2024年江苏省淮阴中学等四校高考数学联考试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省淮阴中学等四校高考数学联考试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈R|x2−2x−3<0}，集合B={x∈R|lg2(x+2)<1}，则A∩B=( )
A. (−3,2)B. (−2,3)C. (−2,0)D. (−1,0)
2.已知复数z满足(1−i)z=3−i，则复数|z−|=( )
A. 2B. 5C. 2 2D. 10
3.在△ABC中，C=90°，则“A=B”是“csA+sinA=csB+sinB”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为( )
A. 47B. 328C. 1112D. 356
5.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为π3，则该圆台的体积为( )
A. 4 33πB. 5 33πC. 7 33πD. 8 33π
6.若(2−x)10展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则A+B+C=( )
A. 4095B. 4097C. −4095D. −4097
7.已知正实数x，y满足x+y=1，则x3x+y+2yx+3y的最大值为( )
A. 2425B. 9−4 28C. 9−2 28D. 34
8.若x1，x2是关于x的方程3sin2x−cs2x=a在[0,π2]内的两根，则tan(x1+x2)的值为( )
A. −3B. 3C. −13D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,−2)，b=(1,3)，则下列结论正确的是( )
A. b在a上的投影向量是(1,−2)B. |2a+b|=|b|
C. a与b的夹角为π4D. (a+b)⊥a
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线(3+m)x+4y−3+3m=0(x∈R)恒过定点(−2,3)
B. 圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l：x−y+ 2=0的距离都等于1
C. 曲线C1：x2+y2+2x=0与曲线C2：x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=4
D. 若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2−6x=0截得的弦长为2 5，则双曲线的离心率为3 55
11.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf(x)+x2f′(x)=1，且f(1)=0，则下列说法正确的是( )
A. f(2)>f(3)
B. 若f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，则x1+x2=2e
C. f(x)的最大值为1e
D. 若xf(x)≥eλ，则λ≤0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，且7，a2，a6成等差数列，则S6= ______．
13.为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量x(单位：kg)近似服从正态分布N(0.4,σ2)，已知P(x<0.1)=0.1，P(x>0.5)=0.3.若从该苹果园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在(0.5,0.7]内的概率为______．
14.在正三棱锥A−BCD中，底面△BCD的边长为4，E为AD的中点，AB⊥CE，则以AD为直径的球截该棱锥各面所得交线长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csA=13．
(1)求tan2B+C2+sin2A2的值；
(2)若a=2 2，△ABC的面积为 2，求b的值．
16.(本小题15分)
篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动．
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上2×2列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1=1．
①求P3(直接写出结果即可)；
②证明：数列{Pn−13}为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=xex−kx2，k∈R．
(1)当k=0时，求函数f(x)在[−2,2]上的值域；
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上仅有两个零点，求实数k的取值范围．
18.(本小题17分)
已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且AD=DE=2CE= 2.现将△ADE沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥P−ABCE．

(1)若点F在线段AP上，且EF/​/平面PBC，求|AF||FP|的值；
