精品解析：2022年广东省深圳市部分学校九年级下学期第三次模拟诊断数学试题

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2021－2022学年九年级第三次模拟诊断
数学试卷
第Ⅰ卷选择题（本卷共计30分）
一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计30分）
1. 下列四个数中，最小的是（ ）
A. －2 B. －1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】在有理数中：负数<0<正数，两个负数，绝对值大的反而小，据此可求得最小的数．
【详解】解：因为，
所以，
所以最小的数是．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：负数<0<正数；两个负数，绝对值大的反而小．
2. 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（　　）

A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据拼成的四个图形是否存在中心对称点，即可判断图形是否为中心对称图形．
【详解】解：依照中心对称图形的特征：若图形存在中心对称点，沿中心对称点旋转180°后可与原图形重合．
选项A图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；
选项B图形有中心对称点，故是中心对称图形，符合题意；
选项C图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；
选项D图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形的性质特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3. 中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”！中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：50亿．
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
4. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据单项式乘单项式、积的乘方、同底数幂的的除法、合并同类项分别进行计算，作出判断即可．
【详解】解：A．，故选项正确，不符合题意；
B．，故选项错误，符合题意；
C．，故选项正确，不符合题意；
D．，故选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了单项式乘单项式、积的乘方、同底数幂的的除法、合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5. 深圳市某学校对学生上学方式进行一次抽样调查，并根据调查结果绘制了不完整的扇形统计图，其中“其他”部分对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比是（ ）

A. 64% B. 35% C. 36% D. 40%
【答案】D
【解析】
【分析】先求出“其他”部分所占百分比，再用1减去35%，再减去15%与“其他”部分所占百分比，即可求解．
【详解】解：∵“其他”部分对应的圆心角是36°，
∴“其他”部分所占百分比是，
∴“步行”部分所占百分比是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键．
6. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的周长是3cm，则△ABC的周长为（ ）

A. 6cm B. 9cm C. 3cm D. 12cm
【答案】A
【解析】
【分析】利用中位线的性质，可知BC=2DE，由此可知△ABC的周长是△ADE的周长的2倍，即可求出结果．
【详解】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵AB=2AD，AC=2AE，
∴△ABC的周长是△ADE的周长的2倍，
即：△ABC的周长为6 cm，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是三角形的中位线的性质，掌握其性质是解题的关键．
7. 如图，在距离铁轨200米的B处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；一段时间后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是（ ）米（结果保留根号）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作BC⊥AC于点D，在中利用三角函数求得AD的长，在中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于点D，
∵在中，，
∴，(米)，
∵中，，
∴（米），
则(米)．
故选：B．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．定理：直角三角形中所对直角边是斜边的一半．
8. 下列命题错误的是（ ）
A. 顶角相等的两个等腰三角形相似 B. 若，则
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 不是最简二次根式
【答案】D
【解析】
【分析】根据解不等式、相似的判定、菱形的判定，以及最简二次根式的判定逐项判断即可是．
【详解】解：A.顶角相等的两个等腰三角形底角也相等，满足两角分别相等的两个三角形相似．故是真命题；
B.，等式两边同时除以，得，故是真命题；
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，根据菱形的判定，故是真命题；
D.，满足被开方数不含开得尽的因数或因式，所以是最简二次根式，故是假命题，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了命题与定理，掌握解不等式、相似的判定、菱形的判定，以及最简二次根式的判定是解题的关键．
9. 学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（　　）
A. ﹣=100 B. ﹣=100
C. ﹣=100 D. ﹣=100
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
【详解】解：科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
﹣=100，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
10. 已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为-3，则m的值是（ ）
A B. C. -2或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论抛物线对称轴的位置确定出m的范围即可．
【详解】解：由二次函数（m为常数)，得到对称轴为直线x= m，抛物线开口向上，
①当m≥ 2时，由题意得：当x= 2时，y最小值为 -3，代入得：4 - 4m=-3，
即：m = < 2 ，不合题意，舍去；
② 当-1< m< 2时，由题意得：当x=m时，y 最小值为-3，代入得：，即m=或m= (舍去)；
③ 当m≤-1时，由题意得：当x=-1时，y最小值-3，代入得：1 + 2m=-3，即 m=-2，
综上，m的值是-2或．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
第Ⅱ卷非选择题（本卷共计70分）
二、填空题：（每小题3分，共计15分）
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
12. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C和点D，则________．

【答案】
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
13. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD，若，，则______．

