新高考数学二轮复习培优讲义01 集合（含解析）

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解密01讲：集合
【考点解密】

1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
非负整数集
(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B或B A.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
并集
所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，
或x∈B}

A∪B
交集
所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A，
且x∈B}

A∩B
补集
全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集
{x|x∈U，
且x∉A}

∁UA






【方法技巧】
集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.
集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.

【核心题型】
题型一：元素与集合

1．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】计算出集合，在利用复数的四则运算化简各选项中的复数，即可得出合适的选项.
【详解】当时，，，，，则，
，，
，，
故选：B.
2．（2022·海南·模拟预测）已知集合，集合，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合，再根据集合中和，即可求出结果.
【详解】因为集合，所以，
在集合中，由，得，即，
又，所以，，，即.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合，，且有个子集，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解对数不等式可求得集合，由子集个数可确定中元素仅有个，从而得到，由此得到的范围.
【详解】由题意得：，
有个子集，中的元素个数为个；
，，即，或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
题型二：集合中元素的特性
4．（2023·全国·高三专题练习）设集合， ，则集合元素的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据集合B的描述，结合对数函数性质列举出元素即可.
【详解】当时，y＝1；
当时，y＝0；
当x＝3时，．
故集合B共有3个元素．
故选：B.
5．（2021·全国·高三专题练习（文））已知集合，、、为非零实数 ，则的子集个数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分都是正数，都是负数，中有一个是正数，另两个是负数，中有两个是正数，另一个是负数四种情况分别得出m的值，从而求得集合M的元素的个数，由此可得出集合M的子集的个数.
【详解】因为集合，、、为非零实数 ，
所以当都是正数时，；
当都是负数时，；
当中有一个是正数，另两个是负数时，，
当中有两个是正数，另一个是负数时，，
所以集合M中的元素是3个，所以的子集个数是8，
故选：D.
6．（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ）
A．16 B．18 C．14 D．8
【答案】A
【分析】由题设，列举法写出集合，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】由题设知：，
∴所有元素之和.
故选：A.
题型三：集合的表示方法
7．（2022·陕西·交大附中模拟）已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（    ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【分析】根据集合描述的几何意义，列举出第一象限内符合要求的点坐标，即可知元素的个数.
【详解】由题设，又，
由，则，
由，则，
由，则，
同理，均属于集合A，
所以第一象限中有13个点属于集合A.
故选：D
8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则A中元素的个数为（    ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】由椭圆的性质得，再列举出集合的元素即得解.
【详解】解：由椭圆的性质得，
又,
所以集合
共有11个元素.
故选：C
9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合，，则B中所含元素的个数为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据集合B的形式，逐个验证的值，从而可求出集合B中的元素.
【详解】时，，3，4，
时，，3，
时，，
时，无满足条件的值；故共6个，
故选：D．
题型四：集合的基本关系
10．（2022·四川泸州·一模）已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得集合，再根据集合的运算以及包含关系，即可判断和选择.
【详解】，又，
故，，，，故A正确，其它选项错误.
故选：A.
11．（2022·湖南·模拟预测）已知非空集合， 其中，若满足，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可设，根据题设条件可得满足的条件，再根据根分布可求实数的取值范围.
【详解】，
因为非空，故可设，则为方程的两个实数根.
设，
又，
因为， 故，所以，解得.
