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【期中单元知识点归纳】（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册 第2章 对称图形—圆 试卷（知识归纳+题型突破）
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理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系。探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系。
探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系。
了解切线的概念与性质，会判断一条直线是否为圆的切线。
会计算弧长和扇形面积，了解圆锥的侧面展开图，会计算圆锥的侧面积和全面积。
一、圆的相关概念
1、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（在大小不等的两个圆中，不存在等弧）
2、点和圆的位置关系的确定：如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆内↔dr．
4、定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
二、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
垂径定理及其推论可概括为：一条直线
三、确定圆的条件
不在同一条直线上的三点确定一个圆．（作垂直平分线找圆心）
四、圆周角定理
一个定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等
两个推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
圆内接四边形的对角互补．
五、直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交
2、直线与圆的位置关系的确定：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
相交↔d相切↔d=r；
相离↔d>r
六、切线的性质及判定
1、切线的性质：见切字，连半径，标垂直
2、切线的判定：有切点，连半径，证垂直（绝大多数）
无切点，作垂直，证半径
七、外接圆和内切圆
1、在⊙O上任取三点A、B、C，分别连结AB、BC、CA，则⊙O叫做△ABC的外接圆，O点叫做△ABC的外心，它是△ABC三条中垂线的交点．点O到三角形三个顶点的距离相等．
2、如果⊙I与△ABC的三边相切，则⊙I叫做△ABC的内切圆，圆心I叫做△ABC的内心．△ABC的内心就是△ABC三条内角平分线的交点．点I到三角形三边的距离相等．
3、锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心是斜边中点．而它们的内心均在三角形内部．
4、切线长的定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
八、弧长及扇形面积
弧长： 扇形面积：
九、圆锥的侧面积
1、圆锥侧面展开图扇形的半径=圆锥的母线
圆锥侧面展开图扇形的弧长=圆锥底面周长
2、圆锥侧面积：
圆锥的全面积：
3、圆锥侧面展开图圆心角n：
题型一 圆基础概念的辨析
【例1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．圆D．等腰三角形
【例2】下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧D．圆既是轴对称图形又是中心对称
【例3】如图，是的直径，为圆外一点，则下列说法正确的是（ ）
A．是圆心角 B．是的弦C．是圆周角D．
巩固训练
1．下列语句中，正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B．三点确定一个圆
C．三角形的外心到三角形的三边距离相等
D．长度相等的两条弧是等弧
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧．
A．B．C．D．
3．下列图形对称轴条数最多的是（ ）
A．圆B．长方形C．等腰三角形D．线段
题型二 判断点与圆之间的位置关系
【例4】已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上C．点P在外D．无法判断
【例5】矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点，均在圆外B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外D．点，均在圆内
【例6】在坐标系中，以为圆心，5为半径的与点的位置关系是：点在 （填“内”、“上”或“外”）．
巩固训练
4．如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为），有个点，，，，，，以为圆心，为半径作圆，则在外的点是（ ）
A． B． C． D．
5．已知的半径为3，，则点A在（ ）
A．内B．上C．外D．无法确定
6．已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在 ．
题型三 根据点与圆的位置关系求半径
【例7】已知点到上各点的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ．
【例8】已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ．
【例9】如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为3，与相交，且点B在外，那么的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
【例10】如图，在网格中（每个小正方形的边长均为个单位长度）选取个格点（格线的交点称为格点）．如果以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
巩固训练
7．如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（ ）
A．3B．4或6C．2或3D．6
9．已知点 到 上所有点的距离中，最大距离为 厘米，最小距离为 厘米，那么 的半径长等于 厘米．
题型四 利用垂径定理求值
【例11】如图，是的直径，弦于点E，若，，则线段的长为（ ）．
A．4B．6C．8D．9
【例12】已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例13】如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【例14】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．
(1)求的长；
(2)若大圆半径为，求小圆的半径．
巩固训练
10．如图，的半径为5，，是弦上的一个动点（不与点，重合），则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在中，是的弦，于点，求半径的长．
13．如图，的直径，是的弦，，垂足为，，求的长．
题型五 平行弦问题
【例15】如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
【例16】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ．
【例17】设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ．
巩固训练
14．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm．
15．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
16．已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为 cm．
题型六 弧 弦 圆心角的关系
【例18】如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于 ．
【例19】下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；
④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【例20】如图半径将一个圆分成三个大小相同扇形，其中是的角平分线，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【例21】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
巩固训练
17．如图，是的直径，，，则的度数是 ．
-
18．已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
19．如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接，及顺次连接O，B，C，D得到四边形，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
20．下列命题中正确的是（ ）
A．圆心角相等，所对的弦相等B．长度相等的弧是等弧
