新高考数学考前模拟卷09（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前模拟卷09（原卷版+解析版），共31页。

新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））若复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知，条件：，条件：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2020·全国高三其他模拟（文））在中，，，，为的中点，，都在线段上，且，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
4．（2021·全国高三其他模拟（文））大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为（ ）
A．380 B．410 C．420 D．462
5．（2020·江西赣州市·高三其他模拟（理））已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·河南郑州市·高三月考（文））三棱柱中，侧面与底面垂直，底面是边长为的等边三角形，若直线与平面所成角为，则棱柱的高为（ ）
A． B．2 C． D．1
7．（2020·全国高三其他模拟）已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（ ）
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.26
8．（2020·广西高三一模（理））已知椭圆上有相异的三点A，B，C，则S△ABC的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·广东广州市·高三月考）设函数(，)，，，且在上单调，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个对称中心
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上的值域为
D．先将的图象的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得到的图象
10．（2020·山东高三专题练习）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（ ）．
附：随机变量服从正态分布，则，，
A．该市学生数学成绩的期望为100
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.8
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
11．（2020·山东高三专题练习）已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ）
A．恒成立
B．若，则
C．面积的最小值为1
D．对每一个确定的，若，则的面积为定值
12．（2020·海南高三一模）对于定义在上的函数和定义在上的函数，若直线同时满足：①，，②，，则称直线为与的“隔离直线”.若，，则下列为与的隔离直线的是（ ）
A． B． C． D．
三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·全国高三专题练习（文））如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为，拉力大小均为，若使身体能向上移动，则拉力的最小整数值为______N．（取重力加速度大小为，）

14．（2020·全国高三其他模拟）对任意的实数，表示不大于的最大整数，则函数的零点为______.
15．（2020·广西北海市·高三一模（理））曲线的一条切线的斜率为，该切线的方程为________.
16．（2020·浙江高三其他模拟）如图，在中，，，，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．设，，，则的最大值是_______；的最小值是__________．

四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·上海高三二模）据相关数据统计，2019年底全国已开通基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.
（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个）
（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？（精确到1万个）
18．（2020·广西高三一模（理））在中，角、、的对边分别为、、，已知，且为钝角.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.
19．（2020·上海青浦区·高三一模）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点.


（1）证明：平面PAC；
（2）求异面直线与AP所成角的大小.
20．（2020·广西高三其他模拟（理））某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记，试比较与的大小．（只需写出结论）
21．（2020·云南昆明市·高三其他模拟）已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.
22．（2020·全国高三其他模拟）已知函数，.
（1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数使得与曲线相切，求的值；
（2）设函数.
①若恒成立，求的取值范围；
②若函数仅有两个不同的零点，求的取值范围.



新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
四、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））若复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】
∵，∴，
则在复平面内对应的点的坐标为（），位于第三象限．
故选：C．
2．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知，条件：，条件：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
，则，
，则，因为，
所以是的充分必要条件.
故选：C
3．（2020·全国高三其他模拟（文））在中，，，，为的中点，，都在线段上，且，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【详解】

如图，建立直角坐标系，则，，，
所以，，
所以，
故选：A
4．（2021·全国高三其他模拟（文））大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项与21项的和为（ ）
A．380 B．410 C．420 D．462
【答案】C
【详解】
由数列的前10项可知，数列的偶数项的通项公式，，
奇数项的通项公式，，
.
故选：C
5．（2020·江西赣州市·高三其他模拟（理））已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由可得出，再由，可得出，
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：B.
6．（2020·河南郑州市·高三月考（文））三棱柱中，侧面与底面垂直，底面是边长为的等边三角形，若直线与平面所成角为，则棱柱的高为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【详解】
如图，绘出三棱柱，

取中点，连接、、，
因为三棱柱侧面与底面垂直，底面是边长为的等边三角形，
所以，平面，，，
由线面角的定义即可得出即直线与平面所成角，
则，，，
故选：C.
7．（2020·全国高三其他模拟）已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（ ）
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.26
【答案】C
【详解】
由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为．
故选：C．
8．（2020·广西高三一模（理））已知椭圆上有相异的三点A，B，C，则S△ABC的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
首先证明一个结论，设（）是椭圆上的三个不同的点，直线，分别是在直线上的射影，则，
梯形梯形梯形



，
，
∵，∴，
令，则，

令



，


，
∴，当且仅当，即时等号成立．
∴．

本题中，，∴．
故选：C．
五、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·广东广州市·高三月考）设函数(，)，，，且在上单调，则下列结论正确的是（ ）
A．是的一个对称中心
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上的值域为
D．先将的图象的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得到的图象
【答案】ABD
【详解】
因为在上单调，所以，因为，，所以，所以，得，由，
得，，令，得，所以，
令，得，故A项正确；
令，得，故B项正确；
当时，，，故C项错误；
先将的图象的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得的图象，故D项正确.
故选：ABD
10．（2020·山东高三专题练习）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（ ）．
附：随机变量服从正态分布，则，，
A．该市学生数学成绩的期望为100
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.8
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
【答案】AC
【详解】
数学成绩服从正态分布，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确B错误；
及格率为，C正确；
不及格概率为，优秀概率，D错误.
故选：AC.
11．（2020·山东高三专题练习）已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ）
A．恒成立
B．若，则
C．面积的最小值为1
D．对每一个确定的，若，则的面积为定值
【答案】ABD
【详解】
设，代入得，①
显然，，即，
设，，则，是方程①的两个根，
有，，
设，，由得，
由，得；
所以，所以和的中点重合，
所以，所以恒成立．故A正确．

因为和的中点重合为，所以，
又，所以，
所以，故B正确．
设直线方程为，，
由得，由得，
，，，
，故C错误.