(2)若PB= 142，求锐二面角P−EC−A的余弦值．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，若在曲线E1的方程F(x,y)=0中，以(λx,λy)(λ为非零的正实数)代替(x,y)得到曲线E2的方程F(λx,λy)=0，则称曲线E1、E2关于原点“伸缩”，变换(x,y)→(λx,λy)称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
(1)已知曲线E1的方程为x24−y23=1，伸缩比λ=12，求E1关于原点“伸缩变换”后所得曲线E2的方程；
(2)射线l的方程y= 2x(x≥0)，如果椭圆E1：x24+y2=1经“伸缩变换”后得到椭圆E2，若射线l与椭圆E1、E2分别交于两点A、B，且|AB|= 33，求椭圆E2的方程；
(3)对抛物线E1：x2=2p1y，作变换(x,y)→(λ1x,λ1y)，得抛物线E2：x2=2p2y；对E2作变换(x,y)→(λ2x,λ2y)，得抛物线E3：x3=2p3y；如此进行下去，对抛物线En：x2=2pny作变换(x,y)→(λnx,λny)，得抛物线En+1：x2=2pn+1y，…若p1=1，λn=2n，求数列{pn}的通项公式pn．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={x∈R|x2−2x−3<0}={x|−1故A∩B=(−1,0)．
故选：D．
先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：(1−i)z=3−i，
则z=3−i1−i=(3−i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+i，
故z−=2−i，|z−|= 22+(−1)2= 5．
故选：B．
先对z化简，再结合共轭复数的定义，复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：若A=B，则csA+sinA=csB+sinB，所以充分性成立；
若csA+sinA=csB+sinB，即 2sin(A+45°)= 2sin(B+45°)，
C=90°，0°所以A+45°=B+45°或(A+45°)+(B+45°)=180°，
所以A=B或A+B=90°，即A=B或C=90°，所以必要性不成立．
故A=B是csA+sinA=csB+sinB的充分非必要条件．
故选：A．
根据诱导公式，根据两角和差公式即可判断．
本题考查充分必要条件，考查诱导公式，两角和差公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：在这8个数中任取3个数共有C83=56种取法，
能组成勾股定理关系的有(3,4,5)，(6,8,10)，(5,12,13)，共3组，
∴这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为P=356．
故选：D．
列举出能组成勾股定理关系组数，结合组合知识求概率．
本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，
则r=1，R=2，
又因为母线与下底面所成的角为π3，
所以h=(R−r)tanπ3=1× 3= 3，
所以该圆台的体积V=13π(r2+R2+rR)h=13π×(1+4+2)× 3=7 33．
故选：C．
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，则h=(R−r)tanπ3，再利用圆台的体积公式求解．
本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的体积公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二项式定理的应用，主要考查了二项展开式的系数之和，二项展开式的二项式系数之和，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
利用二项式系数和的公式求出A，用赋值法求出所有项系数和B，由二项展开式的通项公式求出C，即可得到答案．
【解答】
解：(2−x)10展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅210−r⋅(−x)r=(−1)r⋅210−rC10r·xr，
所以一次项系数C=(−1)1⋅29⋅C101=−5120;
二项式系数和A=210=1024;
令x=1，则所有项的系数和B=(2−1)10=1;
所以A+B+C=−4095．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：因为x+y=1，
所以x3x+y+2yx+3y=x2x+1+2y2y+1
=x+12−122x+1+2y+1−12y+1=12−14x+2+1−12y+1
=32−(14x+2+12y+1)
=32−(14x+2+12y+1)(2x+1+2y+1)×14
=32−14(32+2y+14x+2+2x+12y+1)≤32−14(32+2 12)=98− 24=9−2 28，
当且仅当2y+1= 2(2x+1)，即x=2 2−52，y=72−2 2时取等号．
故选：C．
由已知结合x+y=1，先进行分离变形，结合乘1法，利用基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为3sin2x−cs2x= 10sin(2x−θ)，csθ=3 10，sinθ=1 10，tanθ=13，
