黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2022-2023学年八年级上学期数学月考数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市松雷中学校2022-2023学年八年级上学期数学月考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A中图案不是轴对称图形；
B中图案是轴对称图形；
C中图案是轴对称图形；
D中图案是轴对称图形；
故选A．
2. 已知点与点关于轴对称，那么点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点坐标关于x轴对称的变换规律即可得．
【详解】点坐标关于x轴对称的变换规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标关于x轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于x轴对称的变换规律是解题关键．
3. 下列图形中对称轴最多的是 （ ）
A. 等腰三角形B. 正方形C. 圆D. 线段
【答案】C
【解析】
【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行选择．
【详解】解：A、因为等腰三角形分别沿底边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等腰三角形是轴对称图形，底边的中线所在的直线就是对称轴，所以等腰三角形有1条对称轴；
B、因为正方形沿对边的中线及其对角线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，对边的中线及其对角线所在的直线就是其对称轴，所以正方形有4条对称轴；
C、因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴．
D、线段是轴对称图形，有两条对称轴．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，解答此题的主要依据是：轴对称图形的定义及其对称轴的条数．
4. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A. 2cmB. 4cmC. 6cmD. 8cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：由题意可知，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
所以斜边=2×2=4cm
故选B．
【点睛】题目主要考查在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握运用此定理是解题关键．
5. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ）
A. 80°B. 20°C. 80°或20°D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】已知条件中的外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况进行讨论，再结合三角形的内角和为，即可求出顶角的度数．
【详解】解：∵①当顶角的外角等于时，则该顶角为：；
②当底角的外角等于时，则该底角为，又由于是等腰三角形，故此时顶角为：．
∴综上所述，等腰三角形的顶角为或．
故选：C
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及邻补角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．
6. 如图，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（ ）
A 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠CBD=60°．
∵将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，
∴∠A=∠DBE=∠EBC=30°．
∵∠EBC=∠DBE，∠BCE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△BCE≌△BDE．
∴CE=DE．
∵AC=6，∠A=30°，
∴BC=AC×tan30°=2．
∵∠CBE=30°．
∴CE= BC×tan30°=2．即DE=2．
故选D．
考点：1．勾股定理2．解直角三角形
7. 如图，中，AD为中线，，，，则AC长（ ）
A. 2.5B. 2C. 1D. 1.5
【答案】D
【解析】
【分析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，证明△BED≌△CAD，根据全等三角形性质可得BE=AC，∠BED=∠CAD=90°，在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，根据30°角直角三角形的性质即可求得AC的长．
【详解】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△BED和△CAD中，

∴△BED≌△CAD（SAS），
∴BE=AC，∠BED=∠CAD，
∵，
∴∠CAD=90°，
∴∠BED=∠CAD=90°，
在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，
∴AC==1.5．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
8. 如图，AB＝AC，AE＝EC，∠ACE＝28°，则∠B的度数是（ ）
A. 60°B. 70°C. 76°D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】由AE=EC，∠ACE=28°，可得∠A=28°，再由AB=AC，即可推出∠B=，通过正确计算，即可得结果．
【详解】解：∵AE=EC，∠ACE=28°，
∴∠A=28°，
∵AB=AC，
∴∠B==76°．
故选C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，关键在于熟练运用相关的性质定理，认真地进行计算．
9. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）

