新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题07 三角函数 7.2三角恒等变换（含解析）

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专题七  《三角函数》讲义7.2  三角恒等变换知识梳理.三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．T(α＋β)：tan(α＋β)＝.T(α－β)：tan(α－β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin 2α＝2sinαcosα．C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．T2α：tan 2α＝.3．辅助角公式其中        题型一. 两角和与差公式1．已知sin（α），α∈（，），则cos（α）＝　　．【解答】解：∵α∈（，），∴（），由sin（α），得cos（α），∴cos（α）＝cos[（α）]＝cos（α）sin（α）•sin．故答案为：．2．已知β＜α，若cos（α﹣β），sin（α+β），则sin2β＝（　　）A． B． C． D．【解答】解：∵已知β＜α，∴α﹣β∈（0，），α+β∈（π，），若cos（α﹣β），sin（α+β），∴sin（α﹣β），cos（α+β），则sin2β＝sin[（α+β）﹣（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）﹣cos（α+β）sin（α﹣β）•（）•，故选：D．3．（1）设α，β为锐角，且，求α+β的值； （2）化简求值：．【解答】解：（1）∵α为锐角，，∴；∵β为锐角，，∴，∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，∵α+β∈（0，π），∴α+β．（2）sin50°•1．4．（2020•新课标Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ）＝7，则tanθ＝（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由2tanθ﹣tan（θ）＝7，得2tanθ7，即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，则tanθ＝2，故选：D．5．（2015•重庆）若tanα＝2tan，则（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：tanα＝2tan，则3．故选：C．6．（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（　　）A．3α﹣β B．3α+β C．2α﹣β D．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C． 题型二. 二倍角和半角公式1．（2017·全国3）已知sinα﹣cosα，则sin2α＝（　　）A． B． C． D．【解答】解：∵sinα﹣cosα，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α，∴sin2α，故选：A．2．若的值（　　）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴cos（α）＝sin[（α）]．∴cos2（α）＝21，故选：A．3．设α为锐角，若cos（α），则sin（2α）的值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：∵α为锐角，cos（α），∴sin（α），∴sin（2α）＝2sin（α）cos（α），cos（2α）＝21．故sin（2α）＝sin[（2α）]＝sin（2α）coscos（2α）sin，故选：A．4．已知tan（α﹣β），且α，β∈（0，π），则2α﹣β＝（　　）A． B． C． D．【解答】∵tan（α﹣β）   且tanβ即tanα∵α，β∈（0，π）且tan1，tan1∴α∈（0，），β∈（，π）即2α﹣β∈（﹣π，）∴tan（2α﹣β）1即2α﹣β故选：C．5．已知，则sin（2）的值是　　．【解答】解：已知，整理得3tan2α﹣5tanα﹣2＝0，解得，（1）当tanα＝2时，则，，故．（2）当时，则，，．故答案为：．6．已知α∈（，0），2sin2α+1＝cos2α，则（　　）A．2 B．3 C．2 D．2【解答】解：因为α∈（，0），（，0），所以tan0，sinα＜0，因为2sin2α+1＝cos2α，所以4sinαcosα+1＝1﹣2sin2α，即tanα＝﹣2，又tanα2，解得tan，tan（舍），则2．