新高考数学考前模拟卷12（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前模拟卷12（原卷版+解析版），共34页。

新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
1．（2020·全国高三其他模拟（文））已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2020·无锡市大桥实验学校高一期中）点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是图中（ ）

A． B．
C． D．
4．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（理））已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国高三其他模拟）若，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
6．（2020·全国高三专题练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2017·安徽合肥市·高三二模（理））已知件产品中有件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·重庆高三月考）在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．（2020·全国高三其他模拟）已知的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为45
10．（2020·全国高三其他模拟（理））如图所示，在长方体中，是上的一动点，则下列选项正确的是( )

A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（2020·全国高三其他模拟）已知，是双曲线：的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，交轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A．与的面积相等
B．若的焦距为4，则点到两条渐近线的距离之积的最大值为
C．若，则的渐近线方程为
D．若，则的离心率
12．（2020·江苏南通市·高三月考）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则.
三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））已知向量，若，则实数__________．
14．（2019·广西大学附属中学高三月考（文））已知，则的最小值为________.
15．（2019·辽宁沈阳市·高考模拟（理））大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE＝α，∠ADE＝β，垂直放置的标杆BC的高度h＝4米，大雁塔高度H＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d为_____米．

16．（2020·北京高三二模）在等差数列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝_____；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝_____.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·济南市历城第二中学高三期中）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
在中，内角的对边分别是，且满足 ，
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
18．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（理））已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（2020·全国高三其他模拟）如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．

（1）证明：；
（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．
20．（2020·全国高三专题练习）2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：（单位：例）
日期
12
13
14
15
16
17
18
治愈人数
1171
1081
1373
1323
1425
1701
1824
请根据以上信息，回答下列问题：
（Ⅰ）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为和，后三天治愈人数的平均数和方差分别为和，判断与，与的大小（直接写出结论）；
（Ⅱ）从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率；
（Ⅲ）设集合，表示2月日的治愈人数，，13，，，从集合中任取两个元素，设其中满足的个数为，求的分布列和数学期望．
21．（2020·四川遂宁市·高三零模（理））已知函数，
（1）若曲线在点处的切线与直线重合，求的值；
（2）若函数的最大值为，求实数的值；
（3）若，求实数的取值范围．
22．（2019·上海市建平中学高三月考）已知抛物线，点
（1）求点与抛物线的焦点的距离；
（2）设斜率为的直线与抛物线交于两点，若的面积为，求直线的方程；
（3）是否存在定圆，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.




新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
四、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

五、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
1．（2020·全国高三其他模拟（文））已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，所以.
2．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
因为，，，所以，
所以，，故有，充分性成立；
取，则成立，而此时，条件不成立，
故是的充分不必要条件.
故选：C.
3．（2020·无锡市大桥实验学校高一期中）点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是图中（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
当在上时，，；
当在上时，，；
当在上时，，；
对比选项，可得A正确.
故选：A
4．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（理））已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，当时，；
当时，.
所以，.
若对任意的，不等式恒成立，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
5．（2020·全国高三其他模拟）若，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
【详解】
由题可得
所以，即
所以或.
又
所以当时，.
当时，.
故选：B
6．（2020·全国高三专题练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，
故选：B.

7．（2017·安徽合肥市·高三二模（理））已知件产品中有件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，故选B．
8．（2020·重庆高三月考）在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图，取的两个三等分点、，连接、、，
设，连接、.
则，，又，，
所以，四边形为平行四边形，，为的中点，
所以，，
由勾股定理可得，则，
在中，，，
，，又，则为等边三角形，
，则是的外接圆的圆心.
因为，为的中点，，
，，，，，
，又，，平面，
且.
设为三棱锥外接球的球心，连接、、，过作，垂足为，

则外接球的半径满足，
设，则，解得，
从而，故三棱锥外接球的表面积为.
故选：D.

二、多选题
9．（2020·全国高三其他模拟）已知的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为45
【答案】BCD
【详解】
由题意，，所以（负值舍去），
又展开式中各项系数之和为1024，所以，所以，故A错误；
偶数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的二项式系数与对应项的系数相同，
所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；
的展开式的通项，
令，解得，所以常数项为，故D正确.
故选：BCD.
10．（2020·全国高三其他模拟（理））如图所示，在长方体中，是上的一动点，则下列选项正确的是( )

A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】AD
【详解】
求的最小值，即求底边上的高，易知，所以边上的高为，连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，易知，
所以.
故选：AD.
11．（2020·全国高三其他模拟）已知，是双曲线：的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，交轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A．与的面积相等
B．若的焦距为4，则点到两条渐近线的距离之积的最大值为
C．若，则的渐近线方程为
D．若，则的离心率
【答案】AC
【详解】
由题可知，，不妨记：，：．由可得的方程为，与的方程联立可解得，，即点．对于，令，可得，即点，所以，，所以，所以选项正确；
设点的坐标为，则，即，所以到两条渐近线的距离之积为，因为的焦距为4，所以，所以，因为，所以，，所以，所以点到两条渐近线的距离之积的最大值为1，所以选项错误；
由得为的中点，则，，即点，代入双曲线的方程得，即，又，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，所以选项正确；
由与，得，所以，得，所以，所以选项错误．
故选：AC．
12．（2020·江苏南通市·高三月考）关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则.
【答案】BD
【详解】
解：对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，
∴时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
∴是的极小值点，故A错误；
对于B选项，，
∴，
∴ 函数在上单调递减，
又∵ ，，
∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C选项，若，可得，
令，则，
令，则，
∴在上，，函数单调递增，
上，，函数单调递减，
∴，
∴，
∴在上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数，使得成立，故C错误；
对于D选项，由，可知，
要证，即证，且，
由函数在是单调递增函数，
所以有，
由于，所以
即证明，
令，
则，所以在是单调递减函数，
所以，即成立，
故成立，所以D正确.
综上，故正确的是BD.
故选：BD．
六、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））已知向量，若，则实数__________．
【答案】
【详解】
由题意，又，∴，解得．
故答案为：．
14．（2019·广西大学附属中学高三月考（文））已知，则的最小值为________.
【答案】
【详解】
由题意得，所以，即，消去，
得.