因为，所以，得
，即，
所以，，又，，，
所以是定值．故D正确．
故选：ABD.
12．（2020·海南高三一模）对于定义在上的函数和定义在上的函数，若直线同时满足：①，，②，，则称直线为与的“隔离直线”.若，，则下列为与的隔离直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】
根据隔离直线的定义，函数的图象总在隔离直线的下方，的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，
由函数，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，此时函数的点处的切线方程为，
且函数的图象在直线的下方；
又由函数，可得，单调递增，
因为，所以函数在点处的切线方程为，即，
此时函数的图象在直线的上方，
根据上述特征可以画出和的大致图象，如图所示，
直线和分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A，B都符合；
设过原点的直线与函数相切于点，
根据导数的几何意义，可得切线的斜率为，
又由斜，可得，解得，
所以，可得切线方程为，
又由直线与曲相交，故C不符合；
由直线过点，斜率为，曲线在点处的切线斜率为1，
明显不满足，排除D.
故选：AB.

六、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·全国高三专题练习（文））如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为，拉力大小均为，若使身体能向上移动，则拉力的最小整数值为______N．（取重力加速度大小为，）

【答案】405
【详解】
设是两个拉力，合力为，由于，在菱形中知，所以，，所以的最小整数为405．
故答案为：405．

14．（2020·全国高三其他模拟）对任意的实数，表示不大于的最大整数，则函数的零点为______.
【答案】
【详解】
由题意得，.
令得，，
所以，解得或，
从而或.
当时，，解得，，与矛盾，故舍去；
当时，，，符合题意.
故函数的零点为.
故答案为：.
15．（2020·广西北海市·高三一模（理））曲线的一条切线的斜率为，该切线的方程为________.
【答案】
【详解】
的导数为，
设切点为，可得，
解得，即有切点，
则切线的方程为，
即.
故答案为：.
16．（2020·浙江高三其他模拟）如图，在中，，，，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．设，，，则的最大值是_______；的最小值是__________．

【答案】90
【详解】

设为中点,
因为
，当点D在线段AC的延长线上取“=”；
所以的最大值是90
在线段AC上取一点M，使得，则
又因为
，当D，M，B三点共线时取“=”．
所以的最小值是

故答案为：90，
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·上海高三二模）据相关数据统计，2019年底全国已开通基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.
（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个）
（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？（精确到1万个）
【答案】（1）62.2万个，（2）2021年181万个，2022年547万个
【详解】
（1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，
所以今年一共建设基站万个，
所以今年底全国共有基站万个.
（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，
则，即，解得，
所以万个， 万个.
所以2021年至少新建万个基站，2022年至少新建万个基站オ能完成计划.
18．（2020·广西高三一模（理））在中，角、、的对边分别为、、，已知，且为钝角.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）或；（2）.
【详解】
（1），由正弦定理可得，
所以，，
即，
在中，由于角为钝角，则、均为锐角，可得，，
，可得，或，因此，或；
（2），，则，，则，，
，
由正弦定理可得，所以，，
为锐角，则，，
则，，
.
19．（2020·上海青浦区·高三一模）如图，在长方体中，，，点P为棱的中点.


（1）证明：平面PAC；
（2）求异面直线与AP所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）证明：设AC和BD交于点O，则O为BD的中点.
连结PO，又因为P是的中点，所以.
又因为平面PAC，平面PAC
所以直线平面PAC.
（2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与AP所成的角或其补角.

因为，且，
所以.
又，所以
故异面直线与AP所成角的大小为.
20．（2020·广西高三其他模拟（理））某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（3）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记，试比较与的大小．（只需写出结论）
【答案】（1）男员工3人，女员工2人；（2）分布列见解析，；（3）.
【详解】
(1)抽取的5人中男员工的人数为，
女员工的人数为.
(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人.
所以，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
根据题意，，
，.
随机变量X的分布列是：
X
0
1
2
P



数学期望.
（3）.
21．（2020·云南昆明市·高三其他模拟）已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.
【详解】
(1)，，
又，，即，
则可得，又，，
故所求椭圆方程为；
(2)设直线，代入，有.
设，则，
若轴上存在定点满足题设，则，，

，
由题意知，对任意实数都有恒成立，
即对成立.
，解得，
在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.
22．（2020·全国高三其他模拟）已知函数，.
（1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数使得与曲线相切，求的值；
（2）设函数.
①若恒成立，求的取值范围；
②若函数仅有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）①；②.
【详解】
（1）由题意知，，，因而曲线在处的切线方程为，故，，
则.
曲线在点处的切线方程为，即.
令，，得，.
（2）①由已知得，，.
恒成立，即恒成立，
即恒成立.
设，则，单调递增，
因而恒成立，即恒成立.
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，从而.
②函数仅有两个不同的零点，即有两个不同的解，
即有两个不同的解，
根据①可知即有两个不同的解，即有两个不同的解.
因为当时，单调递增，当时，单调递减，，当时，，时，，所以.