黑龙江省哈尔滨市香坊区剑桥第三中学2022-2023学年八年级上学期期中数学(五四制)试题（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市香坊区剑桥第三中学2022-2023学年八年级上学期期中数学(五四制)试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为2的整式方程）判断即可．
【详解】解：A．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
B．含有两个未知数，不是一元二次方程；
C．是分式方程，不是一元二次方程；
D．未知数的次数为1，不是一元二次方程；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，6C. 3，4，5D. 4，6，7
【答案】C
【解析】
【分析】本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】解：该一元二次方程为，
，，，
，
该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
4. 能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】解：A、，，则四边形不一定为平行四边形，可能为等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、，，则四边形为平行四边形；故本选项正确，符合题意；
C、，，则四边形不一定为平行四边形，可能为等腰梯形，故本选项不符合题意；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键．
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形B. 平行四边形的对角线互相垂直
C. 四个角都相等的四边形是正方形D. 矩形的对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的判定、平行四边形的性质、正方形的判定、矩形的性质分别进行判断即可
【详解】解：A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误，不符合题意；
B．平行四边形的对角线互相平分，故选项错误，不符合题意；
C．四个角都相等的四边形是矩形，故选项错误，不符合题意；
D．矩形的对角线相等，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、正方形的判定、矩形的性质等知识， 熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
6. 直角三角形两直角边分别为5和12，则此三角形斜边上的中线长为（ ）
A. 13B. 6.5C. 10D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：直角三角形两直角边长为5和12，
由勾股定理得：斜边，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
此直角三角形斜边上的中线的长，
故选：B．
【点睛】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7. 如图，平行四边形中，对角线、交于点O，点为的中点，且，则的长为（ ）

A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm
【答案】B
【解析】
【分析】因为四边形是平行四边形，所以；又因为点是的中点，所以是的中位线，由，即可求得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴（cm）；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
8. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠前后角相等可知△ABE≌△C'DE，利用勾股定理可求出．
【详解】解：∵四边形ABCD矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°
由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A
在△ABE与△C'ED中
∴△ABE≌△C'DE（AAS）
∴DE=BE
设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中，由勾股定理得：
解得x=5
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理在折叠问题中的应用，找到合适的直角三角形构建等量关系是本题关键．
9. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了28场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，则满足的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排28场比赛即可列出方程.
【详解】设有x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x-1=28，
即
故选：B.
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.
10. 如图：某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下列说法中错误的为（ ）
A. 学校离家的距离为2000米B. 修车时间为15分钟
C. 到达学校时共用时间20分钟D. 自行车发生故障时离家距离为1000米
【答案】B
【解析】
【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程，时间，作出判断即可．
【详解】解：A．学校离家的距离为2000米，正确；
B．由图可知，修车时间为分钟，错误；
C．到达学校时共用时间20分钟，正确；
D．自行车发生故障时离家距离为1000米,正确；
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数图象解决实际问题，正确理解函数图象的意义是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 关于x的方程有一个根是1，则k的值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】将代入，即可求解．
【详解】解： 1是的一个根，
，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
12. 在平行四边形中，，则_______．
【答案】##30度
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，则，由，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，证明是解题的关键．
13. 已知菱形的两条对角线长分别是4和8，则菱形的面积为________．
【答案】16
【解析】
【分析】直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案．
【详解】解：菱形两条对角线长分别是4和8，
菱形的面积为：．
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形面积求法是解题关键．
14. 函数，当时，函数值_______．
【答案】1
【解析】
【分析】把代入即可得到答案．
【详解】解：函数，当时，
函数值，
故答案为：1
【点睛】此题考查了函数值，熟练正确进行计算是解题的关键．
15. 已知，的周长为，且，则_______cm．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平行四边形的周长为相邻两边之和乘2即可求解．
【详解】解：的周长为，且，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的周长公式．
16. 等腰三角形周长为20cm，则底边长y cm与腰长x cm之间的关系式是：__________
【答案】y=20-2x(5【解析】
【详解】∵2x+y=20，
∴y=20−2x>0，
∴x<10，
∵两边之和大于第三边，即2x>20−2x，
解得：x>5，
故底边长y(cm)与腰长x(cm)的函数关系式是：y=20−2x（5故答案为y=20-2x（517. 矩形的一条边长是，对角线长是3，则这个矩形的另一条边长是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据矩形的性质及勾股定理即可求得另一条边长．
【详解】解：矩形的四个内角都是90度，
两个相邻边和对角线构成直角三角形，
矩形的一条边长是，对角线长是3，
由勾股定理得另一条边长，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
18. 某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为，则_____________．
【答案】10%
【解析】
【分析】设平均每次涨价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，故可求解．
【详解】解：依题意得：100（1＋x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19. 在中，，，，点为直线上的点，，则_______．
【答案】12或8
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，再分点在上，点在的延长线上两种情况进行计算即可．
【详解】解：在中，，，，
，
当点在上时，，
当点在的延长线上时，，
故答案为：12或8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，注意分类讨论思想的运用．
20. 如图，在菱形中，对角线、相交点，点在线段上，连接，若，，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据菱形的性质可得，根据直角三角形的性质可得，由等角对等边可得，进而得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设，
四边形是菱形，
，，，
，设，则，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质结合勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
二、解答题（共60分）
21. 解下列一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）用直接开平方法求解即可；
（2）用配方法求解即可．
【小问1详解】
∵
∴
∴
【小问2详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
22. 如图，在中，，，，求、的长度．
【答案】，
【解析】
【分析】过点作于点，根据直角三角形的性质求出，再由勾股定理求出，利用等腰直角三角形的性质求出，进而求得，根据勾股定理可求得．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，，
，
由勾股定理，得，
在中，，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长为1，线段的两个端点都在小正方形的顶点上，请在图1、图2中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点与方格纸中的小正方形顶点重合．
（1）在图1中以为一边画出平行四边形，且面积为12；
（2）在图2中以为一腰画出等腰直角三角形；
（3）直接写出图1所画的平行四边形的周长_______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）16
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质作图即可；
（2）根据等腰直角三角形性质作图即可；
（3）利用勾股定理及平行四边形的周长公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图1，平行四边形即为所求，且面积为12；
小问2详解】
解：如图2，等腰直角三角形即为所求；
【小问3详解】
解：由（1）可知，，，
，
平行四边形的周长，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了作图-应用设计作图，平行四边形的判定和性质，平行四边形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
24. 已知：如图1，四边形ABCD是平行四边形，E,F是对角线AC上的两点，AE=CF.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如果AE=EF=FC,请直接写出图中2所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形.