C．弧是半圆D．弦的垂直平分线必经过圆心
题型七 确定圆的条件
【例22】下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例23】下列说法，错误的是（ ）
A．直径是弦B．等弧所对的圆心角相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．过三点可以确定一个圆
【例24】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．①B．②C．③D．都不能
【例25】中，、、，则外接圆圆心坐标为 ．
巩固训练
21．下列说法中，真命题的个数是（ ）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A．1B．2C．3D．4
22．下列命题正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．相等的圆心角所对的弧相等
23．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
题型八 圆周角定理
【例26】如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若，则的度数为（ ）
A．37°B．74°C．24°D．33°
【例27】如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【例28】如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
巩固训练
24．如图，内接于，是的直径，，点是劣弧上一点，连接、，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
25．如图，中，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
26．如图，四边形是的内接四边形，若，则 ．
27．如图，内接于，连接并延长交于点，若，，则 度．
题型九 判断直线与圆的位置关系
【例29】．在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相切
C．与x轴相离，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
【例30】如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能
【例31】中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
巩固训练
28．若的直径为1，圆心O到直线l的距离是方程根，则与直线l的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相交D．相切或相交
29．在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与x轴所在直线的位置关系是 ．
30．已知的直径为，如果圆心O到直线l的距离为，那么直线l与有 个公共点．
题型十 切线的性质与判定
【例32】．如图，在中，D是边上的一点，以为直径的交于点E，连接．若与相切，，则的度数为 ．
【例33】如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为3，，求的长．
【例34】如图，为的直径，是的切线，，为的中点，在上，，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
巩固训练
31．如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
32．如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
33．如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
题型十一 正多边形与圆
【例35】．半径为的圆内接正六角形的边长是（ ）
A．B．C．D．
【例36】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【例37】如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为 ．
巩固训练
34．若正六边形的边长为，则其外接圆的半径为 ．
35．如图，延长正五边形各边，使得，若，则的度数为 ．
36．若一正方形的外接圆的半径是3，则这个正方形的边长是 ．
37．如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．
题型十二 弧长与扇形面积
【例38】如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）
【例39】如图是一副制作弯形管道的示意图，工人师傅需要先按中心线计算“展直长度”再施工，半径，，则这段管道的长为 ．
【例40】孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
巩固训练
38．年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为米，圆心角都为，则这“”型圆弧堤坝的长为 米．（结果保留）
39．如图所示，将三角尺的一个顶点与量角器的中心O重合，斜边与半圆交于点A，顶点B在量角器的半圆上，已知，则扇形的面积与弧的比 ．
40．如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
41．如图，分别以的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在内的三段弧长度之和为（ ）
A．3πB．2πC．πD．
题型十三 圆锥的侧面积
【例41】用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A． B． C．D．
【例42】如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于（ ）．
A．B．C．D．
【例43】如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．
【例44】若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ．
巩固训练
42．已知圆锥的底面圆的半径为，侧面积为，则这个圆锥的高为 ．
43．已知圆锥的底面半径为5，母线长为10，则此圆锥侧面展开图的面积是 ．
44．某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
45．若圆锥的底面直径为6cm，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为 ．
46．已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 ．
47．已知圆锥底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则母线长为 ．
理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系。探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系。
探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系。
了解切线的概念与性质，会判断一条直线是否为圆的切线。
会计算弧长和扇形面积，了解圆锥的侧面展开图，会计算圆锥的侧面积和全面积。
一、圆的相关概念
1、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（在大小不等的两个圆中，不存在等弧）
2、点和圆的位置关系的确定：如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆内↔d
4、定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
二、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
垂径定理及其推论可概括为：一条直线
三、确定圆的条件
不在同一条直线上的三点确定一个圆．（作垂直平分线找圆心）
四、圆周角定理
一个定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等
两个推论：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
圆内接四边形的对角互补．
五、直线与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交
2、直线与圆的位置关系的确定：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
相交↔d
相离↔d>r
六、切线的性质及判定
1、切线的性质：见切字，连半径，标垂直
2、切线的判定：有切点，连半径，证垂直（绝大多数）
无切点，作垂直，证半径
七、外接圆和内切圆
1、在⊙O上任取三点A、B、C，分别连结AB、BC、CA，则⊙O叫做△ABC的外接圆，O点叫做△ABC的外心，它是△ABC三条中垂线的交点．点O到三角形三个顶点的距离相等．
2、如果⊙I与△ABC的三边相切，则⊙I叫做△ABC的内切圆，圆心I叫做△ABC的内心．△ABC的内心就是△ABC三条内角平分线的交点．点I到三角形三边的距离相等．