A. 的三条中线的交点B. 三边的垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到两边距离相等，即可解答．
【详解】解：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．
10. 下列说法中，正确的有（ ）个．
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②轴对称图形的对应点一定在对称轴两侧；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】依据全等三角形的概念、轴对称图形的特点，等腰三角形的性质进行判断，即可得出结论．
【详解】解：①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故原说法错误；
②轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，也可能在对称轴上，故原说法错误；
③等腰三角形的底边上的高、中线、以及顶角平分线互相重合，故原说法错误；
④若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，故原说法正确；
故说法中正确的个数为1个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的概念、轴对称图形的特点、等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的底边上的高、中线、以及顶角平分线互相重合，简称三线合一．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 已知点P在线段的垂直平分线上，连接、，若，则____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PB=PA=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12. 若等腰三角形的顶角为，则一腰上的高与底边所成的角的度数是____度．
【答案】15
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数．
【详解】解：如图：中，，是边上的高．
∵，且，
∴，
在中，
，，
∴．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理是解题的关键．
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，AC＝DC，则∠B＝_____．
【答案】36°．
【解析】
【分析】根据等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AD=BD
∴∠B=∠DAB
∴∠C=∠DAB
∵AC=DC
∴∠CDA=∠CAD
又∠CDA=∠B+∠DAB=2∠B
∴5∠B=180°
∠B=36°．
故答案为：36°．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练进行逻辑推理．
14. 如图，等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=6，则EP+CP的最小值为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF是△ABC中线，
∴CF=AD=6，
即EP+CP的最小值为6，
故答案为：6
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．
15. 等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则顶角=_______°
【答案】30,150
【解析】
【分析】分三角形是锐角三角形和钝角三角形，两种情况，即可求解．
【详解】①如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB且CD=AB，
∵△ABC中，CD⊥AB且CD=AB，AB=AC，
∴CD=AC，
∴∠A=30°．
②如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥BA的延长线于点D，且CD=AB，
∵∠CDA=90°，CD=AB，AB=AC，
∴CD=AC，
∴∠DAC=30°，
∴∠A=150°．
故答案为：30°或150°．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质及含30度的直角三角形的性质的综合运用，解题关键在于注意分类讨论思想的运用．
16. 如图，中，平分，平分，过点O作交于点M交于点N，若周长为15，周长为24，则_____．
【答案】9
【解析】
【分析】根据平分，平分且，再结合等角对等边可证，得到的周长，根据△ABC的周长即可求得BC．
详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长为24，
∴，
∵周长为15，
∴，
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识点，根据角平分线的定义及平行线的性质证得是解答本题的关键．
三、解答题：（17—19题各6分，20—22题各8分，23—25题各10分，共72分）
17. 已知实数，满足，求以，的值为两边长的等腰三角形的周长．
【答案】，；周长为
【解析】
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
当等腰三角形的腰为4时，，不能构成三角形；
当等腰三角形的腰为8时，，能构成三角形，此时三角形的周长为：；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键掌握基本概念，属于中考常考题型．
18. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在（1）问的条件下，分别连接BC1 ，CC1，则△BCC1的面积S =_____．
【答案】（1）答案见解析；（2）4．
【解析】
【分析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．作A,B,C关于直线l的对称点， ，连接相邻两点即可得到所求的图形;
（2）由图直接根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）如图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形．
（2）连接BC1 ，CC1
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了作轴对称变换及三角形的面积，解题的关键是掌握画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①作出特殊点的对称点；②连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形，以及掌握三角形的面积公式．
19. 如图，在中，，，延长至D，使，延长至E，使，连接，．求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】由题意可知和均为等腰三角形，由三角形内角和定理求得的度数，由三角形外角和内角的关系求得和的度数，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质、三角形内角和外角的关系、三角形内角和定理是解题的关键．
20. 是等边三角形，点D是中点，连接，点E是延长线上一点，且，连接．求证：；

【答案】证明过程见解析
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可得，，再根据，可得，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】证明：∵是等边三角形，点D是中点，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和三角形外角的性质证明是解题的关键．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD= CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：DE=DF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由垂线的性质可证得，由AAS证明△BDE≌△CDF，得出对应边相等即可．
【详解】证明：，
，
DE⊥AB，DF⊥AC，
，
在与中，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用证明三角形全等的方法是解决问题的关键．
22. 如图，，都是等边三角形，直线与直线交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）因为，都是等边三角形，所以，，，又因为公共角，得到，进而通证三角形全等得；
（2）根据三角形全等，以及外角的性质再加上等量代换，求得的度数．
小问1详解】
因为都是等边三角形，
所以，，
因为，，
所以，
在和中，

所以，
所以．
【小问2详解】
因为，
所以，
所以
【点睛】本题主要考查了三角形全等的证明，找到对应边及对应角是解题的关键．
23. 如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，
(1)观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
(2)根据规律，计算正八边形中的∠α的度数.
(3)是否存在正n边形使得∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)60，45，36，30°，；(2)22.5；(3)不存在.
【解析】
【分析】（1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=（）°；
（2）根据规律，可得正八边形中的∠α的度数；
（3）根据正n边形中的∠α=（）°，可得答案．
【详解】（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α=（）°=22.5°；
（3）不存在，理由如下：
设存在正n边形使得∠α=21°，
得∠α=21°=（）°．
解得n=8，n是正整数，n=8（不符合题意要舍去），
不存在正n边形使得∠α=21°．
【点睛】此题考查多边形内角与外角，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等，解题关键在于每题都利用正多边形的内角公式：．
24. 如图，在等边中，点D、E分别为、边上的点，．连接、相交于点F．

（1）求证：
（2）过A作于点H，当，，时，求线段的长度．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）7
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，从而证明，可得，再根据三角形外角的性质可得，即可得出结论；
（2）由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，求得，由直角三角形的性质可得，从而得出，得出，即可得出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质证明是解题的关键．
25. 在中，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点D在BC上，点E在AB上，连接AD和DE，．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作于点H，交AC于点F，作于点E，交AC于点K，连接HK，若，的面积为，求DE的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）6．
【解析】
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，证明即可．
（2）如图2中，过点作交于．想办法证明即可．
（3）如图3中，过点作交的延长线于．设．证明，推出，利用三角形的面积，构建方程求出即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
，，
，
，
．
（2）证明：如图2中，过点作交于．
，
，，
，，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，过点作交的延长线于．设．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
或（舍弃），
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积，直角三角形30度角的性质等知识，能够添加平行线解决问题，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．正多边形边数
3
4
5
6
……
n
∠α的度数
______°
_____°
______°
______°
……
_____°
正多边形边数
3
4
5
6
…
n
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
…
（）°