新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 直线的倾斜角与斜率（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 直线的倾斜角与斜率（含解析），共31页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破，答案详解等内容，欢迎下载使用。

直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
【题型归纳】
题型一： 求直线的倾斜角
1．直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．过点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．1D．
题型二： 求直线的斜率
4．如图，直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
5．若，且为第二象限角，则角的终边落在直线（ ）上.
A．B．C．D．
6．若直线的倾斜角为，且，则直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．D．
题型三： 斜率与倾斜角的关系
7．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．若直线l经过第二､三､四象限，其倾斜角为，斜率为k，则（ ）
A．B．
C．D．
9．直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型四： 斜率公式的应用
10．若点、、在同一直线上，则（ ）
A．B．C．D．
11．过点和的直线的方向向量为，则的值为（ ）
A．1B．4C．1或3D．1或4
12．点在函数的图象上，当时，的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型五： 直线与线段的相交关系求斜率的范围
13．已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
14．已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【双基达标】
16．已知直线，点，，若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
17．直线:与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
18．设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
19．若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．如图直线的斜率分别为，则（ ）
A． B． C． D．
21．已知、两点，直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
22．设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
23．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．已知直线经过，两点，那么直线的倾斜角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
25．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A．B．C．D．
26．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
27．已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（ ）
A．0°≤α<180°B．15°<α<180°
C．15°≤α<180°D．15°≤α<195°
28．已知直线：，若，则倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
30．已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是（ ）
A．平行或重合B．平行C．垂直D．重合
【高分突破】
一、单选题
31．若直线的倾斜角满足，且，则其斜率满足（ ）
A．B．
C．或D．或
32．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．45°D．135°
33．若直线的向上方向与轴的正方向成角，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．或D．或
34．已知点A（2，4），B（3，6），则直线AB的斜率为（ ）
A．B．C．2D．-2
35．已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何,总是无解B．无论如何,总有唯一解
C．存在使之恰有两解D．存在使之有无穷多解
36．已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
37．若直线l的斜率k=2，又过一点(3，2)，则直线l经过点（ ）
A．(0，4)B．(4，0)
C．(0，4)D．(2，1)
38．若，，三点共线，则实数的值为
A．2B．C．D．
39．已知，，若直线与线段AB有公共点，则的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，，
40．已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．或B．
C．D．
二、多选题
41．设直线，其中且.给出下列结论其中真命题有（ ）
A．的斜率是
B．的倾斜角是
C．的方向向量与向量平行
D．的法向量与向量平行.
42．（多选）对于下列选项中正确的是（ ）
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
43．(多选)若经过A(1a，1+a)和B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为（ ）
A．B．C．1D．2
44．下列说法中正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角；
B．若两条不重合的直线的斜率相等，则这两条直线平行；
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；
D．平行的两条直线的倾斜角一定相等.
三、填空题
45．若经过两点的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是_______．
46．已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为_______.
47．已知点P，Q的坐标分别为，，直线l：与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是___________.
48．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
49．已知点，，且直线与线段AB有公共点，则实数k的取值范围为________．
50．已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________.
四、解答题
51．已知，，三点.
（1）求直线和的斜率；
（2）若点在线段(包括端点)上移动，求直线的斜率的变化范围.
52．求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
53．已知，，三点．
（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值．
（2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值．
54．（1）设坐标平面内三点､､，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
55．已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角．
【答案详解】
1．C
【解析】
【分析】
首先得到直线的斜率，从而得到，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】
解：因为直线的斜率，倾斜角为，所以，
所以.
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
由斜率直接求解倾斜角即可.
【详解】
设倾斜角为，则，则.
故选：C.
3．A
【解析】
【分析】
利用斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】
过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，
故选：A．
4．D
【解析】
【分析】
直接由斜率的定义判断大小即可.
【详解】
由斜率的定义知，.
故选：D.
5．B
【解析】
【分析】
先由平方关系和商数关系求出，进而求得终边所在直线方程.
【详解】
由为第二象限角可得，则，
则角的终边落在直线即上.
