2023年二轮复习解答题专题七：解直角三角形的应用拥抱型

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2023年二轮复习解答题专题七：解直角三角形的应用拥抱型
方法点睛
解直角三角形的实际应用题解题方法
审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪、身高等与计算无关的数据，在求建筑物高度时不要忽略这些数据.
模型


典例分析
例1 （2022营口中考）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：）

【答案】大楼的高度为92米
【解析】
【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE进行求解即可．
【详解】
过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，

四边形BENF为矩形，

设，
在中，
斜坡的坡度，即，





在中，



在中，



解得，
所以，大楼的高度为92米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
专题过关
1．（2022葫芦岛中考）（12分）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．
（1）求斜坡BC的长；
（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），
（参考数据：sin30°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）

【分析】（1）根据题意可得：∠CAE＝15°，AB＝30米，根据三角形的外角可求出∠ACB＝15°，从而可得AB＝BC＝30米，即可解答；
（2）在Rt△CBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE，BE的长，再在Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
∠CAE＝15°，AB＝30米，
∵∠CBE是△ABC的一个外角，
∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，
∴∠ACB＝∠CAE＝15°，
∴AB＝BC＝30米，
∴斜坡BC的长为30米；
（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，
∴CE＝BC＝15（米），
BE＝CE＝15（米），
在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，
∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），
∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），
∴这棵大树CD的高度约为20米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2. （2022鄂州中考）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：

（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；
（2）此时飞机的高度AB，（结果保留根号）
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】（1）先根据斜坡CF的坡比=1：3，求出CG的长，然后利用勾股定理求出CD的长即可；
（2）如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，证明AB=BC，设AB=BC=x米，则米，米，解直角三角形得到据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，
∴，
∴米，
∴米；
【小问2详解】
解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，
∴BH=DG=30米，DH=BG，
∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
设AB=BC=x米，则米，米，
在Rt△ADH中，，
∴，
解得，
∴米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．
3. （2022信阳三模）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A点处观测“大玉米”顶端C处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B点处观测“大玉米”底部D处的俯角是30°．已知楼房AB高约是162m，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）

【答案】280米
【解析】
【分析】在Rt△ABD中由边角关系求出AD的长，在Rt△ACD中，求出CD即可．
【详解】解：如图，

由题意可知，∠CAD＝45°，∠EBD＝30°＝∠ADB，AB＝DE＝162米，
在Rt△ABD中，∵tan30°，
∴AD162（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝162280（米），
答：“大玉米”的高约为280米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
4. （2022河南永城一模）濮阳龙碑是纪念中华第一龙特设的纪念碑．雄伟高大的龙碑展现了濮阳龙乡的古老文明和现代化城市的勃勃雄姿．某实验学校九年级数学兴趣小组测量龙碑的高度（示意图如图所示），测得底座CE＝2.5m，在平地上的B处测得石碑的底部E的仰角为10°，向前走1m到达点D处，测得石碑的顶端A的仰角为60°，求石碑AE的高度.（精确到0.1m；参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，≈1.73）

【答案】石碑AE的高度为19.8m
【解析】
【分析】在Rt中利用正切可求出BC的长，从而得出CD的长，再在Rt中利用正切即可求出AC的长，进而可求出AE的长．
【详解】解：根据题意可知，，．
∵在Rt中，，
∴，
∴，
∴．
∵在Rt中，，
∴，
∴，
∴．
答：石碑AE的高度为19.8m．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．利用数形结合的思想是解题关键．
5.（2022河南二模） 洛阳市栾川县老君山景区的老子铜像，是目前世界上最高的老子铜像．某数学活动小组用学到的锐角三角函数的知识去测量老子铜像的高度．如图，铜像底座CE的高度为21m，他们在测量点A（与C在同一水平线上）测得底座最高点E的仰角为20°，沿AC方向前进24m到达测量点B，测得老子铜像顶部D的仰角为60°．求老子铜像DE的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：，，，）

【答案】老子铜像DE的高约米．
【解析】
【分析】在，由根据正切定义解得AC的长，继而得到BC的长，在中，由正切定义解得CD的长，最后根据线段的和差解答．
【详解】解：在




在

（米）
答：老子铜像DE的高约米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，建立好数学模型，利用直角三角形中的三角函数是解题关键．
6. （2022郑州二模）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）
【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米
【解析】
【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果；
（2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长．
【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，

由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，
∴四边形BMEN为矩形，
∴NE=BM=5米，BN=ME，
在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，
∴AM＝（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），
即广告牌CD的高度约为6.7米．
【点睛】
本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．
7. （2022西工大附中三模）如图，某学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得信号柱顶端A的仰角为30°，在C处测得信号柱顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=12米，求信号柱AB的长度．（结果保留根号）

