内蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类

这是一份内蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类，共20页。试卷主要包含了计算求解，﹣1﹣+cs30°；，是直线BE上一点，且AC＝CD等内容，欢迎下载使用。

内蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．二次根式的混合运算（共1小题）
1．（2021•呼和浩特）计算求解：
（1）计算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；
（2）解方程组．
二．解二元一次方程组（共1小题）
2．（2022•呼和浩特）计算求解
（1）计算2sin45°﹣|2﹣|+（﹣）﹣1；
（2）解方程组：．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•呼和浩特）（1）计算：|﹣3|+（）﹣1﹣+cos30°；
（2）解不等式组：．
四．一次函数的应用（共1小题）
4．（2023•呼和浩特）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车 　 　辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2022•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，且A点的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C（，﹣）是直线BE上一点，且AC＝CD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

6．（2023•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y1＝（k＞0，x＞0）的图象上，边AB在x轴上，点F在y轴上，已知AB＝2．
（1）判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线EP：y2＝ax+b（a≠0）的解析式，并根据图象直接写出当x＞0时，不等式ax+b＞的解集．

六．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
7．（2021•呼和浩特）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通过配方可以将其化成顶点式为 　 　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴 　 　（填上方或下方），即4ah﹣k2　 　0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
七．菱形的性质（共1小题）
8．（2023•呼和浩特）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积．

八．解直角三角形的应用（共1小题）
9．（2023•呼和浩特）如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．小明想知道A，B两地间的距离，测得AC＝50m，∠A＝45°，∠B＝40°，请帮小明求出两地间距离AB的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2022•呼和浩特）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的俯角为10°．已知测角仪CD与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）

一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
11．（2021•呼和浩特）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

一十一．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2022•呼和浩特）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
17 18 16 13 24 15 27 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 15 16 28
15 32 23 17 14 15 27 27 16 19
对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下
频数分布表
组别
一
二
三
四
五
六
七
销售额/万元
13≤x＜16
16≤x＜19
19≤x＜22
22≤x＜25
25≤x＜28
28≤x＜31
31≤x＜34
频数
6
10
3
3
a
b
2
数据分析表
平均数
众数
中位数
20.3
c
d
请根据以上信息解答下列问题：
（1）上表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　；
（2）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由；
（3）若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组内的概率．

内蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次根式的混合运算（共1小题）
1．（2021•呼和浩特）计算求解：
（1）计算（）﹣1﹣（﹣）÷+tan30°；
（2）解方程组．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝3﹣（﹣）+×
＝3﹣（4﹣2）+1
＝3﹣2+1
＝2；
（2）原方程整理为，
①×12﹣②得：13x＝3900，
解得x＝300，
把x＝300代入①得：y＝400，
∴方程组的解为．
二．解二元一次方程组（共1小题）
2．（2022•呼和浩特）计算求解
（1）计算2sin45°﹣|2﹣|+（﹣）﹣1；
（2）解方程组：．
【答案】（1）2﹣5；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣2+﹣3
＝﹣2+﹣3
＝2﹣5；
（2）方程组整理得，
②﹣①×2得：﹣5x＝5，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得：﹣4+y＝5，
解得：y＝9，
则方程组的解为．
三．解一元一次不等式组（共1小题）
3．（2023•呼和浩特）（1）计算：|﹣3|+（）﹣1﹣+cos30°；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）﹣3；
（2）x≤1．
【解答】解：（1）原式＝3﹣+2﹣2+×
＝3﹣+2﹣2+
＝﹣3；
（2）解第一个不等式得：x≤1，
解第二个不等式得：x＜4，
则该不等式组的解集为：x≤1．
四．一次函数的应用（共1小题）
4．（2023•呼和浩特）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车 　6　辆；
（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】（1）老师有6名，学生有234名；（2）6；（3）学校共有两套租车方案，最少费用为2160元．
【解答】解：（1）设老师有x名，学生有y名，根据题意，列方程组为：
，解得，
答：老师有6名，学生有234名．
（2）∵每辆车上至少有1名老师，
∴汽车总数不能大于6辆，
∵要保证240名师生有车坐，汽车总数不能少于（取整数6）辆，
综合可知汽车总数为6辆．
故答案为：6．
（3）设租用甲客车x辆，则租车费用y（元）是x的函数，即：
y＝400x+280（6﹣x），
整理得：y＝120x+1680，
∵学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，
∴120x+1680≤2300，
∴x≤，即x≤5．
要保证240人有车坐，x不能小于4，所以有两种租车方案：
方案一：租4辆甲种客车，2辆乙种客车；
方案二：租5辆甲种客车，1辆乙种客车；
∵y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y最小，y＝120×4+1680＝2160．
答：学校共有两套租车方案，最少费用为2160元，
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2022•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，且A点的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C（，﹣）是直线BE上一点，且AC＝CD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AD⊥BE于点D，AC＝CD．
∴cos∠ACD＝＝，
∴∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵A点的横坐标为1，点C（，﹣），
∴CD＝﹣1＝，
∴A（1，﹣），即A（1，2），
∵反比例函数y2＝的图象过A、B两点，
∴m＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y2＝，
∵BE∥x轴，
∴B点的纵坐标为﹣，
∴B（﹣4，﹣），
把A、B的坐标代入y1＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的表达式为y1＝x+；

