高考数学三轮冲刺卷：抛物线的基本量与方程（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：抛物线的基本量与方程（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 已知点 在抛物线 上，则点 到点 的距离与点 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点 的坐标为
A. B. C. D.

2. 经过抛物线 的焦点，且方向向量为 的直线 的方程是
A. B. C. D.

3. 在抛物线 上，横坐标为 的点到焦点的距离为 ，则 的值为
A. B. C. D.

4. 抛物线 上一点 的纵坐标为 ，则点 与抛物线焦点的距离为
A. B. C. D.

5. 以抛物线 的顶点为圆心的圆交 于 ， 两点，交 的准线于 ， 两点．已知 ，，则 的焦点到准线的距离为
A. B. C. D.

6. 抛物线 的焦点坐标是
A. B. C. D.

7. 已知点 在抛物线 上，那么点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 的坐标为
A. B. C. D.

8. 抛物线 的焦点到准线的距离为
A. B. C. D.

9. 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点， 为坐标原点，当 时，，则抛物线的准线方程是
A. B. C. D.

10. 已知点 在抛物线 上，那么点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 的坐标为
A. B. C. D.

11. 已知点 ，抛物线 ： 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点 ，与其准线相交于点 ，则
A. B. C. D.

12. 已知双曲线 的渐近线与抛物线 的准线围成一个等边三角形，则双曲线 的离心率是
A. B. C. D.

13. 将两个顶点在抛物线 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 ，则
A. B. C. D.

14. 已知抛物线 的焦点与双曲线 的焦点 重合， 的渐近线恰为矩形 的边 ， 所在直线（ 为坐标原点），则 的方程是
A. B. C. D.

15. 已知双曲线 与抛物线 的一个交点为 ， 为抛物线的焦点，若 ，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.

16. 已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 ，那么点 到 轴的距离是
A. B. C. D.

17. 已知正六边形 的边长是 ，一条抛物线恰好经过该六边形相邻的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是
A. B. C. D.

18. 已知圆 与抛物线 的准线相切，则 的值等于
A. B. C. D.

19. 设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 两点， 为坐标原点，则 的面积为
A. B. C. D.

20. 是抛物线 上任意一点，则当 和直线 上的点距离最小时， 与该抛物线的准线距离是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 若抛物线 的焦点坐标为 ，则 ；准线方程为 ．

22. 已知抛物线 焦点 恰好是双曲线 的右焦点，且双曲线过点 ，则该双曲线的渐近线方程为 ．

23. 已知抛物线 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

24. 一辆卡车高 米，宽 米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为 米，则能使卡车通过的 的最小整数值是 ．

25. 已知 是抛物线 上的一个动点， 是椭圆 上的一个动点， 是一定点，若 轴，且 ，则 的周长 的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 若抛物线 上距点 最近的点恰好是原点，求实数 的取值范围．

27. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为 米，拱顶距离水面 米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系 ，试求拱桥所在抛物线的方程．
（2）若一竹排上有一个 米宽、 米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?

28. 设抛物线 的焦点在 轴正半轴上，且抛物线上一点 到焦点的距离为 ，求此抛物线的标准方程．

29. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）求 ， 的值；
（2）过点 作 垂直于 轴， 为垂足，直线 与抛物线的另一交点为 ，点 在直线 上，若 ，， 的斜率分别为 ，，，且 ，求点 的坐标．

30. 已知抛物线 上点 到焦点 的距离为 ．
（1）求抛物线方程．
（2）点 为准线上任意一点， 为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线 ，， 的斜率为 ，，，问是否存在实数 ，使得 恒成立，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
答案
1. A【解析】如图所示，点 在抛物线的内部，
由抛物线的定义，抛物线上的点 到 的距离等于点 到准线 的距离．
过 作直线 的垂线 交抛物线于点 ，则点 即为取最小值时的所求点．
当 时，由 得 ．
所以满足条件的点 的坐标为 ．
2. B
3. C
4. D
5. B
【解析】不妨设 ：，，则 ，由题意可知 ，得 ，解得 （舍负）．
6. D
7. A【解析】
如图，因为点 在抛物线的内部，由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离．过 作 的垂线 交抛物线于点 ，则点 为取最小值时的所求点．当 时，由 得 ．所以点 的坐标为 ．
8. D【解析】抛物线的标准方程为 ，则焦点坐标为 ，准线方程为 ，
所以焦点到准线的距离 ．
9. A【解析】过 向准线作垂线，设垂足为 ，准线与 轴的交点为 ．
因为 ，
所以 为等边三角形，，
从而 ，因此抛物线的准线方程为 ．
10. A
【解析】因为 ，
所以 ，焦点坐标为 ，
过 作准线的垂线于 ，由 ，
依题意可知当 ， 和 三点共线且点 在中间的时候，距离之和最小，如图，
故 的纵坐标为 ，然后代入抛物线方程求得 ．
11. C
12. A
13. C【解析】如图所示，
根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于 轴对称，过焦点作两条直线倾斜角分别为 和 ，它们和抛物线的交点与抛物线焦点可形成两个正三角形．
14. D
15. C
【解析】因为点 在抛物线 上，，
所以 满足 ，得 ，
因此 ，得 ，
所以点 在双曲线 上，
可得 ，解之得 ，
所以双曲线标准方程为 ，
得 ，，渐近线方程为 ，即 ．
16. C【解析】抛物线 ，则准线方程为 ，
因为 到其焦点的距离为 ，则到其准线的距离也为 ，
所以 点到 轴的距离为 ．
17. B【解析】如图可知 ，，代入抛物线方程 求出 ，，然后令 即可．
18. D【解析】抛物线的准线为 ，将圆化为标准方程 ，圆心到直线的距离为 ，得 ．
19. D
20. B
21. ，
22.
23.
【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，它是坐标原点，则得 ，从而 ．抛物线 与坐标轴的交点为 ，以这三点围成的三角形的面积为 ．
24.
【解析】由题意可设抛物线方程为 ，当 时，；当 时，．由题意知 ，即 ．解得 的最小整数值为 ．
25.
【解析】由 得 ．
∵ 轴，且 ，∴ ，．
又 是抛物线的焦点，∴ ，，
又 ，∴ ．
∴周长 ，而 ，∴ ．
26. 设 为抛物线 上的动点，则
因为 在抛物线 上，所以 ，代入上式，得
因为当 在原点，即当 时， 有最小值，所以 ．
又 ，故实数 的取值范围 ．
27. （1） 设抛物线方程 ．
由题意可知，抛物线过点 ，
代人抛物线方程，得 ，
解得 ．
所以抛物线方程为 ．
（2） 把 代人，求得 ，
而 ，
所以木排能安全通过此桥．
28. 由题意，设抛物线为 ，
因为点 在抛物线上，
所以 ，即
因为点 到焦点的距离为 ，所以
由 得，，解得 或 ，
所以抛物线的标准方程为 ，或 ．
29. （1） 将点 代入 ，得 ．
将点 代入 ，得 ．
因为 ，
所以 ．
（2） 由题意知，点 的坐标为 ，直线 的方程为 ．
联立
解得 ，
所以 ，，代入 ，得 ，故直线 的方程为 ，联立
解得 ．
30. （1） 抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
由抛物线定义可知 ，解得 ，
所以抛物线方程为 ．
（2） 抛物线 的焦点 为 ，准线为 ，
设直线 ，
由 消去 ，整理得：，
设 ，，，
则有
易知 ，
而

所以存在实数 ，使得 恒成立．