故选：A.
12．（2022·青海·模拟预测（理））已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解指数不等式化简集合A，解一元二次不等式化简集合B，再利用交集、并集的定义结合性质求解作答.
【详解】解不等式：，即，解得：，则，
解不等式：，解得：，则，
因，所以.
故选：A
题型五：集合的交并补
13．（2022·贵州贵阳·模拟预测）已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的定义域化简集合，再根据集合交集的定义求解即可.
【详解】由对数函数的定义域可得或，
所以或，
所以，
故选：C.
14．（2022·重庆市永川北山中学校模拟预测）设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数的性质可得P，由一元二次不等式可得Q，根据题意可得出结果.
【详解】∵，，
∴.
故选：B.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知有限集X，Y，定义集合，且，表示集合X中的元素个数.若，则（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】利用新定义及并集运算，即可得到结果.
【详解】∵
∴，，
∴，
∴，
故选：A
题型六：Venn图
16．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）某单位周一､周二､周三开车上班的职工人数分别是15，12，9.若这三天中只有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】将问题转化为韦恩图，结合题意设出未知量，列出方程，求出答案.
【详解】
作出韦恩图,如图,
由题意得 ,则有,
所以,即，
因此要让最大，则需要最小，
若则不满足题意，
若则不满足题意，
若则满足题意，
所以这三天都开车上班的职工人数的最大值是4，
故选:B.
17．（2007·全国·高考真题（理））如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据Venn图表示的集合运算作答．
【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为，
故选：C．
18．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（    ）
A．70 B．75 C．80 D．85
【答案】B
【分析】由题意求出回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．而答错3道题及以上的人没有奖品，所以最多会有人没有奖品，由此可求得答案.
【详解】解：由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．
由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品，
故最多会有人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．
故选：B.
题型七：集合新定义
19．（2022·四川·模拟预测（理））设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：(i)；(ii)对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（    ）
A． B．，或
C． D．
【答案】D
【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．
【详解】解：对于，，存在函数，，满足：；对任意，，当时，恒有，所以选项A是“保序同构”；
对于，或，存在函数，满足：
；对任意，，当时，恒有，所以选项B是“保序同构”；
对于，，存在函数，满足：；
对任意，，当时，恒有，所以选项C是“保序同构”；
对于选项D, ,不存在函数，不是“保序同构”，所以选项D不是“保序同构”.
故选：D．
20．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设A是任意一个n元实数集合，令集合，记集合B中的元素个数为，则（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】利用排除选项D；利用排除选项AC；举例验证选项B正确.
【详解】当集合A中的元素两两互质时，．
所以对于选项D，当时，，故选项D错误．
当时，若，其中，有，故．
对于选项A，，故．故选项A错误．
对于选项C，，则.故选项C错误．
对于选项B，，判断正确
（事实上，当时，要使最小，，记，其中，当时，有．）
故选：B
21．（2023·全国·高三专题练习）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对A、B：不妨设，可得，根据集合的定义可得Y中至少有以上5个元素，不妨设，则集合S中至少有7个元素，排除选项A，若，则集合Y中至多有6个元素，所以，排除选项B；对C：对，则与一定成对出现，根据集合的定义可判断选项C；对D：取，则，根据集合的定义可判断选项D.
【详解】解：不妨设，则的值为，
显然，，所以集合Y中至少有以上5个元素，
不妨设，
则显然，则集合S中至少有7个元素，
所以不可能，故排除A选项；
其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则，故排除B项；
对于集合T，取，则，此时，，故D项正确；
对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误.
故选：D.
题型八：集合的综合问题
22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知．
(1)当时，求的解集；
(2)若的解集包含，求a的取值范围．
【答案】(1)．
(2)．