若x1，x2是关于x的方程3sin2x−cs2x=a在[0,π2]内的两根，
即 10sin(2x1−θ)= 10sin(2x2−θ)，x1≠x2，
所以2x1−θ+2x2−θ=π，
所以x1+x2=12π+θ，
则tan(x1+x2)=tan(π2+θ)=−1tanθ=−3．
故选：A．
由已知结合辅助角公式先对3sin2x−cs2x进行化简，然后结合正弦函数的性质可求x1+x2，再结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了辅助角公式，正弦函数的性质，诱导公式的应用，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：因为|a|= 5，|b|= 10，a⋅b=1−6=−5，所以cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=− 22，
又〈a,b〉∈[0,π]⇒〈a,b〉=3π4，故C错误；
所以b在a方向上的投影向量是：|b|⋅cs〈a,b〉⋅a|a|= 10×(− 22)×a 5=−a，故A错误；
因为a=(1,−2)b=(1,3)，因为2a+b=(3,−1)，所以|2a+b|= 9+1= 10=|b|= 12+32，故B正确；
因为a=(1,−2)b=(1,3)，所以a+b=(2,1)，所以(a+b)⋅a=2−2=0，故D正确．
故选：BD．
选项C利用向量夹角坐标表示求解即可；选项A根据坐标求解投影向量即可，选项B利用平面向量模的公式计算即可，利用向量垂直坐标表示验证选项D．
本题考查平面向量的数量积与夹角，投影向量，向量垂直的坐标表示等，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由(3+m)x+4y−3+3m=0，得3x+4y−3+m(x+3)=0，
联立3x+4y−3=0x+3=0，解得x=−3y=3，
则直线(3+m)x+4y−3+3m=0(x∈R)恒过定点(−3,3)，故A错误；
对于B，圆x2+y2=4的圆心(0,0)到直线l：x−y+ 2=0的距离d=| 2| 2=1，
且圆的半径为2，则圆上有且仅有3个点到直线l：x−y+ 2=0的距离都等于1，故B正确；
对于C，曲线C1：x2+y2+2x=0与曲线C2：x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线，
则两圆外切，圆C1的圆心坐标为(−1,0)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(2,4)，半径为 20−m，
∴ (−1−2)2+(0−4)2=1+ 20−m，解得m=4，故C正确；
对于D，若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2−6x=0截得的弦长为2 5，
即圆心(3,0)到直线bx−ay=0的距离d=|3b| b2+a2=3bc=2，可得9b2=9(c2−a2)=4c2，
即e=ca=3 55，故D正确．
故选：BCD．
由直线系方程求出直线所过定点坐标判断A；由点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系判断B；由两圆圆心距与半径的关系判断C；求出双曲线的离心率判断D．
本题考查直线系方程的应用，考查双曲线的几何性质及直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：∵xf(x)+x2f′(x)=1，
∴f(x)+xf′(x)=1x，
∴[xf(x)]′=1x，
∵(lnx)′=1x，
不妨取xf(x)=lnx，
∴f(x)=lnxx，
∴f′(x)=1−lnxx2，
f(x)在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减，
对于A，∵ln22=ln44，且f(x)在(e,+∞)单调递减，
∴ln22=ln44对于B，∵ln22=ln44，且4+2=6≠2e，所以B选项错误；
对于C，f(x)在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减，
∴f(x)max=f(e)=1e，C选项正确；
对于D，∵xf(x)≥e．xlnxx≥eλ，
即ln2xx≥λ，
设g(x)=ln2xx，g′(x)=lnx(2−lnx)x2，
g(x)在(0,1)单调递减，(1,e2)单调递增，(e2,1)单调递减，
∴λ≤0，所以D选项正确．
故选：CD．
由题意不妨取xf(x)=lnx，再对各选项一一判断即可．
本题主要考查了导数的应用，以及函数的单调性和最值的求解，是中档题．
12.【答案】−634
【解析】解：由7，a2，a6成等差数列，得2a2=a6+7，
即2a2=16a2+7，解得a2=−12，则a1=a2q=−122=−14．
∴S6=−14(1−26)1−2=−634．
故答案为：−634．
由已知求等比数列的公比，再由等比数列的前n项和公式求解．
本题考查等比数列的通项公式与前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．
13.【答案】0.2
【解析】解：根据题意，苹果的重量x(单位：kg)近似服从正态分布N(0.4,σ2)，
则正态分布曲线的对称轴为μ=0.4，
又P(x<0.1)=0.1，P(x>0.5)=0.3，
P(x>0.7)=P(x<0.1)=0.1，
P(0.40.5)=0.2，
