河南省信阳市浉河中学及湖东分校2023-2024学年上学期九年级月考数学试卷（9月份）

这是一份河南省信阳市浉河中学及湖东分校2023-2024学年上学期九年级月考数学试卷（9月份），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省信阳市浉河中学及湖东分校九年级（上）月考数学试卷（9月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.关于的方程是一元二次方程的条件是(    )A. ， B. ，
C. 或 D. 且2.一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是(    )A. ， B. ，
C.  D. 3.在解方程时，甲同学说：由于，可令，，得方程的根，；乙同学说：应把方程右边化为，得，再分解因式，即，得方程的根，对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是(    )A. 甲错误，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都错误4.已知关于的方程的一个根为，则(    )A.  B.  C.  D. 5.，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立？则正确的结论是(    )A. 时成立 B. 时成立 C. 或时成立 D. 不存在6.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是(    )A. 一定不是关于的方程的根
B. 一定不是关于的方程的根
C. 和都是关于的方程的根
D. 和不都是关于的方程的根7.已知、是方程的两根，则代数式的值为(    )A.  B.  C.  D. 8.股票每天的涨、跌幅均不能超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是(    )A.  B.  C.  D. 9.北碚区某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评近几年来，每年高一新生报名人数均创新高已知我校年高一招生人，年达到人，假设每年招生人数的增长率相同，请你预计该校年的高一招生人数大约为(    )A. 人 B. 人 C. 人 D. 人10.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式每两个队之间都赛一场，计划安排场比赛，应邀请个球队参加比赛．(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.已知是一元二次方程的一个根，则的值为______．12.若方程的两根之差的绝对值是，求的值．______ ．13.若一个一元二次方程的两个根分别是的两条直角边长，且，请写出一个符合题意的一元二次方程______．14.若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．15.已知线段的长为，以为边在的下方作正方形取边上一点，以为边在的上方作正方形过作，垂足为点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则的长为______ ．

 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）16.已知关于的一元二次方程的一个根是，且、满足，求关于的方程的根．四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
解方程：



．18.本小题分
已知关于的一元二次方程，为实数．
求证：方程有两个不相等的实数根；
为何值时，方程有整数解．直接写出三个，不需说明理由19.本小题分
如图，要利用一面墙墙长为米建羊圈，用米的围栏围成总面积为平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为多少米？
 
 20.本小题分
某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进个某品牌的足球供学生使用经调查，该品牌足球两年前单价为元，今年单价为元．
求两年前到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
商场：买十送一；
商场：全场九折．
试问去哪个商场购买足球更优惠？21.本小题分

某新建火车站站前广场需要绿化的面积为平方米，施工队在绿化了平方米后，将每天的工作量增加为原来的倍，结果提前天完成了该项绿化工程．
该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？
该项绿化工程中有一块长为米，宽为米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道如图所示，问人行通道的宽度是多少米．
22.本小题分
资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有，两家商贸公司以下简称，公司去年下半年，公司营销区域面积分别为平方千米，平方千米，其中，公共营销区域面积与公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，公司营销区域面积比去年下半年增长了，公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是公司的倍，公共营销区域面积与公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与，两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了个百分点．
问题：
根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题如求去年下半年公共营销区域面积与公司营销区域面积的比，并解答；
若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且公司每半年每平方千米产生的经济收益均为公司的倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．23.本小题分

如图所示，、、、为矩形的四个顶点，，，、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动．点停止运动时点也停止运动．
、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是？