【答案】信号柱AB的长度为米
【解析】
【分析】延长交的延长线于，过作于，由锐角三角函数定义定义求出、、，设米，再由锐角三角函数定义求出，然后列出方程，解方程即可．
【详解】（方法一）解：过点D作交BC的延长线于点E，
过点D作交AB于点H，
又，则四边形BEDH矩形，
在中，，
，
，

在中，，
设，
，
，
在中，，
，
，
解得：．
答：信号柱AB的长度为米．
（方法二）解：延长AD交BC的延长线于G，过D作于H，
在中，米，
则（米），
（米），
，
（米），
（米），
设米，

，
（米），
，
，
解得：，
答：信号柱AB的长度为米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．（2021自贡中考）（8分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

【分析】由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，因为tan∠BDA＝，可求出AD，又由tan30°＝，可求出CD，即得到答案．
【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，
∴tan∠BDA＝＝＝1.33，
∴AD＝≈18.05．
∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，
∴CD＝18.05×≈10.4（米）．
故办公楼的高度约为10.4米．
9. （2021威海中考）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，，，）

【答案】路灯的高度为13.4m．
【解析】
【分析】延长AC交PQ于点E，交MN于点F，由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN，设路灯的高度为xm，则MN=PQ= xm，MF=PE=x-1.2；在Rt△AFM中求得，即可得；
在Rt△CEP中，可得，由此即可求得路灯的高度为13.4m．
【详解】延长AC交PQ于点E，交MN于点F，

由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN，
设路灯的高度为xm，则MN=PQ= xm，MF=PE=x-1.2，
在Rt△AFM中，∠MAF=10°，MF= x-1.2，，
∴，
∴，
∴；
∴CE=AE-AC= -10，
在Rt△CEP中，∠PCE=27°，CE= -10，，
∴，
解得x≈13.4，
∴路灯的高度为13.4m．
答：路灯的高度为13.4m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，熟练运用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．
10．（2021枣庄中考）（8分）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）

【分析】在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可．
【解答】解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，
在Rt△AOD中，
∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，
∴OA＝AD＝2000（米），OD＝AD＝2000（米），
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝OD﹣CD＝（2000﹣460）米，
∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004（米），
∴火箭的速度为1004÷3≈335（米/秒），
答：火箭的速度约为335米/秒．
11.（2021朝阳中考）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（8+4）m．
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝，
即＝，
解得：AH＝（8+4）m，
∴AB＝AH+BH＝（8+4）m，
即这棵古树的高AB为（8+4）m．

12. （2021宿迁中考）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， =1.732)．

【答案】无人机飞行的高度约为14米．
【解析】
【分析】延长PQ，BA，相交于点E，根据∠BQE＝45°可设BE＝QE＝x，进而可分别表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根据sin∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可．
【详解】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E，

由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°，
又∵∠BQE＝45°，
∴BE＝QE，
设BE＝QE＝x，
∵PQ＝5，AB＝3，
∴PE＝x＋5，AE＝x－3，
∵∠E＝90°，
∴sin∠APE＝，
∵∠APE＝30°，
∴sin30°＝，
解得：x＝≈14，
答：无人机飞行的高度约为14米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
13.（2021湘潭中考）万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．

某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用．版权所有
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力；模型思想．
【答案】万楼主楼AD的高度约为52米．
【分析】由题意可得在Rt△ABE中和Rt△CDE中，AB＝120米，∠ABE＝60°，∠DCE＝30°，CE＝BE+CB，根据解直角三角形在在Rt△ABE中，可计算出BE和AE的长度，在Rt△CDE中，可计算出AD的长度，由AD＝AE﹣AD计算即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，
在Rt△ABE中，
∵AB＝120米，∠ABE＝60°，
∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），
在Rt△CDE中，
∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），
∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），
∴AD＝AE﹣AD＝60＝30≈52（米）．
答：万楼主楼AD的高度约为52米．
14.（2022绥化中考）如图所示，为了测量百货大楼顶部广告牌的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得，仪器高度忽略不计，求广告牌的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）

【答案】4.9m
【解析】
【分析】先求出BC的长度，再分别在Rt△ADC和Rt△BEC中用锐角三角函数求出EC、DC，即可求解．
【详解】根据题意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°，
则BC=AC-AB=30-10=20，
在Rt△ADC中，，
在Rt△BEC中，，
∴，
即
故广告牌DE的高度为4.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键．