【答案】20°
【解析】
【分析】根据题意可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，，由此即可求出结果．
【详解】解：由题意可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴，
∵，
∴，
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点到该线段两端点的距离相等，掌握其性质并灵活运用是解题的关键．
14. 已知函数的图象如图所示，点P是y轴正半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】设，得到，，推出，，，易得，可得，列出方程求出，即可得到点A和点B的坐标，进而求出AO和AB的长度，最后利用锐角三角函数的定义即可解决问题．
【详解】解：设，
则，，
∴，，．
∵，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数综合题、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活利用参数，构建方程得到点A和点B的坐标．
15. 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下四个结论：①∠CBG=∠DBE；②△ABF∽△DBE；③2BG2=BH⋅HD；④若AB=4，连接CG，则△ECG的面积最大值为1．你认为其中正确结论的序号是______．（填写序号）

【答案】①②④
【解析】
【分析】①由∠CBD=∠GBE=45°，可知∠CBG=∠DBE；
②根据△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，可得，从而得到△ABF∽△DBE；
③由∠BEH=∠EDB，∠EBH=∠DBE可证△BEH∽△BDE，根据对应边成比例即可；
④设EC=x，则DE=4-x，证明△BCG∽△BDE，求得CG=(4-x)，得到GI =(4-x)，根据三角形面积公式以及二次函数的性质即可得到答案．
【详解】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，
∴△CBD和△GBE都是等腰直角三角形，
∴∠CBD=∠GBE=45°，
∴∠CBG=∠DBE；∴①正确，符合题意；
②∵正方形ABCD和正方形BGEF，
∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴，∠ABD=∠FBE=45°，
∴∠ABF=∠DBE，
∴△ABF∽△DBE，∴②正确，符合题意；
③∵∠BEH=∠EDB=45°，
∠EBH=∠DBE，
∴△BEH∽△BDE，
∴，
∴BE2=BD×BH，
∵BE=BG，
∴2BG2=BD•BH，∴③错误，不符合题意；
④过点G作GI⊥DC并交DC的延长线于点I，如图：
设EC=x，则DE=4-x，　
同理可证△BCG∽△BDE，
∴，∠BCG=∠BDC=45°，
∴CG=DE=(4-x)，△CGI是等腰直角三角形，
∴CI=GI=CG=(4-x)，
∴△ECG的面积=CE×GI=(x2-4x)=(x-2)2+1，
∵<0，
∴△ECG的面积有最大值，最大值为1，∴④正确，符合题意；
综上，正确的有①②④．
故答案为：①②④．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键．
三、解答题：（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】按照绝对值的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂分别进行计算，再计算加减法即可．
【详解】解：
＝
＝3．
【点睛】此题考查了绝对值的化简、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中是不等式的正整数解.
【答案】1.
【解析】
【分析】将原式被除式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，再由关于x的不等式求出解集得到x的范围，在范围中找出正整数解得到x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
【详解】解：原式=
=

的正整数解为
但
所以
∴原式的值
【点睛】此题考查一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.
18. 某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t(单位，小时)，将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6 （1）下列抽取方法具有代表性的是．
A．随机抽取一个班学生
B．从12个班中，随机抽取50名学生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：
睡眠时间t(小时)
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数(人)
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是__________，__________；
②估计九年级学生平均每天睡眼时间的人数大约为多少；
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠时间都是6小时的概率．
【答案】（1）B；（2）①7，7；②144人；（3）
【解析】
【分析】(1)根据抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况进行分析；
(2)①由众数好中位数的定义求解即可；
②由九年级人数乘以平均每天睡眼时间t≥8的人数所占的比例即可；
(3)画树状图,共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）不具有全面性，
故答案是：B．
（2）①这组数据的众数为小时，中位数为，
故答案是：．
解②：估计九年级学生平均每天睡眠时间的人是大约为：
答：九年级学生平均每天睡眠超过8小时人数约为144人．
（3）画树状图如下：

∴由树状图可知，所有等可能结果有12种，2人睡眠时间都是6小时的结果有2种．
∴．
【点睛】本题考查了用列表法求概率以及抽样调查、众数和中位数等知识，解题的关键是：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点P是⊙O上任意一点，且满足∠BPC=∠A．

（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若圆的半径为，tan∠BPC=，求切线CP的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）要证明OP为圆的切线，只要证明∠1+∠2=90°即可；
（2）先求得PB=2，AP=4，证明△CPB∽△CAP，利用相似三角形的性质得到，设BC=x，则PC=2x，AC=4x，利用AC=AB+BC，列方程，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接PO，

