新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 利用基本不等式求最值（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 利用基本不等式求最值（含解析），共31页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：利用基本不等式求最值
【考点梳理】
1. 基本不等式
如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2. 几个重要不等式
重要不等式
使用前提
等号成立条件
a2＋b2≥2ab
a，b∈R
a＝b
＋≥2
ab>0
a＝b
＋≤－2
ab<0
a＝－b
ab≤
a，b∈R
a＝b
≤
a，b∈R
a＝b
　　3. 基本不等式求最值
(1)设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记为：积定和最小).
(2)设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2(简记为：和定积最大).
4. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)≤≤≤(a>0，b>0).
即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
5. 三元均值不等式
(1)≥.
(2)≥abc.
以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
6. 二维形式柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.


【题型归纳】
题型一： 由基本不等式比较大小
1．已知m，n为正实数，且，则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
2．若，，，则下列不等式恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
3．已知，，设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（       ）．
A． B．
C． D．

题型二：直接求最值
4．若正实数满足，则（       ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最小值 D．有最小值2
5．若，，函数的图象过点，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
6．已知，则的最大值为（       ）
A． B． C．0 D．2

题型三：配凑法求最值
7．函数的最小值是（       ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．已知，则函数的最小值是（       ）
A． B． C．2 D．
9．函数有（       ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2

题型四：常数代换求最值
10．已知，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
11．已知都是正数，且，则的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．3
12．已知，，，则的最小值为（       ）
A．13 B．19 C．21 D．27




【双基达标】
13．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（       ）
A．4 B．8 C．16 D．32
14．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（       ）．
A． B． C． D．
15．已知为正实数，且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（       ）

A．里 B．里 C．里 D．里
17．已知，，若，则的最小值是（       ）
A．2 B． C． D．
18．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（       ）
A．2 B．4 C． D．
19．已知函数（），则该函数的（       ）．
A．最小值为3 B．最大值为3
C．没有最小值 D．最大值为
20．设，则取得最小值时，的值为（       ）
A． B．2 C．4 D．
21．某手机生产线的年固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本万元，当年产量不足80千台时，(万元)；当年产量不小于80千台时，(万元).每千台产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.当年产量为（       ）千台时，该厂当年的利润最大？
A．60 B．80 C．100 D．120
22．已知圆的圆心到直线的距离为，若，且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
23．已知，满足，则的最小值为（       ）
A． B．4 C． D．
24．已知，则的最小值是（       ）
A．1 B．4 C．7 D．
25．已知在处取得极值，则的最小值是（       ）
A． B．2 C． D．
26．设函数的定义域为R，若存在常数，使对一切实数x均成立，则称为“F函数”．给出下列函数：①；②；③；④．其中是“F函数”的个数为（       ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
27．已知，则的最小值是（       ）
A．7 B． C．4 D．
28．若正数，满足，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
29．若实数，则的最小值为（       ）
A． B．1 C． D．2
30．若正实数，满足，则的最小值为（       ）
A．7 B．6 C．5 D．4

【高分突破】
一、 单选题
31．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
32．已知，且，则的最小值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
33．若，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
34．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
35．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）
A．13 B．12 C．9 D．6
36．已知两个正实数，满足，则的最小值是（       ）
A． B． C．8 D．3
37．若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
38．已知正数，满足，则（       ）
A．有最大值 B．有最小值8
C．有最小值4 D．有最小值
39．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
40．设正实数、满足，则下列说法中正确的是（       ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
41．已知实数，且满足，则下列说法正确的是（       ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
三、填空题
42．已知，且，则的最小值为_________．
43．若，则的最小值是___________.
44．若，则的最小值为____________．
45．若正数满足，则的最小值为______.
46．已知，，则二元函数的最小值为___________.
47．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
四、解答题
48．（1）若，求的最小值及对应的值；
（2）若，求的最小值及对应的值．
49．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
50．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．
（1）求的最小值；
（2）证明：＜．
51．某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第个月的维修费和工资支出为元.
（1）设月平均消耗为元，求与（月）的函数关系；
（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）
（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？
52．已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据指数函数及幂函数的单调性可判断A，B，举反例可判断C，根据均值不等式判断D即可.
【详解】
，为正实数，且，即

在上均为减函数，
在上为增函数.
当时，，故A错误；
当时，，故B错误；
取，此时，故C错误；
，，，
，，，故D正确.
故选：D
2．D
【解析】
【分析】
根据不等式串 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.
【详解】
对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；
对于选项B： ，，∴B错误；
对于选项C ：，
因为 ∴C错误；
对于选项D：∵，当且仅当时取等号，
∴，D正确；
故选：D
3．D
【解析】
【分析】
首先求出，的表达式，再利用对数的运算法则进行变形比较与，再利用基本不等式以及函数的单调性进行判断即可.
【详解】
依题意得，，，