则P(0.50.7)=0.5−0.2−0.1=0.2．
故答案为：0.2．
根据正态分布曲线的对称性可解．
本题考查正态分布曲线的对称性相关知识，属于中档题．
14.【答案】( 2+4 39)π
【解析】解：取CD的中点F，作AO⊥面BCD，垂足为O，
由三棱锥A−BCD为正三棱锥，
所以O为底面正三角形BCD的中心，O∈BF，
因为CD⊂面BCD，
所以AO⊥CD，
又由正三角形的性质，可得BF⊥CD，
又因为BF∩AO=O，且BF⊂面ABO，AO⊂面ABO，
所以CD⊥面ABO，
因为AB⊂面ABO，
所以AB⊥CD，
又因为CE⊥AB，且CE∩CD=C，CE⊂面ACD，CD⊂面ACD，
所以AB⊥面ACD，
因为AC⊂面ACD，
所以AC⊥AB，
由正三棱锥的性质可得AC，AB，AD两两垂直，且AB=AC=AD=2 2，
以AD为直径的球O的半径为R= 2，
可得球O在面ACD，ABD上截得的交线分别为14个圆，
可得弧长的和为2×14×2πR= 2π，
设点E到平面BCD的距离为d，由VB−ACD=VA−BCD，
可得13S△ACD⋅AB=13S△BCD⋅2d，即13⋅12⋅2 2⋅2 2⋅2 2=13⋅ 34⋅42⋅2d，
解得d= 63，即点E到平面BCD的距离为 63，
所以面BCD截球体所得小圆O1的半径为r=R2−d2=2 33，
如图所示：
球O在平面BCD截得的弧为小圆O1的弧MN，其中∠EO1F=2π3，
所以弧MN的弧长为2π3×2 33=4 39π，
球O与平面ABC只有一个交点A，截得的弧长为0，
所以以AD为直角的球与三棱锥A−BCD截得的交线长为( 2+4 39)π．
故答案为：( 2+4 39)π．
根据题意，取CD的中点F，作AO⊥面BCD，证得AB⊥面ACD，得到AC，AB，AD两两垂直，且AB=AC=AD，求得球O的半径R= 2，以及球O与平面BCD截得的弧为小圆O1的半径r=2 33，结合弧长公式，即可得出答案．
本题考查球和三棱锥的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)tan2B+C2+sin2A2=tan2(π−A2)+sin2A2
=ct2A2+sin2A2
=cs2A2sin2A2+sin2A2
=1sin2A2−1+sin2A2，
又sin2A2=1−csA2=1−132=13，
则tan2B+C2+sin2A2=3−1+13=73；
(2)由于csA=13，
则sinA= 1−cs2A=2 23，
又△ABC的面积为 2，
则12bcsinA= 2，则bc=3，
由余弦定理可得，csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−82bc=13，
则b2+c2−86=13，则b2+c2=10，
故b=1，c=3或b=3，c=1，
综上，b的值为1或3．
【解析】(1)化简可得tan2B+C2+sin2A2=1sin2A2−1+sin2A2，再由二倍角公式即可得解；
(2)利用三角形的面积公式可得bc=3，再由余弦定理即可得解．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)(1)根据列联表数据，经计算得χ2=200×(60×80−20×40)2100×100×80×120=1003>10.828=x0.001，
根据独立性检验：即有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；
(2)①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人，
故传给甲的概率为12，故P3=12；
②第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n−1次触球者是甲的概率为Pn−1，
第n−1次触球者不是甲的概率为1−Pn−1，
则Pn=Pn−1⋅0+(1−Pn−1)⋅12=12(1−Pn−1)，
从而Pn−13=−12(Pn−1−13)，又P1−13=23≠0，
∴{Pn−13}是以23为首项，公比为−12的等比数列，
∴Pn=23×(−12)n−1+13，
∴P9=23×(−12)8+13>13.P10=23×(−12)9+13<13，
∴P9>P10，
故第9次触球者是甲的概率大．
【解析】(1)直接带公式即可；
(2)①根据题义写即可；
②通过分析Pn−1与Pn的概率关系式，再利用数列知识计算结果．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了概率与数列的综合知识，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当k=0时，f(x)=x⋅ex(x∈R)，所以f′(x)=(1+x)⋅ex，
令f′(x)=0，则x=−1，
所以f(x)min=f(−1)=−e−1=−1e，又f(−2)=−2e2,f(2)=2e2，
所以f(x)在[−2,2]上的值域为[−1e,2e2]．
(2)函数f(x)=xex−kx2=x(ex−kx)在(0,+∞)上仅有两个零点，
令g(x)=ex−kx，则问题等价于g(x)在(0,+∞)上仅有两个零点，
易求g′(x)=ex−k，因为x∈(0,+∞)，所以ex>1．
①当k∈(−∞,1]时，g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以g(x)>g(0)=1，所以g(x)在(0,+∞)上没有零点，不符合题意；
②当k∈(1,+∞)时，令g′(x)=0，得x=lnk，