故选：B.
6．C
【解析】
【分析】
将两边平方，并求出，进一步求出，然后求出得到.
【详解】
由题意， ，由，则，所以.
于是，联立.
故选：C.
7．A
【解析】
【分析】
根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.
【详解】
因为直线的斜率为，且，
，因为，
.
故选：A.
8．B
【解析】
【分析】
由题设，进而确定的范围，再判断的符号，即可确定答案.
【详解】
由题设，，而，则，
所以，则，.
故选：B
9．D
【解析】
【分析】
先求得，然后结合诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】
直线的斜率为，所以，
.
故选：D
10．A
【解析】
【分析】
利用结合斜率公式可求得实数的值.
【详解】
因为、、在同一直线上，则，即，解得.
故选：A.
11．A
【解析】
【分析】
根据直线的方向向量为，求得斜率为，结合斜率公式列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，直线的方向向量为，可得直线的斜率为，
又由点和，可得，解得．
故选：A.
12．B
【解析】
【分析】
根据点在函数的图象上可求出当时的两端点坐标，将看作函数的图象上的点与点（-1，-2）连线的斜率，即可求得答案.
【详解】
因为点在函数的图象上，
所以时， ；当时，；
故设
而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率，
故时，,
而 ,所以
故选：B.
13．D
【解析】
【分析】
画出图形，由图可知，或，从而可求得答案
【详解】
因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，
所以由图可知，或，
因为或，
所以或，
故选：D
14．A
【解析】
【分析】
分别求出，即可得到答案.
【详解】
直线经过定点.
因为，所以,
所以要使直线与线段没有公共点，
只需：，即.
所以的取值范围是.
故选：A
15．B
【解析】
【分析】
由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解.
【详解】
由可得：，
由可得，所以直线：过定点，
作出图象如图所示：
，，
若直线与线段相交，则或，
所以实数的取值范围是或，
故选：B
16．A
【解析】
【分析】
若直线与线段有公共点，由、在直线的两侧（也可以点在直线上），得（）可得结论．
【详解】
若直线与线段有公共点，则、在直线的两侧（也可以点在直线上）.
令，则有，，，即.
解得，
故选：A.
17．C
【解析】
【分析】
由题知直线l的倾斜角为30°，从而求得旋转后的倾斜角，利用特殊角的两角和与差的余弦公式求得结果.
【详解】
解：设的倾斜角为，则，
，
由题意知，
．
故选：C
18．D
【解析】
由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．
【详解】
由题意，直线的倾斜角为，则，
因为，即，
结合正切函数的性质，可得．
故选：D．
19．D
【解析】
【分析】
应用两点式求直线斜率得，结合及，即可求的范围.
【详解】
根据题意，直线经过，,，
∴直线的斜率，又，
∴，即，又，
∴；
故选：D．
20．D
【解析】
根据直线的倾斜角和斜率的关系，结合图象，即可求解.
【详解】
由图象可得，直线的倾斜角为钝角，所以直线的斜率，
又由的倾斜角都为锐角，且的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，
所以
故选：D.
21．C
【解析】
作出图形，求出当直线分别经过点、时，直线的斜率的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】
直线恒过点，
则直线的斜率为，直线的斜率为，
由图可知直线的斜率的取值范围是，
故选：C.
【点睛】
在求直线斜率时，要注意对直线的倾斜角是锐角、钝角或直角进行分类讨论，必要时可结合正切函数图象来理解.
22．A
【解析】
【分析】
根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
如图所示：
，要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
23．A
【解析】
【分析】
分斜率存在不存在，若斜率存在，根据直线方程求出斜率，由斜率求倾斜角.
【详解】
设直线的倾斜角为，
当时，；
当时，则．
因为
所以
综上可得：．
故选：A
24．C
【解析】
首先根据直线上的两点计算斜率，再根据，求倾斜角.
【详解】
根据斜率公式可知，即，
，.