，
由基本不等式得：，
又为单调递增函数
即，
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.
【详解】
因为正实数满足
所以，当且仅当，，即取等号，故A正确、C错误．
，当且仅当，，即取等号，故B、D错误．
故选：A
5．CD
【解析】
【分析】
利用对数函数过可得，利用基本不等式可依次判断ABD；根据指数函数单调性可判断C.
【详解】
因为过点，所以，即，
又，，所以，，
对于A，（当且仅当时取等号），
，A错误；
对于B，（当且仅当时取等号）， B错误；
对于C，，因为，所以，
所以，即， C正确；
对于D，（当且仅当时取等号），D正确.
故选：CD
6．C
【解析】
【分析】
把所求代数式变形，转化成，再对其中部分以基本不等式求最值即可解决.
【详解】
时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
结合基本不等式求得所求的最小值.
【详解】
，
，
当且仅当时等号成立.
故选：C
8．D
【解析】
【分析】
应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
由题设，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴函数最小值为.
故选：D.
9．D
【解析】
【分析】
分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】
（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故选：D
10．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式进行求解.
【详解】
因为，，
所以
（当且仅当，即时取等号），
即的最小值为4.
故选：D.
11．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式中“1”的妙用，令，即可求解.
【详解】
由题意知，，，
则
，
当且仅当时，取最小值.
故选：C．
12．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】
，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27
故选：D
13．B
【解析】
【分析】
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】

双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
14．D
【解析】
【分析】
根据题意，结合基本不等式计算的最小值，即可求解.
【详解】
由题意得
，
当且仅当时取等号．因此，结合，可知．
则符合条件，因此正实数的取值范围是.
故选：D．
15．B
【解析】
【分析】
根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
则有，解得，
当且仅当，取到最小值.
故选：B.
16．D
【解析】
【分析】
根据题意得，进而得，再结合基本不等式求的最小值即可.
【详解】
因为1里=300步，
则由图知步=4里，步=2.5里．
由题意，得，
则，
所以该小城的周长为，
当且仅当时等号成立.
故选:D．
【点睛】
本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.
17．C
【解析】
【分析】
将，转化为，由，利用基本不等式求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
18．D
【解析】
根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：D
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
19．D
【解析】
【分析】
先由基本不等式得到，再转化得到（），最后判断选项即可.
【详解】
解：因为，所以，，
由基本不等式：，
当且仅当即时，取等号.
所以，即，所以（），
当且仅当即时，取等号.
故该函数的最大值为：
故选：D
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.
20．A
【解析】
转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.
【详解】




，
当且仅当，即，，时，等号成立.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
21．C
【解析】
求得当年的利润的解析式，结合二次函数的性质、基本不等式求得正确选项.
【详解】
设年产量为x千台，当年的利润为y万元，
则由已知有，
即，
当时，由二次函数的性质可知当时y取最大值950，
当时，.
当且仅当时，y取得最大值1000，
又，所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润取得最大值1000万元.
故选：C
22．D
【解析】
【分析】
本题目考察圆的一般方程的圆心坐标，以及点到直线的距离公式，通过点到直线的距离公式可以求出参数的值，最后是基本不等式中“1”的代入的应用，已知分式为定值，可以求得整式的最小值
【详解】
由题意，知圆心坐标为(1，4)，
圆心到直线的距离为，则，解得或
因为，所以
所以，且，则，当且仅当时取“="，即的最小值为．
故选：D
23．C
【解析】
由题意可得，结合目标式即可构造出，进而利用基本不等式求的最小值
【详解】
由知：，而，
∴，则
∴
故选：C
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值
24．C
【解析】
【分析】
由目标式可得，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
∵，
∴当且仅当时等号成立.
故选：C
25．D
【解析】
求导，根据极值点得到，，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
，故，
根据题意，即，
经检验在处取得极值.
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
26．C
【解析】
【分析】
①若，则没有最大值，故不是函数；
②当时，，此时不成立，故不是函数；
③，所以是F函数；
④总成立，是F函数．
【详解】
解： ①若，则没有最大值，则不存在使成立，故不是函数；
②若，则当时，，此时不成立，故不是函数；
③由，且时，，显然，∴是F函数；
④由题得，所以为奇函数，且，∴，
所以，所以，
又时，，当时，，故，
所以即，
当时，，∴总成立，是F函数．
故选：C
27．D
【解析】
【分析】
由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
结合可知，当时，有最小值.
故选：D.
28．C
【解析】
【分析】
由配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
【详解】
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
29．D
【解析】
【分析】
由条件变形，再结合基本不等式求最小值.
【详解】
由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件 ，
可知时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D
30．A
【解析】
【分析】
由题得，再通过变形得到，再利用基本不等式求解.
【详解】
因为，所以，
则
，
当且仅当时取等号，
故选：A．
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对式子进行合理的变形和拼凑，使之能使用基本不等式求最值.
31．C
【解析】
【分析】
设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.
【详解】
解：设，
过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
则，
因为点为线段的中点，
所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，
因为，
所以在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故.
所以的最大值为.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得， ，再求最值.
32．C
【解析】
依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为且，所以，所以
当且仅当，即，时取等号；
所以的最小值为
故选：C
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
33．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
解：，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
34．A
【解析】
【分析】
将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由换元法、基本不等式换“1”的代换求解即可．
【详解】
由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，
令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，
∴，即，当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
故选：A．
35．C
【解析】
【分析】
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
36．A
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
37．A
【解析】
【分析】
首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.
【详解】
由题知不等式组表示的可行域如下图所示：

