河南省郑州市金水区第二实验中学2023-2024学年九年级上学期阶段性学情调研数学试题(一)

2023-2024学年上学期阶段性学情调研（一）

九年级数学

时间：100分钟满分：120分

注意：请先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．

一、选择题（每题3分，共30分）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（）

A． B． C． D．

2．下列选项中能使成为菱形的是（）

A． B． C． D．

3．某公司今年销售一种新产品，1月份获得利润20万元，由于该产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润达到28.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，则每月增长率为（）

A．20% B．22% C．30% D．44%

4．根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（）

A． B． C． D．

5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0．若，，则BD的长为（）

第5题图

A．8cm B．13cm C．16cm D．18cm

6．下列说法错误的是（）

A．四边都相等的四边形是菱形 B．三个角是直角的四边形是矩形

C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．一组邻边相等的四边形是菱形

7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A． B．且 C． D．

8．顺次连接四边形ABCD各边的中点后所得四边形是正方形，则四边形ABCD是（）

A．菱形  B．对角线互相垂直的四边形

C．矩形  D．对角线相等且垂直的四边形

9．代数式的最小值为（）

A． B． C． D．11

10．如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，AD与x轴交于，．若将绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的对应点的坐标为（）

第10题图

A． B． C． D．

二、填空题（每题3分，共15分）

11．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则______．

12．若，是方程的两个根，则的值为______．

13．如图，在一块长92m宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠应挖的宽为______．

第13题图

14．如图，在等腰直角三角形ABC中，，，，点E是BC的中点，点P是AC上一动点，则的最小值为______．

第14题图

15．在矩形ABCD中，，，点E为AD上一点，且，连接BE，将沿BE翻折，得到．当射线EF经过线段BC的三等分点时，AB的长为______．

三、解答题（共75分）

16．（8分）请用指定的方法解方程：

（1）（配方法）（2）（公式法）

17．（8分）如图，AD是等腰底边BC上的高，﹐点是O的AC中点，连接DO并延长交AF于点E，连接CE．求证：四边形ADCE是矩形．（完成下面证明过程）

证明：∵点O是AC的中点，∴．

∵，∴．

又∵，

∴（______）

∴______．

又∵﹐

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵AD是等腰底边BC上的高，

∴______．

∴四边形ADCE是矩形．（______）

18．（8分）如图，矩形ABCD中，，，点M，N分别为AB，CD上一点，且，连接，MN，DM．BN．

（1）当时，求证：四边形DMBN是菱形：

（2）填空：①当______时，四边形是矩形；

②当______时，以MN为对角线的正方形的面积为．

19．（9分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．

（1）填表（不需化简）：

（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？

20．（9分）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，①解得，．

当时，，，∴

当时，，，∴

∴原方程的解为，，，

解答问题：

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；

（2）利用上述材料中的方法解方程：．

21．（分）已知：关于x的一元二次方程．

（1）请通过证明判断根的情况．

（2）若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长．

22．（11分）如图，在中，，，．点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．

（1）如果P，Q分别从A，B两点同时出发，那么几秒后的面积等于?

（2）如果P，Q分别从A，B两点同时出发，那么几秒后PQ的长度等于5cm?

（3）的面积能否等于﹖说明理由．

23．（12分）教材呈现

例：如图（1），在中，，CD是斜边AB上的中线．求证：．

证明：延长CD至点E，使，连接AE，BE．

……

（1）请根据教材提示，结合图（1）写出完整的证明过程．

（2）初步探究

如图（2），在四边形ABCD中，，，，于点P，连接CP，AC，且．

①的度数为______．

②求AD的长．

（3）拓展运用

如图（3），在中，，，F是BC边上一点，且按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE．过点F作交BE于点P，过点P作于点G，Q为射线BE上一动点，连接GQ，CQ．若，请直接写出CQ的值．

2023-2024学年上学期阶段性学情调研（一）

九年级数学答案

时间：100分钟满分：120分

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

11．2．  12．-1  13．1  14．  15．或

三、解答题（共75分）

16．（8分）解方程：

（1），（2），

17．（8分）如图，AD是等腰底边BC上的高，，点O是AC的中点，连接DO并延长交AF于点E，连接CE．求证：四边形ADCE是矩形．（完成下面证明过程）

证明：∵点O是AC的中点，∴．

∵﹐∴．

∵，

∴

∴

又∵，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵AD是等腰底边BC上的高，

∴或

∴四边形ADCE是矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

18．（8分）（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，，，

∴，，

∵∴∴

∵∴四边形为平行四边形，

∵，∴，

∴四边形DMBN为菱形．

（2）①4

②或

19．（9分）（1）填表（不需化简）：

（2）解：根据题意，得

．

整理，得．解得．

当时，．

所以第二个月的销售单价应是70元．

20．（9分）解：（1）换元、转化（化归）

（2）令，则，

∴，∴或，

解得或，

当时，，即，

∴，

则或，解得，，；

当时，，即，

∵，

∴此方程无解；

综上，原方程的解为，．

21．解：证明：∵，

∴方程有两个不相等的实数根．

（2），∴，．

当时，解得，，此时等腰三角形三边分别为4cm，4cm，2cm，的周长，；

当时，解得，，此时等腰三角形三边分别为4cm，4cm，6cm，的周长为．

综上所述，的周长为10cm或14cm．

22．（11分）解：由题意可知ts后，，，．

（1），即．

解得或4（不合题意，舍去）．

故1s后的面积等于．

若，则在中，，

即，解得（舍去）或．

∴2s后PQ的长度为5cm．

（3）令，即．

整理，得．

由于，则方程没有实数根．

所以的面积不能等于．

23．（12分）（1）证明：延长CD至点E，使，连接AE，BE，则．

∵CD是斜边AB上的中线，∴，∴四边形ACBE是平行四边形．

∵，∴四边形ACBE是矩形，∴，∴．

（2）①45°

②如图（1），过点D作于点G．

易得，，

∴，

∴，

∴，．

由①知，∴．

设，则，．

∵，∴，解得，∴．

（3）或3．

解法提示：过点Q作于点H．

∵四边形是ABCD平行四边形，

∴，∴．

由作图可知，BP平分，∴，

∴易得，

分两种情况：①如图（2），当点Q在线段BP上时，

∵，，∴．

在中，，

∴，，

∴．

在中，，

②如图（3），当点Q在线段BP的延长线上时，易知，．

在中，，

∴，，∴．

在中，

综上可知，CQ的值为或3．