故选：C
25．C
【解析】
【分析】
由五角星的内角为，可知，又平分第三颗小星的一个角，过作轴平行线，则，即可求出直线的倾斜角.
【详解】
都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为，可知，
过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线的倾斜角，解题的关键是通过做辅助线找到直线的倾斜角，通过几何关系求出倾斜角，考查学生的数形结合思想，属于基础题.
26．D
【解析】
【分析】
先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.
【详解】
依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题.
27．D
【解析】
【分析】
由直线的倾斜角的取值范围求解即可.
【详解】
设直线l的倾斜角为β，则β的范围是0°≤β<180°.由题意知β=α-15°，则0°≤α-15°<180°，解得15°≤α<195°.
28．C
【解析】
先求出直线斜率的取值范围，进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值范围．
【详解】
解：当时,：
则
设的倾斜角为，则
当时直线的斜率为，倾斜角为，
，的倾斜角为
综上，
故选：
【点睛】
熟练掌握直线的斜率和三角函数的单调性及值域是解题的关键，属于中档题．
29．D
【解析】
【分析】
求得直线的斜率以及倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率.
【详解】
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，
所以直线的倾斜角为，
所以的斜率为，
故选：D.
30．C
【解析】
【分析】
根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线，的斜率，即可判断出直线，的位置关系．
【详解】
因为，，所以，即直线，的位置关系是垂直．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查利用斜率判断两条直线的位置关系，涉及斜率的定义以及斜率公式的应用，属于基础题．
31．C
【解析】
【分析】
根据倾斜角和斜率关系可求斜率的范围.
【详解】
斜率，因为，且，
故或，即或，
故选：C.
【点睛】
本题考查倾斜角与斜率的关系，一般地，如果直线的倾斜角为，则当时，直线的斜率不存在，当时，斜率.
32．C
【解析】
【分析】
依题意可知直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，结合的范围可得结果.
【详解】
依题意可知直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，又，故.
故选：C.
33．C
【解析】
【分析】
作出图形，可得出直线的倾斜角.
【详解】
直线的位置可能有两种情形，如图所示，故直线的倾斜角为或.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线的倾斜角，属于基础题.
34．C
【解析】
【分析】
直角利用两点坐标求直线斜率的公式计算即可.
【详解】
因为，
所以.
故选：C
35．B
【解析】
【分析】
判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，点与是直线(为常数)上两个不同的点，
直线的斜率存在，所以，即，
且，所以，
由方程组，
可得：，即，
所以方程组有唯一的解．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
36．B
【解析】
【分析】
根据倾斜角和斜率关系求解.
【详解】
直线倾斜角为45°时，斜率为1，
直线倾斜角为135°时，斜率为，
因为在上是增函数，在上是增函数，
所以当时，的取值范围是.
故选：B
37．B
【解析】
【分析】
利用斜率公式逐个验证即可
【详解】
对于A，，不符合题意；
对于B，，所以B正确；
对于C，，不符合题意；
对于D，，不符合题意，
故选：B
38．C
【解析】
【分析】
由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题.
【详解】
因为，，三点共线，
所以方向向量与共线，
所以，解得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.
39．C
【解析】
【分析】
先确定直线恒过定点，再计算公共点在A，B之间运动时，临界状态两个端点处的斜率，数形结合即得的取值范围.
【详解】
由于直线的斜率为，且经过定点，如图设直线与线段AB有公共点为，则在A，B之间运动，
在A点时，直线的斜率为；在B点时，直线的斜率为，故.
故选:C.
40．A
【解析】
【分析】
首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】
解：直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是或．
故选：A．
41．AD
【解析】
【分析】
由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD．
【详解】
因为直线，其中，所以的斜率是；所以A对；的倾斜角满足，但不一定有，所以B错；
的方向向量为，因为，所以C错；
的法向量为，因为，所以D对；
故选：AD.
42．ABC
【解析】
【分析】
根据倾斜角和斜率的定义分析即可得解.
