甘肃省永昌县第一高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

永昌县第一高级中学2023-2024-1第一次月考试卷

高一数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本卷命题范围：湘教版必修第一册第1章~第2章。

一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A．          B．

C．          D．

2．已知，方程有实根，则为（    ）

A．，方程有实根    B．，方程无实根

C．，方程有实根    D．，方程无实根

3．已知，，则图中阴影部分表示的集合是（    ）

A．        B．

C．         D．

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件        B．必要不充分条件

C．充要条件          D．既不充分也不必要条件

5．已知集合，，若，则实数组成的集合为（    ）

A．           B．

C．          D．

6．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（    ）

A．63%      B．55%     C．47%      D．42%

7．不等式的解集为（    ）

A．        B．

C．       D．

8．若正数满足，则的最小值是（    ）

A．2      B．    C．4      D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知，则下列不等式成立的是（    ）

A．          B．

C．          D．

10．已知全集，集合，，则（    ）

A．的子集有8个        B．

C．        D．中的元素个数为5

11．二次函数的图象如图所示，则（    ）

A．         B．

C．          D．

12．已知，，，则（    ）

A．         B．

C．         D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，，则与的大小关系为______.

14．设，若集合，则=______.

15．命题为假命题．则的取值范围为______.

16．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的60%，则的最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知集合．

（1）求；

（2）求．

18．（本小题满分12分）

已知集合，集合．

（1）当时，求； ．

（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．

19．（本小题满分12分）

设函数．

（1）若不等式的解集为，求的解集；

（2）若时，，，，求的最小值．

20．（本小题满分12分）

设集合．

（1）若，求实数的值；

（2）若且，求实数的值．

21．（本小题满分12分）

为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为36 000．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10），设．

（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；

（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

22．（本小题满分12分）

已知集合．

（1）求的最小值；

（2）对任意，证明：．

永昌县第一高级中学2023—2024—1第一次月考试卷，高一数学

参考答案、提示及评分细则

1．A ∵∴．故选A．

2．B 由题意，可得为，方程无实根．故选B．

3．B 由图可知，阴影部分表示的集合是，．故选B．

4．D 因为，，又时，不能得出；时，不能得出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D．

5．C 因为，所以或，解得或，当时，，不满足集合的互异性；当时， ，，，满足题意；当时，，，，满足题意；当时，}，，若，满足题意故选C．

6．C 设只喜欢篮球的百分比为%，只喜欢羽毛球的百分比为%，两个项目都喜欢的百分比为，由题意，可得，解得。所以该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是47%．故选C．

7．A 不等式可化为，即，解得，故选A．

8．C 因为正数满足，所以，则，所以

，当且仅当，即时，等号成立．故选C．

9． AD 因，则， 即，A正确；因，即有，则，即，B不正确；因，则，C不正确；由选项A知，，则，又，于是得，即，D正确．故选AD．

10．CD 因为，所以，因为中的元素个数为4，所以的子集有个，故A错误；由，，得，所以，故B错误； ，故C正确；由，得中的元素个数为5，故D正确．故选CD．

11． BCD 由题意得，对称轴，则，当时，，故A错误；当时，，则，故B正确；当时，，则，故C正确；设一元二次方程的两根分别为，，由图象可知，整理可得，故D正确，故选BCD．

12．ABD 对于A，因为，故可得，当且仅当时取得最小值，故A正确；对于B，因为，当且仅当时，取得最大值，故B正确；对于C，，，又．当且仅当时取得最小值，故C

错误；对于D，，，又，故可得，当且仅当-时取得最大值，故D正确．故选ABD．

13． ．．

14．-1 因为集合，所以或，当时，，因而元素重复，与集合的互异性原则相悖，所以舍去；当时，可得，解得（舍）或，综上可知a=1，，所以．

15． ∵为假命题∴为真命题，∴，解得： ，即a的取值范围为．

16．40 第一次操作后，剩下的纯药液为 ，第二次操作后，剩下的纯药液为，由题意可知： ，因为，所以，的最大值为40．

17．解：（1）由，得．

（2）由，得

故．

18．解：（1） ，

当时，，

（2）由“”是“”的充分条件，得，

则有解得

即，

实数的取值范围为

19．解：（1）由题知的两个根分别是-1，3，

则解得

，解得．

所求解集为 ．

（2） 时，，即，所以有，

那么

，

当且仅当即时，取等号．

故的最小值为9．

20．解：（1）由题可得，由，得．

从而2，3是方程的两个根，即

解得a=5．

（2），．因为，所以，又，所以，

即，解得或．

当时，，则，不符合题意；

当时，，则且，故符合题意．

综上，实数的值为-3．

21．解：（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，

所以阴影部分的面积，所以，

又，故，

由图可知，

海报纸的周长为．

故海报纸的周长为900cm．

（2）由（1）知，，，

，

当且仅当，即，时等号成立，

此时，，．

故选择长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少．

22．（1）解：由题意，得，且，

而，所以，

．（当且仅当时等号成立）

故的最小值为2．

（2）证明：法一：因为，所以，，．

所以

．

当且仅当，即时取等号．

法二：因为，所以，，．

令则．

．

当且仅当，即时取等号．