【答案】（1）见解析；（2）△ADF，△CDE，△CBE，△ABF.
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得出OA=OC,OB=OD，因为AE=CF可推出OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证结论；
（2）AE=EF=FC可知 ，故而可推面积等于四边形DEBF的面积的三角形有：△ADF，△CDE，△CBE，△ABF.
【详解】（1）证明：
连接BD交AC于点O，
∵平行四边形ABCD
∴OA=OC,OB=OD
∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形DEBF为平行四边形；
（2）由AE=EF=FC可知
故面积等于四边形DEBF面积的三角形有：△ADF，△CDE，△CBE，△ABF；
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.
25. 某商店预购进甲、乙两种衬衫，3件甲种衬衫和2件乙种衬衫共需要1200元，购买5件甲种衬衫和4件乙种衬衫共需要2100元．
（1）求甲、乙两种衬衫单价．
（2）甲种衬衫平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】（1）300元，150元
（2）20元
【解析】
【分析】（1）设甲种衬衫单价为元，乙种衬衫单价为元，根据题意，列出二元一次方程组求解即可；
（2）设每件衬衫应降价元，则降价后每件盈利元，每天售出件，根据题意列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设甲种衬衫单价为元，乙种衬衫单价为元，
根据题意，得，
解得：，
答：甲种衬衫的单价为300元，乙种衬衫单价为150元．
【小问2详解】
解：设每件衬衫应降价元，则降价后每件盈利元，每天售出件，
根据题意，得，
即，
解得：，，
尽快减少库存，
每件衬衫应降价20元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
26. 如图1，在中，为对角线，点E为线段上一点，若．
（1）求证：；
（2）如图2，若点F在的延长线上，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，线段与线段相交与点H，若点E为的中点，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可得出结论；
（2）过点F作于点P，作交的延长线于点Q，根据角平分线的性质得出，证明，得出即可；
（3）作，，证明，得出，证明四边形为正方形，得出，设，根据勾股定理得出，求出，，根据，得出，得出，求出，得出即可．
【小问1详解】
证明：∵在中，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点F作于点P，作交的延长线于点Q，如图所示：
根据解析（1）可知，平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴为矩形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：作，，如图所示：
则，
根据解析（2）可知，，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握掌握相关的判定和性质．
27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、点B分别在y轴和x轴上，，．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）动点P从点B出发，沿着射线以每秒1个单位每秒的速度运动，连接，设的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在的延长线上取一点C，使，连接，当时，求此时S的值．
【答案】（1）点A的坐标是，点B的坐标是；
（2）
（3）．
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得到,则，得到，即可得到答案；
（2）分点P在线段上、点P在射线上，点的左侧两种情况求解即可；
（3）点P在线段上时，，不符合题意，当点P在射线上，点的左侧时，，先求出，，过点P作交的延长线于点D，过点D作，过点P作，设相交于点F，连接，求出，，证明，则，，再证明，则，在中，求出，则，在中，即，，解得或（不合题意，舍去），即可求得．
【小问1详解】
解：在中，，，．
∴,
∴，
∴，
∵点A、点B分别在y轴和x轴上，
∴点A的坐标是，点B的坐标是；
【小问2详解】
当点P在线段上时，如图，
∵，，
∴的面积为，此时，
当点P在射线上，点的左侧时，如图，
∵，，
∴的面积为，此时，
∴；
【小问3详解】
当点P在线段上时，如图，
则，即，不符合题意，
当点P在射线上，点的左侧时，如图，，
∵，，
∴，
∴，
过点P作交的延长线于点D，过点D作，过点P作，设相交于点F，连接，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
在中，，
即，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、列函数关系式、坐标与图形等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．