015•重庆）若tanα＝2tan，则（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：tanα＝2tan，则

3．

故选：C．

6．（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（　　）

A．3α﹣β B．3α+β C．2α﹣β D．2α+β

【解答】解：由tanα，得：

，

即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，

sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），

∵α∈（0，），β∈（0，），

∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．

故选：C．

题型二. 二倍角和半角公式

1．（2017·全国3）已知sinα﹣cosα，则sin2α＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵sinα﹣cosα，

∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α，

∴sin2α，

故选：A．

2．若的值（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵，

∴cos（α）＝sin[（α）]．

∴cos2（α）＝21，

故选：A．

3．设α为锐角，若cos（α），则sin（2α）的值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵α为锐角，cos（α），∴sin（α），

∴sin（2α）＝2sin（α）cos（α），cos（2α）＝21．

故sin（2α）＝sin[（2α）]＝sin（2α）coscos（2α）sin，

故选：A．

4．已知tan（α﹣β），且α，β∈（0，π），则2α﹣β＝（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】∵tan（α﹣β）   且tanβ

即tanα

∵α，β∈（0，π）且tan1，tan1

∴α∈（0，），β∈（，π）

即2α﹣β∈（﹣π，）

∴tan（2α﹣β）1

即2α﹣β

故选：C．

5．已知，则sin（2）的值是　　．

【解答】解：已知，整理得3tan2α﹣5tanα﹣2＝0，

解得，

（1）当tanα＝2时，

则，，

故．

（2）当时，

则，，

．

故答案为：．

6．已知α∈（，0），2sin2α+1＝cos2α，则（　　）

A．2 B．3 C．2 D．2

【解答】解：因为α∈（，0），（，0），

所以tan0，sinα＜0，

因为2sin2α+1＝cos2α，

所以4sinαcosα+1＝1﹣2sin2α，

即tanα＝﹣2，

又tanα2，

解得tan，tan（舍），

则2．

故选：C．

题型三. 辅助角公式

1．设α是第一象限角，满足sin（α）﹣cos（α），则tanα＝（　　）

A．1 B．2 C． D．

【解答】解：，

，

∴sinα，

联立，

∵设α是第一象限角，

∴sinα＞0，cosα＞0，即，，

∴．

故选：C．

2．若sin（x）+cos（x），且x＜0，求sinx﹣cosx．

【解答】解：∵sin（x）+cos（x），

∴sin（x）cos（x），

∴sin（x），即sin（x），

∵x＜0，∴x，

∴cos（x），

∴sinx﹣cosx（cosxsinx）

cos（x）

3．已知f（x）＝sin2x+sinxcosx，x∈[0，]

（1）求f（x）的值域；

（2）若f（α），求sin2α的值．

【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+sinxcosx

sin（2x）

∴f（x）sin（2x）．

∵x∈[0，]，

∴2x∈[，]，

当2x，即x＝0时，f（x）有最小值0．当2x时，f（x）有最大值．

f（x）值域：[0，]．

（2）f（α）sin（2α），得

sin（2α），

∵α∈[0，]，

∴2α∈[，]，

又∵0＜sin（2α），

∴2α∈（0，），

得cos（2α），

∴sin2α＝sin（2α）

[sin（2α）+cos（2α）]

．

∴sin2α的值．

题型四. 三角恒等变换综合

1．已知向量（1，sinα），（2，cosα），且∥，计算：．

【解答】解：∵∥，∴2sinα﹣cosα＝0，即cosα＝2sinα，

则5．

2．若cos（α），则sin2α＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：法1°：∵cos（α），

∴sin2α＝cos（2α）＝cos2（α）＝2cos2（α）﹣1＝21，

法2°：∵cos（α）（sinα+cosα），

∴（1+sin2α），

∴sin2α＝21，

故选：D．

3．已知角α∈（0，），β∈（，π），若sin（α），cos（β），则cos（α﹣β）＝　　．

【解答】解：∵α∈（0，），∴α∈（，），∵sin（α），∴cos（α），

∵β∈（，π），∴β∈（，），∵cos（β），∴sin（β），

∴cos（α﹣β）＝cos[（α）+（β）]＝cos（α）cos（β）]﹣sin（α）sin（β）

（）﹣（）×（）．

故答案为：．

4．已知tan（α﹣β），tan（α），则tan（β）＝　　．

【解答】解：因为tan（α﹣β），所以tan（β﹣α），

又tan（α），则

tan（β）＝tan[（β﹣α）+（α）]．

故答案为：．

5. 已知，化简：　　    ．

【解答】解：，

，

故答案为：．

6．已知函数．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若，且，求cos2α．

【解答】解：（1）函数

＝sin2x+cos2x；

所以函数f（x）的最小正周期；

（2）∵，即，

∴∵，

∴，

∴；

；

故cos2α．

课后作业. 三角恒等变换

1．已知cosA+sinA，A为第二象限角，则tanA＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵cosA+sinA，

∴1+2cosAsinA，

∴2cosAsinA

∴（cosA﹣sinA）2

∵A为第二象限角，

∴cosA﹣sinA

∴cosA，sinA

∴tanA

故选：D．

2．若，求α+β的值．

【解答】解：∵，

∴，，

∴，

∵

∴sin（）或sin（），cos（），

①当

sin（），cos（），时

cos（α+β），

∴（α+β）

②当

sin（），cos（）时，

cos（α+β）（）＝1，

∴（α+β）＝0，不符合题意，故舍去．

∴α+β

即两个角的和是．

3．已知sin（），则cos（）的值等于（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：因为cos（）

＝﹣cos

＝﹣cos

＝﹣cos

＝2sin21

＝21

．

故选：C．

4．已知tanα，α∈（），则sin（2α）的值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵tanα，

∴，

∴，

∴sin2α，

∵α∈（，），2α∈（，π）

∴cos2α，

∴sin（2α）＝sin2αcoscos2αsin．

故选：D．

5．已知sinαcosα，且α∈（0，），则的值为　　．

【解答】解：∵sinαcosα，即sinα﹣cosα，

∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα，即2sinαcosα0，

∵α∈（0，），∴sinα＞0，cosα＞0，

∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，即sinα+cosα，

原式（cosα+sinα），

故答案为：．

6．已知cos（α）＝3sin（α），则tan（α）＝（　　）

A．4﹣2 B．24 C．4﹣4 D．44

【解答】解：cos（α）＝3sin（α），

∴﹣sinα＝﹣3sin（α），

∴sinα＝3sin（α）＝3sinαcos3cosαsinsinαcosα，

∴tanα；

又tantan（）2，

∴tan（α）24．

故选：B．