【分析】（1）通过讨论的范围解不等式.
（2）结合的解集包含来化简不等式，进而解出不等式，再利用解集包含求出a的取值范围.
【详解】（1）当时，
当时，不等式为，解得，故；
当时，不等式为，解得，无解；
当时，不等式为，解得，故，
综上所述，不等式的解集为．
故答案为：.
（2）
的解集包含，即在上成立，
即的解集包含，  即，解得，
由已知可得解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
23．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为．
(1)当时，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或.
(2)

【分析】（1）由题知，，再根据集合运算求解即可；
（2）由题知，再分时和时两种情况讨论求解即可.
（1）
解：要使函数有意义，则，解得，
所以，所以或，
当时，，
所以或．
（2）
解：由（1）得，或
因为是的充分条件，则，
①当时，，则，所以；
②当时，，则，所以；
综上所述，实数的取值范围是．
24．（2022·全国·高三专题练习）设函数，定义集合，集合．
(1)若，写出相应的集合和；
(2)若集合，求出所有满足条件的；
(3)若集合只含有一个元素，求证：．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析

【分析】（1）由、解得，可得，；
（2）由得或，然后由，，方程只有一个实数解0，得， 转化为有唯一实数解0，可得答案；
（3）由条件，有唯一解，得有解，分有唯一解、有两个解，结合的图像和实数解的个数可得答案.
【详解】（1），，由解得或，由解得，所以，．
（2）由
，
得或，
，，而方程只有一个实数解0，所以，
即只需有唯一实数解0，所以．
（3）由条件，有唯一解，所以有解，
①若有唯一解，则，且有唯一解，结合图像可知，所以，所以．②若有两个解，
则，且两个方程，总共只有一个解，结合图像可知有唯一解，所以，，所以，且的对称轴，所以，所以．
综上，．
【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力及计算能力.
【高考必刷】
一、单选题
25．（2022·河北·模拟预测（理））已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合，，再根据并集的定义求解即可．
【详解】，
，
，
故选：．
26．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））已知集合，，则集合的元素个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集运算求解.
【详解】∵，
∴，即集合的元素个数为3.
故选：C.
27．（2022·广东韶关·一模）设全集，集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简集合B，再由并集与补集的定义求解即可
【详解】由题意，，
又，
所以，
又
所以，
故选：B.
28．（2022·吉林长春·模拟预测）已知全集为R，集合，，则Venn图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定集合中的元素，然后根据Venn图表示的集合进行计算．
【详解】或，，
Venn图中阴影部分所表示的集合为．
故选：D．
29．（2022·四川资阳·一模（理））已知全集，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算，，再计算补集得到答案.
【详解】，故，故.
故选：D

二、多选题
30．（2023·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，即可得出结论.
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
故阴影部分所表示的集合为或 .
故选：AD.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A，B均为R的子集，若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案
【详解】如图所示
根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误


故选：AD
32．（2022·湖南·模拟预测）如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为），则称其为可列集．下列集合属于可列集的有（    ）
A．
B．Z
C．Q
D．R
【答案】ABC
【分析】根据自然数、整数、有理数、实数的性质，结合题中定义逐一判断即可.
【详解】令即可表示所有自然数，故集合N可标号表示为，故为可列集，同理，Z为可列集，
对于Q，整数与分数统称有理数，由于其区间可由可列个区间组成，故可只讨论区间内的情况．
令，当分母为1时，分子只有一种取值，故记作，同理，
综上，集合Q可标号表示为，故Q为可列集，
有理数与无理数统称实数，而无限不循环小数是无理数，所以实数不是可列集，
故选：ABC
33．（2022·全国·高三专题练习）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答.
【详解】设，，，则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：

           A                                B

           C                                D
观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义，
再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域.
34．（2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）设表示不大于的最大整数，已知集合，，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由对数运算可知，，由的定义可知AC正误；解不等式求得集合，由交集和并集定义可知BD正误.
【详解】对于A，，，，A正确；
对于C，，，C错误；
对于BD，，，
，，BD正确.
故选：ABD.

三、填空题
35．（2007·湖北·高考真题（理））设A、B为两个集合．下列四个命题：
①不包含于对任意，有；        
②不包含于 ；
③不包含于 不包含于；
④不包含于 存在，使得．
其中真命题的序号是________________．（把符合要求的命题序号都填上）
【答案】④
【分析】根据集合之间的关系，对每个选项进行逐一分析， 即可判断.
【详解】对①：取，满足不包含于，但存在，有，故①错；
对②：取，满足不包含于，但，故②错；
对③：取，满足不包含于，但包含于，故③错；
对④：不包含于 存在，使得正确，故④正确；
故答案为：④.
36．（2022·陕西·大荔县教学研究室一模）设三元集合，则_________.
【答案】1
【分析】根据集合相等求得，由此求得.
【详解】依题意，，
所以，所以，，
此时两个集合都是，符合题意.
所以.
故答案为：
37．（2020·江苏省天一中学一模）设集合，则___________.
【答案】
【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，
根据集合交集的概念与运算，可得.
故答案为：.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．
【答案】或3.
【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可
【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.
再分析区间与的关系，因为，故或.
①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故；
②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；
综上所述，或3
故答案为：或3.