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高中数学1.4 随机事件的运算授课课件ppt
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这是一份高中数学1.4 随机事件的运算授课课件ppt，共51页。PPT课件主要包含了目录索引，探究点四事件的运算，本节要点归纳等内容，欢迎下载使用。
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 现象的相关概念1.确定性现象:在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.2.随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.名师点睛随机现象的两个特点(1)结果至少有两种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
过关自诊以下现象是随机现象的是( )A.过了冬天就是春天B.物体只在重力作用下自由下落C.不共线的三点确定一个平面D.下一届奥运会中国获得30枚金牌
解析 A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.
知识点2 样本空间1.试验:在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.2.样本空间:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.3.样本点:样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.4.有限样本空间:如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
过关自诊1.[人教A版教材例题]抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,写出试验的样本空间.
解 因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上,反面朝上}.如果用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,则样本空间Ω={h,t}.
2.[人教A版教材例题]抛掷一枚骰子,观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.
解 用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={1,2,3,4,5,6}.
3.[人教A版教材例题]抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,写出试验的样本空间.
解 掷两枚硬币,第一枚硬币可能的基本结果用x表示,第二枚硬币可能的基本结果用y表示,那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是,试验的样本空间Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.
知识点3 随机事件1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件.常用A,B,C等表示.2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.3.不可能事件:空集⌀也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件.
名师点睛应注意事件的结果是相对于条件而言的,所以必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.
过关自诊1.[人教B版教材例题]张华练习投篮10次,观察张华投篮命中的次数,写出对应的样本空间,并用集合表示出事件A:投篮命中的次数不少于7次.
解 样本空间为Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},所要表示的事件为A={7,8,9,10}.
2.[人教A版教材例题]
如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是否为通路看作一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件:M=“恰好两个元件正常”;N=“电路是通路”;T=“电路是断路”.
解 (1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示“失效”状态,则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}.同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.
知识点4 随机事件的运算1.交事件与并事件
2.互斥事件与对立事件
名师点睛事件运算的性质(1)A∪B=B∪A.(2)并事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.即A∪B表示事件A,B至少有一个发生.(3)A∩B或AB表示事件A与事件B同时发生.
过关自诊1.[人教A版教材例题]如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间;(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件;(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件 ,并说明它们的含义及关系.
解 (1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},
2.[人教A版教材例题]一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系?(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系?事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系?
解 (1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2,于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)};事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2,于是R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}.同理,有R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}.
(2)因为R⊆R1,所以事件R1包含事件R;因为R∩G=⌀,所以事件R与事件G互斥;因为M∪N=Ω,M∩N=⌀,所以事件M与事件N互为对立事件.(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件;因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
探究点一 样本点与样本空间
【例1】 同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的样本空间.(2)求这个试验的样本点的总数.(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点?
解 (1)试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.(2)样本点的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
变式探究同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面,写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点.
解 “恰有一枚正面向上”这一事件包含3个样本点,分别是:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).
规律方法 确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件;(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
探究点二 随机事件的概念及分类
【例2】 以下的随机事件中不是必然事件的是( )A.标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×bC.走到十字路口,遇到红灯D.三角形内角和为180°
解析 在A中,标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.
规律方法 1.要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.2.必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.
变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是( )A.3个都是篮球B.至少有1个是排球C.3个都是排球D.至少有1个是篮球
解析 根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
探究点三 互斥事件与对立事件的判定
【例3】 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生、2名女生、1男1女.(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
规律方法 互斥事件和对立事件的判定方法利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有样本点,看它们能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
变式训练2把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对
解析 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.
角度1事件间的运算【例4】 连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系?
解 由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.(1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.(2)E=B∪C.
规律方法 事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
变式训练3盒子里有6个红球、4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?
解 (1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
角度2事件运算的综合问题【例5】 抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰子出现3点”为事件B,分别判断下列两对事件是否为互斥事件:(1)事件A与事件AB;(2)事件B与事件A .
解 由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.(1)事件AB={(2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠⌀,所以事件A与事件AB不是互斥事件.(2)事件 ={(1,1),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6)},所以事件A ={(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6)},所以B∩A =⌀,所以事件B与事件A 是互斥事件.
规律方法 事件运算应注意的两个问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较复杂的判断事件之间互斥关系的题目中,要严格按照定义来推理.
变式训练4设A,B,C为三个事件,下列表述不正确的是( )
1.知识清单:(1)随机事件、必然事件、不可能事件的概念;(2)实际问题中样本空间及样本点的求法;(3)随机事件的含义,随机事件的样本空间的表示;(4)交事件与并事件;(5)互斥事件与对立事件.2.方法归纳:列举法、Venn图法.3.常见误区:因未按照一定的顺序列举样本点,导致样本点重复或遗漏;未弄清事件之间的关系,导致互斥、对立事件判断错误.
1.下列现象:①当x是实数时,x-|x|=2;②某班一次数学测试,及格率低于75%;③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机现象的是( )A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
解析 由随机现象的定义知②③④正确.
2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是( )A.3件都是正品B.至少有1件次品C.3件都是次品D.至少有1件正品
解析 从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,对于A,3件都是正品不是必然事件,A错误;对于B,至少有1件次品不是必然事件,B错误;对于C,3件都是次品是不可能事件,C错误;对于D,至少有1件正品是必然事件,D正确.故选D.
3.已知事件M“3粒种子全部发芽”,事件N“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N是( )A.不可能事件B.不是互斥事件C.互斥但不对立事件D.对立事件
解析 事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,有可能1个不发芽,也有可能2个不发芽,也有可能3个不发芽,故事件M和事件N不对立,故事件M和事件N互斥但不对立.故选C.
4.为了丰富学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,则包含的样本点共有 个.