目标函数转化为，
由图易得，直线在时，轴截距最大.
所以.
因为，即，
当且仅当，即，时，取“”.
故选：A
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.
38．ACD
【解析】
【分析】
A由即可确定最大值；B利用基本不等式“1”的代换有即可求最小值；C将代入，利用基本不等式即可求最小值；D将代入，结合二次函数的性质求最值.
【详解】
A：，则当且仅当，时取等号，正确；
B：，当且仅当时取等号，错误；
C：，当且仅当时取等号，正确；
D：，故最小值为，正确.
故选：ACD
39．ACD
【解析】
【分析】
利用基本不等式，判断A；平方后，再利用基本不等式判断B；变形判断C；利用“1”的变形，展开后，利用基本不等式判断D.
【详解】
解：，，，
，
即，即，故正确；
，
故，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD．
40．ABD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为正实数、满足，则，
，故，A对；
对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B对；
对于C选项，由基本不等式可得，
因为，故，当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，，
可得，当且仅当时，等号成立，D对.
故选：ABD.
41．AC
【解析】
【分析】
已知等式化简为,利用基本不等式转化,得到关于的不等式，研究可得的最值情况，转化,得到关于的不等式，研究可得的最值情况，进而作出判定.
【详解】
，解不等式得或，故，
等号当且仅当时取得，故有最小值9，则A对，B错；
，解不等式得或，又，
故，当且仅当时取等号，故有最小值6，则C对，D错，
故选：AC．
42．4
【解析】
【分析】
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】
本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
43．
【解析】
【分析】
由，结合基本不等式即可.
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当即时，取等号成立.
故的最小值为，
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
两次利用基本不等式即可求出.
【详解】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
45．16
【解析】
【分析】
利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
依题意，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.
46．
【解析】
【分析】
直接利用不等式： 化简即可．
【详解】
根据均值不等式：
所以有

当且仅当 时取等号．
【点睛】
直接利用不等式：化简．属于中档题
47．
【解析】
设每个小矩形长为米，宽为米，则依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成矩形面积的最大值．
【详解】
如图所示：

设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，
设围成的整个矩形场地的面积为，
所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此.
故答案为：
48．（1）最小值为5，；（2）最小值为，．
【解析】
【分析】
（1）化简，再利用基本不等式求解；
（2）化简，再利用基本不等式求解.
【详解】
（1）因为，所以，

当且仅当即时等号成立，函数取最小值5；
（2）

当且仅当即时等号成立，函数取最小值.
49．（1）；（2）1；（3）
【解析】
【分析】
（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【详解】
（1），
当且仅当，即时，取等号.
故所求的值为.
（2）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（3）

.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.
50．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】
（1），
当且仅当“”时取等号，
故的最小值为；
（2）证明：
，
当且仅当时取等号，此时a+b≠1．
故＜．
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.
51．（1）；（2）投入第个月，成本最低；
（3）7年后收回成本.
【解析】
【分析】
（1）先求出购船费和所有支出的和，然后把购船费和所有支出费用平摊到每一个月，即可求得平均消耗与（月）的函数关系；
（2）利用基本不等式可得最值，从而求出此时的值，即可求解；
（3）假设年后可收回成本，则收入是首项为50，公比为0.95的等比数列，然后建立收入大于成本的不等式，即可求解.
【详解】
（1）购船费和所有支出费为
元，
所以月平均消耗，
即月平均消耗为与的函数关系.
（2）由（1），
当且仅当，即时等号成立，
所以当投入营运100个月时，营运成本最低.
（3）假设年后可收回成本，则收入为：
，
解得时满足条件，时不满足条件，
故7年后可收回成本.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的应用，以及基本不等式求最值的应用，着重分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
52．（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.
【详解】
证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，
∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
【点睛】
该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.