所以在(0,lnk)上g′(x)<0，在(lnk,+∞)上g′(x)>0，
所以g(x)在(0,lnk)上单调递减，在(lnk,+∞)上单调递增，
所以g(x)的最小值为g(lnk)=k−k⋅lnk，
因为g(x)在(0,+∞)上有两个零点，
所以g(lnk)=k−k⋅lnk<0，所以k>e．
因为g(0)=1>0，g(lnk2)=k2−k⋅lnk2=k(k−2lnk)，
令h(x)=x−2lnx,h′(x)=1−2x=x−2x，
所以在(0,2)上h′(x)<0，在(2,+∞)上，h′(x)>0，
所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增；
所以h(x)≥2−2ln2=lne2−ln4>0，所以g(lnk2)=k(k−2lnk)>0，
所以当k>e时，g(x)在(0,lnk)和(lnk,+∞)内各有一个零点，
即当k>e时，g(x)在(0,+∞)上仅有两个零点．
综上，实数k的取值范围是(e,+∞)．
【解析】(1)利用导数求得f(x)的单调区间，再求出函数f(x)在[−2,2]上的值域；
(2)由f(x)=x(ex−kx)=0，构造函数g(x)=ex−kx，利用导数，结合对k进行分类讨论来求出k的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．
18.【答案】解：(1)点F为线段AP上靠近点P的三等分点，满足EF/​/平面PBC，证明如下：
如图，过点F作FG/​/AB交PB于点G，连接CG，则FGAB=13，
又DE=2CE，CEAB=13，∴FG=CE=13AB，
∵CE/​/AB，∴CE//FG，
∴四边形FGCE为平行四边形，有EF/​/CG，
又EF⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，
∴EF/​/平面PBC，
此时由平行线的性质有：|AF||FP|=2；
(2)∵AD=DE=2CE= 2，△ADE为等腰直角三角形，
AB=3 22，AE=2，∠CEA=135°，∠BAE=45°，
取AE的中点O，以O为坐标原点，OE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设P(0,m,n)，E(1,0,0)，C(32,−12,0)，B(12,−32,0)，

则OP=(0,m,n)，PB=(12,−32−m,−n)，
∵OP=1，PB= 142，所以m2+n2=1(12)2+(m+32)2+n2=( 142)2，解得m=0，n=1，
则P(0,0,1)，PE=(1,0,−1)，EC=(12,−12,0)，
设平面PEC的法向量为m=(a,b,c)，则：
m⋅PE=a−c=0m⋅EC=12a−12b=0，令a=1，则b=1，c=1，∴m=(1,1,1)，
由题知n=(0,0,1)为平面ECA的一个法向量为，
∴cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|=1 3= 33，
即锐二面角P−EC−A的的余弦值为 33．
【解析】(1)先判断出点F是靠近点P三等分点，然后证EF/​/平面PBC，再由平行的性质即可求|AF||FP|的值；
(2)先由题找能建空间直角坐标系的条件，然后用向量法可求锐二面角P−EC−A的余弦值．
本题考查线面平行的判定和性质以及用向量法解决空间角问题，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由条件得(12x)24−(12y)23=1，整理得x216−y212=1，
所以E2的方程为x216−y212=1；
(2)因为E1，E2关于原点“伸缩变换”，
对E1作变换(x,y)→(λx,λy)(λ>0)，得E2：λ2x24+λ2y2=1，
联立y= 2x(x≥0)x24+y2=1，解得点A的坐标为(23,2 23)，
联立y= 2x(x≥0)λ2x24+λ2y2=1，解得点B的坐标为(23λ,2 23λ)，
所以|AB|= 1+2|23−23λ|= 33，所以23−23λ=13或23−23λ=−13，
所以λ=2或λ=23；
因此椭圆E2的方程为x2+4y2=1或x29+4y29=1；
(3)对En：x2=2pny作变换(x,y)→(λnx,λny)，
得抛物线En+1：(λnx)2=2pnλny，得x2=2pnλny，
又因为x2=2pn+1y，所以pn+1=pnλn，即pn+1pn=(12)n，
当n≥2时，pnpn−1⋅pn−1pn−2⋅pn−2pn−3⋯⋯p4p3⋅p3p2⋅p2p1=(12)1+2+3++n−1，
得pn=(12)12n(n−1),p1=1适用上式，
所以数列{pn}的通项公式pn=(12)12n(n−1)．
【解析】(1)由伸缩变换的定义计算即可；
(2)先由伸缩变换求得E2方程，分别与射线联立方程求A、B坐标，根据两点距离公式解方程即可；
(3)由伸缩变换的定义计算pn+1=pnλn，结合条件及累乘法，等差数列求和公式计算即可．
本题考查了伸缩变换的定义、累乘法和等差数列求和公式，属于中档题．喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
P(χ2≥x0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
x0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
x
(−2,−1)
−1
(−1,2)
f′(x)
−
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增