解析 由题意可得,包含的样本点有“数学与计算机”“数学与航空模型”“计算机与航空模型”,共3个.
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
知识点1 现象的相关概念1.确定性现象:在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.2.随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.名师点睛随机现象的两个特点(1)结果至少有两种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
过关自诊以下现象是随机现象的是( )A.过了冬天就是春天B.物体只在重力作用下自由下落C.不共线的三点确定一个平面D.下一届奥运会中国获得30枚金牌
解析 A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.
知识点2 样本空间1.试验:在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.2.样本空间:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.3.样本点:样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.4.有限样本空间:如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
过关自诊1.[人教A版教材例题]抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,写出试验的样本空间.
解 因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上,反面朝上}.如果用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,则样本空间Ω={h,t}.
2.[人教A版教材例题]抛掷一枚骰子,观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.
解 用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={1,2,3,4,5,6}.
3.[人教A版教材例题]抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,写出试验的样本空间.
解 掷两枚硬币,第一枚硬币可能的基本结果用x表示,第二枚硬币可能的基本结果用y表示,那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是,试验的样本空间Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.
知识点3 随机事件1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件.常用A,B,C等表示.2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.3.不可能事件:空集⌀也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件.
名师点睛应注意事件的结果是相对于条件而言的,所以必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.
过关自诊1.[人教B版教材例题]张华练习投篮10次,观察张华投篮命中的次数,写出对应的样本空间,并用集合表示出事件A:投篮命中的次数不少于7次.
解 样本空间为Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},所要表示的事件为A={7,8,9,10}.
2.[人教A版教材例题]
如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是否为通路看作一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件:M=“恰好两个元件正常”;N=“电路是通路”;T=“电路是断路”.
解 (1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示“失效”状态,则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}.同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.
知识点4 随机事件的运算1.交事件与并事件
2.互斥事件与对立事件
名师点睛事件运算的性质(1)A∪B=B∪A.(2)并事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.即A∪B表示事件A,B至少有一个发生.(3)A∩B或AB表示事件A与事件B同时发生.
过关自诊1.[人教A版教材例题]如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.
(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间;(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件;(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件 ,并说明它们的含义及关系.
解 (1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)根据题意,可得A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},
2.[人教A版教材例题]一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系?(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系?事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系?
解 (1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2,于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)};事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2,于是R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}.同理,有R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}.
(2)因为R⊆R1,所以事件R1包含事件R;因为R∩G=⌀,所以事件R与事件G互斥;因为M∪N=Ω,M∩N=⌀,所以事件M与事件N互为对立事件.(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件;因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
探究点一 样本点与样本空间
【例1】 同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的样本空间.(2)求这个试验的样本点的总数.(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点?
解 (1)试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.(2)样本点的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
变式探究同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面,写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点.
解 “恰有一枚正面向上”这一事件包含3个样本点,分别是:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).
规律方法 确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件;(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
探究点二 随机事件的概念及分类
【例2】 以下的随机事件中不是必然事件的是( )A.标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×bC.走到十字路口,遇到红灯D.三角形内角和为180°
解析 在A中,标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.
规律方法 1.要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.2.必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.
变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是( )A.3个都是篮球B.至少有1个是排球C.3个都是排球D.至少有1个是篮球
解析 根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
探究点三 互斥事件与对立事件的判定
【例3】 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解 从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生、2名女生、1男1女.(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
规律方法 互斥事件和对立事件的判定方法利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有样本点,看它们能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
变式训练2把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对
解析 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.
角度1事件间的运算【例4】 连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系?
解 由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.(1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.(2)E=B∪C.
规律方法 事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
变式训练3盒子里有6个红球、4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?
解 (1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
角度2事件运算的综合问题【例5】 抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰子出现3点”为事件B,分别判断下列两对事件是否为互斥事件:(1)事件A与事件AB;(2)事件B与事件A .
解 由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.(1)事件AB={(2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠⌀,所以事件A与事件AB不是互斥事件.(2)事件 ={(1,1),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6)},所以事件A ={(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6)},所以B∩A =⌀,所以事件B与事件A 是互斥事件.
规律方法 事件运算应注意的两个问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较复杂的判断事件之间互斥关系的题目中,要严格按照定义来推理.
变式训练4设A,B,C为三个事件,下列表述不正确的是( )
1.知识清单:(1)随机事件、必然事件、不可能事件的概念;(2)实际问题中样本空间及样本点的求法;(3)随机事件的含义,随机事件的样本空间的表示;(4)交事件与并事件;(5)互斥事件与对立事件.2.方法归纳:列举法、Venn图法.3.常见误区:因未按照一定的顺序列举样本点,导致样本点重复或遗漏;未弄清事件之间的关系,导致互斥、对立事件判断错误.
1.下列现象:①当x是实数时,x-|x|=2;②某班一次数学测试,及格率低于75%;③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机现象的是( )A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
解析 由随机现象的定义知②③④正确.
2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是( )A.3件都是正品B.至少有1件次品C.3件都是次品D.至少有1件正品
解析 从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,对于A,3件都是正品不是必然事件,A错误;对于B,至少有1件次品不是必然事件,B错误;对于C,3件都是次品是不可能事件,C错误;对于D,至少有1件正品是必然事件,D正确.故选D.
3.已知事件M“3粒种子全部发芽”,事件N“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N是( )A.不可能事件B.不是互斥事件C.互斥但不对立事件D.对立事件
解析 事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,有可能1个不发芽,也有可能2个不发芽,也有可能3个不发芽,故事件M和事件N不对立,故事件M和事件N互斥但不对立.故选C.
4.为了丰富学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,则包含的样本点共有 个.
解析 由题意可得,包含的样本点有“数学与计算机”“数学与航空模型”“计算机与航空模型”,共3个.