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得：且，
故选：．
根据一元二次方程的定义得出，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．2.【答案】 【解析】解：方程的两根为，，
，，
选项正确．
故选C．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系．
根据根与系数的关系得出，，再结合四个选项即可得出结论．3.【答案】 【解析】解：，
整理得，，
分解因式，得，
则，，
解得，．
所以甲错误，乙正确．
故选A．
先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，再令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．4.【答案】 【解析】解：由题意得：把代入方程中得：
，
解得：，
故选：．
根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．5.【答案】 【解析】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，．
假设存在实数使成立，则，
，
．
当时，方程即为，此时，
符合题意．
故选：．
先由一元二次方程根与系数的关系得出，，假设存在实数使成立，则，求出，再用判别式进行检验即可．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果，是方程的两根时，那么，．6.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
或．
当时，有，此时是方程的根；
当时，有，此时是方程的根．
，
，
和不都是关于的方程的根．
故选：．
根据方程有两个相等的实数根可得出或，当时，是方程的根；当时，是方程的根．再结合，可得出和不都是关于的方程的根．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．7.【答案】 【解析】解：、是方程的两根，
，，
，
故选：．
根据根与系数的关系，可以求得的值和的值，从而可以求得题目中所求式子的值．
本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确根与系数的关系，求出所求式子的值．8.【答案】 【解析】解：假设股票的原价是，设平均每天涨．
则，
即，
故选：．
股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨，每天相对于前一天就上涨到．
此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．9.【答案】 【解析】解：设增长率为，
根据题意得：，
解得：或舍去，
所以预计今年招生人．
答：预计该校年的高一招生人数大约为人．
故选：．
一般用增长后的量增长前的量增长率，年为人，在年的基础上再增长，就是年的人数为人，即可列出方程求解．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量年平均增长率增长后的量．10.【答案】 【解析】解：设有个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
，
解得或舍去．
故应邀请个球队参加比赛．
故选：．
赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，个球队比赛总场数即可列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．11.【答案】 【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
首先把代入一元二次方程中得到，然后把利用完全平方公式分解因式即可求出结果．
此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．12.【答案】 【解析】解：方程的二次项系数，一次项系数，常数项，
，，
又方程的两根之差的绝对值是，
，
，
，
，即，
解得．
故答案为：．
根据根与系数的关系、及完全平方公式的变形形式，解答．
本题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，要灵活运用完全平方公式的变形，在该题中就利用了．13.【答案】答案不唯一 【解析】解：一个一元二次方程的两个根分别是的两条直角边长，且，
一元二次方程的两个根的乘积为：，
此方程可以为：，
故答案为：答案不唯一．
根据，得出两根之积，进而根据根与系数的关系写出一个符合要求的一元二次方程即可．
此题主要考查了根与系数的关系以及直角三角形的面积，根据已知得出两根之积进而得出答案是解题关键．14.【答案】且 【解析】解：，
，，
原方程为，
该一元二次方程有实数根，
，
解得：，
方程是一元二次方程，
，
的取值范围是：且，
故答案为：且．
根据非负数的性质求出、的值，转化成关于的不等式即可解答．
本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于的不等式是解题的关键．15.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了长方形的面积公式的运用，正方形的面积公式的运用，解答时根据正方形与四边形的面积相等建立方程是解答的关键．
设，则，就有的面积为，正方形的面积，根据正方形与四边形的面积相等建立方程求出其解即可．
【解答】
解：设，则，由图形得
，
解得：，舍去
故答案为：．16.【答案】解：，满足，
，，
，
把代入，
得，
一元二次方程的一个根是，
，又，，
，
关于的方程，
解得，． 【解析】首先根据、满足的关系式，求出、的值，然后解出，最后解的方程．
本题综合考查了一元二次方程的解的概念以及二次根式有意义的条件，比较简单．17.【答案】解：，
则或，
解得：，；

，
，，，
，
则，
，；

，
，，，
，
则，
，；

，
，
则，，
解得：，． 【解析】首先把等号左边分解因式，然后可得或，再解一元一次方程即可；
首先确定、、的值，然后再利用公式法解方程即可；
首先确定、、的值，然后再利用公式法解方程即可；
首先把等号左边分解因式，然后可得，，再解一元一次方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可．18.【答案】解：原方程可化为，
，
不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
，
原方程可化为，
方程有整数解，
为整数即可，
可取，，时，方程有整数解． 【解析】要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可；
要使方程有整数解，那么为整数即可，于是可取，，时，方程有整数解．
本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．19.【答案】解：设的长度为米，则的长度为米．
根据题意得，
解得，，
则或，
，
舍去，
即，，
答：羊圈的边长，分别是米、米． 【解析】本题考查一元二次方程的应用．
设的长度为米，则的长度为米，然后根据矩形的面积公式列出方程．20.【答案】解：设两年前到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为．
根据题意得：，
，不合题意，舍去．
答：两年前到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为；
根据题意得，在商场需要的费用为：元，
在商场需要的费用为：元．
．
答：去商场购买足球更优惠． 【解析】设年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为，根据年及今年该品牌足球的单价，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
根据店的优惠政策可求出店实际需要购买的足球个数为个，分别求出在，两店购买这批足球所需的总费用，比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据优惠政策，分别求出在，两店购买这批足球所需的总费用．21.【答案】解：设该项绿化工程原计划每天完成平方米，
根据题意，得，
解得．
经检验：是原方程的解且符合题意．
答：该绿化项目原计划每天完成平方米．
设人行通道的宽度为米，
根据题意，得，
，
或，
解得或不合题意，舍去．
答：人行通道的宽度为米． 【解析】对于，设该项绿化工程原计划每天完成平方米，于是可以表示出现在每天的工作量为平方米；根据“时间工作总量工作效率”以及“原工作时间现工作时间”列出关于的分式方程，便可解答题目；
 对于，设人行通道的宽度为米，根据矩形的面积和为平方米列出关于的一元二次方程，解方程即可求解．
这是一道利用列方程的方法求解应用题的题目，解题的关键是找出题目中的等量关系．22.【答案】解：问题：求去年下半年公共营销区域面积与公司营销区域面积的比？
，
：；
依题意有，
，
解得，舍去，
设公司每半年每平方千米产生的经济收益为，则公司每半年每平方千米产生的经济收益为，
今年上半年两公司总经济收益为，
去年下半年两公司总经济收益为，
故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为：：．
故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为：． 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．本题难度较大．
问题：求去年下半年公共营销区域面积与公司营销区域面积的比？根据比的定义即可求解；
根据同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，列出方程求出，再求出去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．23.【答案】解：依题意得
，
，
，
，
故．
又，
，
解得．
答：、两点出发后秒时，四边形的面积为．

过点做交于．
，
在中，
，
可得：，
解得舍去，．
答：、两点从出发开始 时，点和点的距离第一次是． 【解析】根据矩形和正方形的性质，利用梯形面积的求算方法，找出等量关系列出方程求解即可；
作，垂足为，设运动时间为秒，用表示线段长，用勾股定理列方程求解．
此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．