（2）从图象可以看出，不等式kx+b﹣＜0的解集是x＜﹣4或0＜x＜1．
6．（2023•呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y1＝（k＞0，x＞0）的图象上，边AB在x轴上，点F在y轴上，已知AB＝2．
（1）判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
（2）求出直线EP：y2＝ax+b（a≠0）的解析式，并根据图象直接写出当x＞0时，不等式ax+b＞的解集．

【答案】（1）点E在该反比例函数的图象上，理由见解答；
（2）＜x＜2．
【解答】解：（1）点E在该反比例函数的图象上．理由如下：
如图，连接PA，PF，

∵正六边形ABCDEF的边长AB＝2，点P是正六边形ABCDEF的对称中心，
∴AF＝AB＝EF＝2，∠AFE＝∠BAF＝∠ABC＝120°，
∴∠FAO＝∠ABP＝∠APF＝∠EPF＝60°，∠AFO＝30°，
∴△ABP，△AFP，△EFP均为等边三角形，
∴OA＝AF•cos∠FAO＝2cos60°＝2×＝，OF＝AF•sin∠FAO＝2sin60°＝2×＝3，
∴A（，0），F（0，3），
∴B（3，0），
∴P（2，3），E（，6），
∵点P在反比例函数y1＝的图象上，
∴k＝2×3＝6，
∴该反比例函数的解析式为y＝，
当x＝时，y＝＝6，
∴点E在该反比例函数的图象上；
（2）将P（2，3），E（，6）分别代入y2＝ax+b，得，
解得：，
∴直线EP的解析式为y2＝﹣x+9，
观察图象可得：在第一象限内，当直线EP：y2＝﹣x+9位于双曲线y＝上方时，＜x＜2，
∴不等式ax+b＞的解集为＜x＜2．
六．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
7．（2021•呼和浩特）已知抛物线y＝ax2+kx+h（a＞0）．
（1）通过配方可以将其化成顶点式为 　　，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴 　下方　（填上方或下方），即4ah﹣k2　＜　0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设x1＜x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当a＞0，（a+c）（a+b+c）＜0时，（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
【答案】（1），下方，＜；（2）答案见解析；（3）证明见解析．
【解答】解：（1）y＝ax2+kx+h＝a（x2+x）+h＝a[xx+（）2﹣（）2]+h＝a（x+）2﹣+h＝a（x+）2+，
∴顶点式为：，当顶点在x轴下方时，即4ah﹣k2＜0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
故答案为：，下方，＜；
（2）若设x1＜x2且不等于顶点横坐标则A，B两点位置可能有以下三种情况：
①当A，B都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随x的增大而减小，所以点A在x轴上方，点B在x轴下方，顶点M在点B下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：