∵AB为直径，
∴∠APB=∠2+∠3=90°，
又∵OA=OP，
∴∠A=∠3，
∵∠1=∠A，
∴∠1+∠2=90°，
即OP为圆的切线；
【小问2详解】
解：∵∠1=∠A，tan∠1=，
∴在Rt△ABC中，AB=2，tan∠A=，
即=，
设PB=a，则AP=2a，
∵AB2=PB2+AP2，
∴(2)2=a2+(2a)2，
解得a=2，
∴PB=2，AP=4，
又∵∠C=∠C，∠1=∠A ，
∴△CPB∽△CAP，
∴，
设BC=x，则PC=2x，AC=4x，
又∵AC=AB+BC，
∴4x=2+x，
∴x=．
∴PC=2x=．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
20. 临近毕业，某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和2本图片纪念册共需85元，购买5本手绘纪念册和4本图片纪念册共需275元．
（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元；
（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共50本，总费用不超过1350元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？
【答案】（1）图片纪念册25元/本，手绘纪念册35元/本；
（2）最多购买手绘纪念册10本．
【解析】
【分析】（1）设手绘纪念册每本x元，图片纪念册每本y元，根据“购买1本手绘纪念册和2本图片纪念册共需85元，购买5本手绘纪念册和4本图片纪念册共需275元”列出方程组，解方程组即可；
（2）设该班购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册本，根据“购买手绘纪念册和图片纪念册共50本，总费用不超过1350元”列出不等式，求出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解:设手绘纪念册每本x元，图片纪念册每本y元，
由题意得，
解之得，
答：图片纪念册25元/本，手绘纪念册35元/本．
【小问2详解】
解：设该班购买手绘纪念册a本，则购买图片纪念册本，
由题意得 ，
∴，
答：最多购买手绘纪念册10本．
【点睛】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，读懂题意，根据题意列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键．
21. 已知抛物线过点和两点，交x轴于另一点B．

（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分时，求P点坐标；
（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．
①直线EF的解析式是______；
②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是______．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）过点B作轴交DP延长线与点E，过D作轴交x轴于点F．证明，求得点的坐标，进而求得直线DE的解析式为，联立抛物线解析式即可求解；
（3）①根据顺时针旋转90°后点的坐标特征可知对称轴为；
②连接，交于点，则，过点作轴的垂线，交于点，当GM最大时，△GFE面积最大，设，则，根据以及二次函数的性质求得当时，△GFE面积最大，，根据①的方法求得的坐标，根据中点公式求得的坐标，根据勾股定理求得，由即可求解．
【小问1详解】
∵过，
∴ 解之得
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
过点B作轴交DP延长线与点E，过D作轴交x轴于点F．
由，令，得，则
，即，
∴，
∴
又∵，BD平分，
∴，
∴，

∴
设直线的解析式为，

解得
∴直线DE的解析式为

联立
解得
则
【小问3详解】
①直线EF解析式为．
抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，
∴对于抛物线上任意一点关于原点旋转90°后对应点为在旋转后图形上，关于x轴对称的点在旋转后图形上，
∵与关于对称，
∴图形2关于对称，
∴直线EF解析式为
故答案为：
②GH最大值为
如图，连接，交于点，则，过点作轴的垂线，交于点，

∴当GM最大时，△GFE面积最大，
又∵
设，则
∴
∴当时，△GFE面积最大，
由①可知关于的对称点


∴GH的最大值为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键．
22. 某数学小组在探究轴对称的性质这一内容时，准备了若干大小不一的矩形进行折叠实验探究．实验操作如下：
第一步：如图1将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF；
第二步，将矩形ABCD沿过点B的直线折叠，点C恰好落在线段EF上的点H处，折痕为BG．

（1）【结论生成】
①四边形AEFD是______；②求证：；
（2）【问题解决】
如图2，延长GH交AF于M点，若，，求HM的长；
（3）【提升反思】
数学小组通过对若干个矩形进行实验操作后，发现有些矩形的GH的延长线与线段AF没有交点．若要使得GH的延长线与线段AF（不含端点）有交点时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）①正方形；②见解析
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）①先证四边形AEFD是矩形，又因为AD=AE即可得到答案；
②先证 ， 又因为，即可得出结论；
（2）先求出 ， 又因为，得到，，过M做于N，由 ，得到，设，则，求出x的值，得到，即可求解；
（3）当变大时M靠近A点，设，，当a变大时，变大，即当M与A重合时a最大，证明，得到 ， 解得，又因为，得出＜1，即可得到答案.
【小问1详解】
解①∵AEF是由ADF得到的
∴∠AEF=∠D=∠DAE=90°
∴四边形AEFD是矩形
∵AD=AE
∴四边形AEFD是正方形.
故答案为：正方形.
②如图：
∵GHB是由GCB得到的
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴
∴
又∵
∴，，
过M作于N
则∵
∴
设，则，
∴
∴，
∴
【小问3详解】
解：如图，当变大时M靠近A点
又∵设，，则，
∴当a变大时，变大，即当M与A重合时a最大，如图，
∵∠GHB=∠C=90°
∴∠AHB=90°
∵∠AHB=∠HEB=90°
∴∠HBE=∠ABH°

∴ 即：
解得
∴时GH的延长线与线段AF有交点
又∵，
∴


【点睛】此题主要考查矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线和证明相似三角形是解决问题的关键.