记，注意到，
则
，
当且仅当即时等号成立，
所以最小值为.
故答案为：.
15．（2019·辽宁沈阳市·高考模拟（理））大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE＝α，∠ADE＝β，垂直放置的标杆BC的高度h＝4米，大雁塔高度H＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d为_____米．

【答案】.
【详解】
由题意得 ，
因此 ，
当且仅当 时取等号，因此当 时，取最大值，即取最大，即标杆到大雁塔的距离为.
16．（2020·北京高三二模）在等差数列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝_____；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝_____.
【答案】9 5.
【详解】
解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1+a2＝16，a5＝1，
∴2a1+d＝16，a1+4d＝1，
解得：a1＝9，d＝﹣2.
∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n.
令an＝11﹣2n≥0，
解得n5.
∴使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝5.
故答案为：9；5.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·济南市历城第二中学高三期中）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
在中，内角的对边分别是，且满足 ，
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：若选①，由题意，
化简得
即，
得
（1）由余弦定理，
得，
解得

（2）由正弦定理
又因为，
所以
，
因为

若选②，由，
得，
化简得
得，
得.
以下与选①同.
若选③，由
得，
即
化简得，
得.
以下与选①同.
18．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（理））已知为数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，，∴
当时，因为①所以②
①－②得，∴.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
∴.
由（1）得
，
∴.
19．（2020·全国高三其他模拟）如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．

（1）证明：；
（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）取的中点，连接，，，
因为四边形是菱形，且，
所以，且，所以为正三角形，．
因为，所以．
又，所以平面，
因为平面，所以．
（2）设，则，
所以，所以．
由（1）知，，又，，
所以，所以．
故以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，
所以，，．
设是平面的法向量，则即
取，则．
设是平面的法向量，
则即则，
取，则．
则，
由图易知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为．
20．（2020·全国高三专题练习）2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：（单位：例）
日期
12
13
14
15
16
17
18
治愈人数
1171
1081
1373
1323
1425
1701
1824
请根据以上信息，回答下列问题：
（Ⅰ）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为和，后三天治愈人数的平均数和方差分别为和，判断与，与的大小（直接写出结论）；
（Ⅱ）从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率；
（Ⅲ）设集合，表示2月日的治愈人数，，13，，，从集合中任取两个元素，设其中满足的个数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列见解析，.
【详解】
解：（Ⅰ）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为和，
后三天治愈人数的平均数和方差分别为和，
则，．
（Ⅱ）设事件：“从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多 于 200 例”．
从这七天中任选取连续的两天，共有 6 种选法，
其中 13 日和 14 日，16 日和 17 日符合要求，
所以从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率为：
．
（Ⅲ）设集合，表示2月日的治愈人数，，13，，，
从集合中任取两个元素，设其中满足的个数为，由题意可知 的可能取值为 0，1，2，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2




数学期望．
21．（2020·四川遂宁市·高三零模（理））已知函数，
（1）若曲线在点处的切线与直线重合，求的值；
（2）若函数的最大值为，求实数的值；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】
（1）因为，所以，则，
点的坐标为，故切线方程为，
即，由于它与直线重合，所以，
解得，故．
（2）因为，所以，
由，解得，由，解得，
所以函数在单调递增，在单调递减，而，
所以，解得
（3）因为，即
即，令，即有．
①当时，，所以不合题意；
②当时，，
当时，，递减，当时，，递增．
所以当时，取得最小值，最小值为，从而，符合题意；
③当时，（放缩）；又由②知，符合题意；
综上，实数的取值范围为．
22．（2019·上海市建平中学高三月考）已知抛物线，点
（1）求点与抛物线的焦点的距离；
（2）设斜率为的直线与抛物线交于两点，若的面积为，求直线的方程；
（3）是否存在定圆，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在实数
【详解】
（1）抛物线的焦点坐标为，
则点与抛物线的焦点的距离为．
（2）设直线的方程为，
把方程代入抛物线，可得，
，，
，
点到直线的距离，
，
解得，所以直线的方程．
（3）假设存在．取，圆，设切线为，
由，解得，①
将直线代入抛物线方程，
解得，，
直线的方程为，
若直线和圆相切，可得②
由①②解得，．
下证时，对任意的动点，直线和圆相切．
理由如下：设，， ，
由，可得，
，，
又直线与曲线相交于，，
由，代入抛物线方程可得，
可得，，
则，是方程的两根，
即有，即，同理．
则有，，
直线，
即为，
则圆心到直线的距离为
，
由，
代入上式，化简可得，
则有对任意的动点，存在实数，使得直线与圆相切．