江西省抚州市东乡区第二中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份江西省抚州市东乡区第二中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共13页。试卷主要包含了范围，满分等内容，欢迎下载使用。

说明：
1.范围：第一章~第二章第4节。
2.满分：120分，时间：120分钟。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.如果一个四边形的两条对角线互相平分且垂直，那么这个四边形是（ ）
A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形
2.在中，点D为的中点，点E在上，且.若，，则的长为（ ）
A.10B.11C.12D.13
3.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
4.如图，在矩形中，，相交于点O，平分交于点E，若，，则的长为（ ）
A.B.9C.D.12
5.用配方法解方程时，可以将方程化为（ ）
A.B.
C.D.
6.若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A.20B.24C.28D.20或28
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.关于x的一元二次方程有一根为0，则______.
8.如图，在正方形中，对角线、相交于点O，的平分线交于点E，过点E作交于点，则的度数为______.
9.已知a，b是关于x的方程的两根，那么的值为______.
10.关于x的一元二次方程有两个相等的实数解，则______.
11.如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，G，H分别为，的中点，连接.若，，则的最小值是______.
12.如图，点E在正方形的对角线上，，若点F在正方形的边上，且，则的度数为______.
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.解方程：（1）（用配方法解）；
（2）（用公式法解）.
14.已知关于x的一元二次方程有两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一根为1，求方程的另一根.
15.如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求四边形的面积.
16.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上.
（1）在方格纸中画出以为一边的菱形，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形的面积为3；
（2）在方格纸中画出以为一边的等腰，点G在小正方形的顶点上，连接，使.
17.已知关于x的方程，试问：
（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程?
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程?
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.下面是李阳同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
.
解：二次项系数化为1，得，第一步
移项，得，第二步
配方，得，第三步
变形，得，第四步
开方，得，第五步
解得，，第六步
（1）上面李阳同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
（2）上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程.
19.如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若，，求菱形的面积.
20.如图，点P为正方形的对角线上的任意一点，于点E，于点F.
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为3，.求的长.
五、（本大题共2小题，每小题9分、共18分）
21.如图，在矩形中，点C、A分别在x轴、y轴正半轴上，点B在第一象限，将矩形纸片折叠，使点B与点O重合，点C落在点G处，折痕为.
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若，，求点G的坐标.
22.材料阅读：若x满足，求的值.
解：令，，可得且，
则.
根据上述材料：
（1）若x满足，求的值；
（2）若x满足，求的值；
（3）如图，已知正方形，，，长方形的面积为45，求正方形的面积与正方形的面积差.
六、（本大题共12分）
23.如图1，在矩形中，点E为的中点，将沿折叠得到，点C的对应点是点F，连接，.
图1 图2 图3
（1）求证：；
（2）如图2，过点F作，交于点H，连接，求证：四边形是菱形；
（3）如图3，若，求证：点A，E，F在同一条直线上.
2023-2024学年度九年级阶段性练习
北师大版•数学参考答案（一）
1.【答案】B
【解析】∵一个四边形的两条对角线互相平分且垂直，∴这个四边形是菱形.故选：B.
2.【答案】C
【解析】∵，∴，∵，点D为的中点，∴，∵，由勾股定理得，.故选：C.
3.【答案】B
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴.故选：B.
4.【答案】B
【解析】∵在矩形中，平分，∴，，，∴，∴，∴.∵，，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，∴.故选：B.
5.【答案】A
【解析】移项，得，二次项系数化为1，得，配方，得，整理，得.故选：A.
6.【答案】C
【解析】如图所示：
∵四边形是菱形，∴，∵，因式分解，得0，解得或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，能构成三角形.∴菱形的周长.故选：C.
7.【答案】
【解析】∵关于x的一元二次方程有一根为0，∴，解得，∵是一元二次方程，∴，即，∴.
8.【答案】22.5°
【解析】∵四边形是正方形，∴，∵平分，∴，∵，∴.
9.【答案】
【解析】将方程因式分解，得，解得，，∴，∴.
10.【答案】
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数解，
∴，∴.
11.【答案】
【解析】连接，如图，
∵四边形是菱形，∴，∵G，H分别为，的中点，∴是的中位线，∴，当时，则，最小，得到最小值，∵，∴是等腰直角三角形，∴，即，∴，∴.
12.【答案】60°或90°或150°
【解析】①如图1，当点F在上时，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴；②如图2，当点F在上时，连接，∵四边形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，在四边形中，，∴；③如图3，当点F和点C重合时，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴.综上，的度数为60°或90°或150°.
图1 图2 图3
13.解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，或，
∴，；（3分），
（2）∵，
∴，.（6分）
14.解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，即，
∴；（3分）
（2）∵方程有一根为1，把代入方程中得，
，解得，
∴一元二次方程为，解该方程得，，
∴方程的另一根为3.（6分）
15.解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；（3分）
（2）∵平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.（6分）
16.解：（1）如图所示，菱形即为所求；（3分）
（2）如图所示，即为所求.（6分）
17.解：（1）由题意得，分3种情况：
①，解得，该方程是一元一次方程；
②，解得；该方程是一元一次方程；
③，解得，该方程是一元一次方程；
故或时，该方程是关于x的一元一次方程；（3分）
（2）由题意得，且，解得，都满足，
∴时，该方程是关于x的一元二次方程.（6分）
18.解：（1）解法中运用“而方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；（4分）
（2）从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下：
，
，
，
，
解得，.（8分）
19.解：（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；（4分）
（2）∵四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴.（8分）
20.解：（1）证明：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；（4分）
（2）在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.（8分）
21.解：（1）证明：由折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∴.（3分）
（2）∵，，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴的度数是55°.（6分）
（3）设，则，
根据折叠可得，，
在中，，
∴，
解得，
则，，
如图所示，过点G作轴于点H.
∵，
∴，
在中，，
∴点G的坐标为.（9分）
22.解：（1）设，，可得，且，
则.（3分）
（2）设，，可得且，
则.（6分）
（3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，
又∵四边形是正方形，，；∴，
∵正方形的面积与正方形的面积应，
又∵，
∴（a、b均大于0，舍去），
∴.（9分）
23.解：（1）证明：∵点E为的中点，
∴，
由折叠可知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；（4分）
（2）证明：∵折叠后点C的对应点是点F，
∴，
由（1）可得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵（或），
∴四边形是菱形；（8分）
（3）证明：如图，连接，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A，E，F在同一条直线上.（12分）