故选：C． 题型三. 辅助角公式1．设α是第一象限角，满足sin（α）﹣cos（α），则tanα＝（　　）A．1 B．2 C． D．【解答】解：，，∴sinα，联立，∵设α是第一象限角，∴sinα＞0，cosα＞0，即，，∴．故选：C．2．若sin（x）+cos（x），且x＜0，求sinx﹣cosx．【解答】解：∵sin（x）+cos（x），∴sin（x）cos（x），∴sin（x），即sin（x），∵x＜0，∴x，∴cos（x），∴sinx﹣cosx（cosxsinx）cos（x）3．已知f（x）＝sin2x+sinxcosx，x∈[0，]（1）求f（x）的值域；（2）若f（α），求sin2α的值．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+sinxcosx sin（2x）∴f（x）sin（2x）．∵x∈[0，]，∴2x∈[，]，当2x，即x＝0时，f（x）有最小值0．当2x时，f（x）有最大值．f（x）值域：[0，]．（2）f（α）sin（2α），得sin（2α），∵α∈[0，]，∴2α∈[，]，又∵0＜sin（2α），∴2α∈（0，），得cos（2α），∴sin2α＝sin（2α）[sin（2α）+cos（2α）]．∴sin2α的值． 题型四. 三角恒等变换综合1．已知向量（1，sinα），（2，cosα），且∥，计算：．【解答】解：∵∥，∴2sinα﹣cosα＝0，即cosα＝2sinα，则5．2．若cos（α），则sin2α＝（　　）A． B． C． D．【解答】解：法1°：∵cos（α），∴sin2α＝cos（2α）＝cos2（α）＝2cos2（α）﹣1＝21，法2°：∵cos（α）（sinα+cosα），∴（1+sin2α），∴sin2α＝21，故选：D．3．已知角α∈（0，），β∈（，π），若sin（α），cos（β），则cos（α﹣β）＝　　．【解答】解：∵α∈（0，），∴α∈（，），∵sin（α），∴cos（α），∵β∈（，π），∴β∈（，），∵cos（β），∴sin（β），∴cos（α﹣β）＝cos[（α）+（β）]＝cos（α）cos（β）]﹣sin（α）sin（β）（）﹣（）×（）．故答案为：．4．已知tan（α﹣β），tan（α），则tan（β）＝　　．【解答】解：因为tan（α﹣β），所以tan（β﹣α），又tan（α），则tan（β）＝tan[（β﹣α）+（α）]．故答案为：．5. 已知，化简：　　    ．【解答】解：，，故答案为：．6．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若，且，求cos2α．【解答】解：（1）函数 ＝sin2x+cos2x；所以函数f（x）的最小正周期；（2）∵，即，∴∵，∴，∴；；故cos2α． 课后作业. 三角恒等变换1．已知cosA+sinA，A为第二象限角，则tanA＝（　　）A． B． C． D．【解答】解：∵cosA+sinA，∴1+2cosAsinA，∴2cosAsinA∴（cosA﹣sinA）2∵A为第二象限角，∴cosA﹣sinA∴cosA，sinA∴tanA故选：D．2．若，求α+β的值．【解答】解：∵，∴，，∴，∵∴sin（）或sin（），cos（），①当sin（），cos（），时cos（α+β），∴（α+β）②当sin（），cos（）时，cos（α+β）（）＝1，∴（α+β）＝0，不符合题意，故舍去．∴α+β即两个角的和是．3．已知sin（），则cos（）的值等于（　　）A． B． C． D．【解答】解：因为cos（）＝﹣cos ＝﹣cos＝﹣cos＝2sin21＝21．故选：C．4．已知tanα，α∈（），则sin（2α）的值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：∵tanα，∴，∴，∴sin2α，∵α∈（，），2α∈（，π）∴cos2α，∴sin（2α）＝sin2αcoscos2αsin．故选：D．5．已知sinαcosα，且α∈（0，），则的值为　　．【解答】解：∵sinαcosα，即sinα﹣cosα，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα，即2sinαcosα0，∵α∈（0，），∴sinα＞0，cosα＞0，∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，即sinα+cosα，原式（cosα+sinα），故答案为：．6．已知cos（α）＝3sin（α），则tan（α）＝（　　）A．4﹣2 B．24 C．4﹣4 D．44【解答】解：cos（α）＝3sin（α），∴﹣sinα＝﹣3sin（α），∴sinα＝3sin（α）＝3sinαcos3cosαsinsinαcosα，∴tanα；又tantan（）2，∴tan（α）24．故选：B．