【详解】
由倾斜角的范围，可得正确；
由正切函数的值域可得斜率为一切实数，故正确；
任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，
故正确；错误．
故选：．
43．AB
【解析】
【分析】
求出倾斜角为钝角时的范围，然后判断．
【详解】
解析：kAB=<0，即2+a>0，所以，CD满足．
故选：AB．
44．ABD
【解析】
【分析】
根据直线斜率人、倾斜角的概念判断．
【详解】
所有直线都有倾斜角，A正确；若两条不重合的直线的斜率相等，则这两条直线平行，B正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有两直线垂直，C错误；平行的两条直线的倾斜角一定相等，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查直线的倾斜角和斜率的概念，任意直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时，斜率不存在，倾斜角为为90°时，倾斜角的正切值为直线的斜率．
45．
【解析】
【分析】
根据斜率的计算公式，解不等式得到的取值范围.
【详解】
因为直线l的倾斜角为锐角，所以其斜率，故．
故答案为：.
【点睛】
本题属于直线的斜率问题，关键是知道斜率的计算公式.
46．
【解析】
【分析】
由的几何意义是过两点的直线的斜率，结合图象可得，进而可得结果.
【详解】
的几何意义是过两点的直线的斜率，如图所示：
由题知点M在直线上，且，当时，；当时，.设，.又，结合图象可得，
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了斜率的几何意义，考查了数形结合思想和运算求解能力，属于基础题目.
47．
【解析】
【分析】
先求出PQ的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案.
【详解】
解：如下图所示，
由题知，
直线过点.
当时，直线化为，一定与PQ相交，所以，
当时，，考虑直线l的两个极限位置.
经过Q，即直线，则；
与直线PQ平行，即直线，则，
因为直线l与PQ的延长线相交，
所以，即，
故答案为：.
48．
【解析】
【分析】
由斜率相等得的关系．
【详解】
解析：由题意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案为：．
49．或
【解析】
【分析】
由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k的取值范围．
【详解】
解：直线，即，令x−1＝0，求得x＝1，y＝1，可得直线l经过定点M（1，1）．
如图：
∵已知MA的斜率为，MB的斜率为
直线l：与线段AB相交，
或，
故答案为或．
【点睛】
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的位置关系，属于基础题．
50．
【解析】
【分析】
首先求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围；
【详解】
解：设点，依题意，．
因为直线与线段有交点，
由图可知直线的斜率的取值范围是．
故答案为：．
51．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用公式可求两条直线的斜率.
（2）在坐标平面中画出线段，根据图形可求直线的斜率的变化范围.
【详解】
（1）由斜率公式可得直线的斜率，直线的斜率.
（2）如图所示，当点由点运动到点时，直线的斜率由增大到，所以直线的斜率的变化范围是.
【点睛】
本题考查斜率的计算，注意考虑斜率的取值范围时关注动直线是否垂直于轴，这会影响斜率的范围的表达形式，本题属于基础题.
52．
【解析】
【分析】
当时，斜率不存在，当时，利用斜率公式求解
【详解】
由题意，当时，倾斜角，
当时，，即倾斜角为锐角；
综上得：．
53．（1）；（2）能共线，.
【解析】
【分析】
（1）利用直线的倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式得tan45°=1= ， 即可求得m的值；
（2）三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式，可求m的值.
【详解】
（1）过A，C两点的直线的斜率为 ，
又直线AC的倾斜角为，所以，得.
（2），，
若，，三点共线，则有，即，解得，
所以A，B，C三点能共线，且.
【点睛】
本题考查了斜率公式，考查了斜率与倾斜角的关系；判断A、B、C三点共线的方法.
54．（1）1或2；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果.
（2）根据斜率与倾斜角关系，应用倍角正切公式求直线的斜率.
【详解】
（1）由，即，解得或，
经检验均符合题意，故m的值是1或2；
（2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为.
由已知，，则直线的斜率为.
55．或.
【解析】
【分析】
分别考虑斜率的情况，然后根据斜率等于倾斜角的正切值求解出倾斜角.
【详解】
设倾斜角为，
当时，，；
当时，，；
所以直线的倾斜角为或.