②当A，B都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随x的增大而增大，所以点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：

③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：

（3）证明：令y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c），a＞0，
当x1＝0时，y1＝a+b+c；
当x2＝﹣1时，y2＝2（a+c）．
而（a+c）（a+b+c）＜0，
∴y1⋅y2＜0，
∴y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）上存在两点（﹣1，2a+2c），（0，a+b+c）分别位于x轴两侧，
∴由（1）（2）可知，y＝ax2+（b﹣c）x+（a+b+c）顶点在x轴下方，
即，
又a＞0，
∴4a（a+b+c）﹣（b﹣c）2＜0，
即：（b﹣c）2＞4a（a+b+c）．
七．菱形的性质（共1小题）
8．（2023•呼和浩特）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形BEDF的面积．

【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OD＝OB，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ODE＝∠ADO，∠OBF＝∠CBO，
∴∠ODE＝∠OBF，
∴DE∥BF，
∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，
∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠1＝∠2．
（2）解：由（1）知△ODE≌△OBF（ASA），
∴OE＝OF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥EF，OD＝OB，AD∥BC，
∴四边形DEBF的菱形，
∵AD∥BC，∠ABC＝120°，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°，
∴OD＝BD＝1，
∵∠ODE＝∠ADO＝30°，
∴OE＝OD＝，
∴EF＝2OE＝，
∴四边形BEDF的面积＝BD•EF＝×2×＝．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
9．（2023•呼和浩特）如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．小明想知道A，B两地间的距离，测得AC＝50m，∠A＝45°，∠B＝40°，请帮小明求出两地间距离AB的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

【答案】两地间距离AB的长为（25+）m．
【解答】解：过C作CH⊥AB于H，如图：

在Rt△ACH中，∠A＝45°，AC＝50m，
∴AH＝AC•cosA＝50×＝25（m），CH＝AC•sinA＝50×＝25（m），
在Rt△BCH中，∠B＝40°，CH＝25m，
∴BH＝＝，
∴AB＝AH+BH＝（25+）m；
∴两地间距离AB的长为（25+）m．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2022•呼和浩特）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的俯角为10°．已知测角仪CD与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，

则CD＝BE＝1米，
在Rt△CBE中，∠BCE＝10°，
∴CE＝＝（米），
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴AE＝CE•tan30°＝•＝（米），
∴AB＝AE+BE＝（1+）米，
∴雕像AB的高为（1+）米．

一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
11．（2021•呼和浩特）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

【答案】河宽为米．
【解答】解：如图，

过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．
由题意知，△ACP为等腰直角三角形，
∴AP＝CP＝x（米），BP＝x﹣20（米），
在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，
∴，
∴tan55°⋅x＝x+40，
∴（tan55°﹣1）⋅x＝40，
∴，
所以河宽为米．
答：河宽为米．
一十一．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2022•呼和浩特）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
17 18 16 13 24 15 27 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 15 16 28
15 32 23 17 14 15 27 27 16 19
对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下
频数分布表
组别
一
二
三
四
五
六
七
销售额/万元
13≤x＜16
16≤x＜19
19≤x＜22
22≤x＜25
25≤x＜28
28≤x＜31
31≤x＜34
频数
6
10
3
3
a
b
2
数据分析表
平均数
众数
中位数
20.3
c
d
请根据以上信息解答下列问题：
（1）上表中a＝　4　，b＝　2　，c＝　16　，d＝　18　；
（2）若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由；
（3）若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组内的概率．
【答案】（1）4，2，16，18；
（2）18万；
（3）．
【解答】解：（1）a＝4，b＝2；
c＝16，d＝18；
故答案为4，2，16，18；
（2）月销售额定为18万元合适．
理由如下：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售额定为中位数，因为低于中位数和高于中位数的人数相同，所以月销售额定为18万元合适；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中这两名营业员在同一组内的结果数为4，
所以这两名营业员在同一组内的概率＝＝．