3、锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心是斜边中点．而它们的内心均在三角形内部．
4、切线长的定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
八、弧长及扇形面积
弧长： 扇形面积：
九、圆锥的侧面积
1、圆锥侧面展开图扇形的半径=圆锥的母线
圆锥侧面展开图扇形的弧长=圆锥底面周长
2、圆锥侧面积：
圆锥的全面积：
3、圆锥侧面展开图圆心角n：
题型一 圆基础概念的辨析
【例1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．圆D．等腰三角形
【例2】下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦B．同圆中，所有的半径都相等
C．长度相等的弧是等弧D．圆既是轴对称图形又是中心对称
【例3】如图，是的直径，为圆外一点，则下列说法正确的是（ ）
A．是圆心角 B．是的弦C．是圆周角D．
巩固训练
1．下列语句中，正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B．三点确定一个圆
C．三角形的外心到三角形的三边距离相等
D．长度相等的两条弧是等弧
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧．
A．B．C．D．
3．下列图形对称轴条数最多的是（ ）
A．圆B．长方形C．等腰三角形D．线段
题型二 判断点与圆之间的位置关系
【例4】已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上C．点P在外D．无法判断
【例5】矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点，均在圆外B．点在圆外，点在圆内
C．点在圆内，点在圆外D．点，均在圆内
【例6】在坐标系中，以为圆心，5为半径的与点的位置关系是：点在 （填“内”、“上”或“外”）．
巩固训练
4．如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为），有个点，，，，，，以为圆心，为半径作圆，则在外的点是（ ）
A． B． C． D．
5．已知的半径为3，，则点A在（ ）
A．内B．上C．外D．无法确定
6．已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在 ．
题型三 根据点与圆的位置关系求半径
【例7】已知点到上各点的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ．
【例8】已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为 ．
【例9】如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为3，与相交，且点B在外，那么的半径长r可能是（ ）
A．r＝1B．r＝3C．r＝5D．r＝7
【例10】如图，在网格中（每个小正方形的边长均为个单位长度）选取个格点（格线的交点称为格点）．如果以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有个在圆内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
巩固训练
7．如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（ ）
A．3B．4或6C．2或3D．6
9．已知点 到 上所有点的距离中，最大距离为 厘米，最小距离为 厘米，那么 的半径长等于 厘米．
题型四 利用垂径定理求值
【例11】如图，是的直径，弦于点E，若，，则线段的长为（ ）．
A．4B．6C．8D．9
【例12】已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例13】如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【例14】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．
(1)求的长；
(2)若大圆半径为，求小圆的半径．
巩固训练
10．如图，的半径为5，，是弦上的一个动点（不与点，重合），则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在中，是的弦，于点，求半径的长．
13．如图，的直径，是的弦，，垂足为，，求的长．
题型五 平行弦问题
【例15】如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
【例16】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ．
【例17】设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ．
巩固训练
14．在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm．
15．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
16．已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为 cm．
题型六 弧 弦 圆心角的关系
【例18】如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于 ．
【例19】下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；
④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【例20】如图半径将一个圆分成三个大小相同扇形，其中是的角平分线，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【例21】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
巩固训练
17．如图，是的直径，，，则的度数是 ．
-
18．已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
19．如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接，及顺次连接O，B，C，D得到四边形，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
20．下列命题中正确的是（ ）
A．圆心角相等，所对的弦相等B．长度相等的弧是等弧
C．弧是半圆D．弦的垂直平分线必经过圆心
题型七 确定圆的条件
【例22】下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例23】下列说法，错误的是（ ）
A．直径是弦B．等弧所对的圆心角相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．过三点可以确定一个圆
【例24】小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．①B．②C．③D．都不能
【例25】中，、、，则外接圆圆心坐标为 ．
巩固训练
21．下列说法中，真命题的个数是（ ）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A．1B．2C．3D．4
22．下列命题正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．相等的圆心角所对的弧相等
23．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
题型八 圆周角定理
【例26】如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若，则的度数为（ ）
A．37°B．74°C．24°D．33°
【例27】如图，四边形的外接圆为，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【例28】如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
巩固训练
24．如图，内接于，是的直径，，点是劣弧上一点，连接、，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
25．如图，中，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
26．如图，四边形是的内接四边形，若，则 ．
27．如图，内接于，连接并延长交于点，若，，则 度．
题型九 判断直线与圆的位置关系
【例29】．在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相切
C．与x轴相离，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
【例30】如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能
【例31】中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
巩固训练
28．若的直径为1，圆心O到直线l的距离是方程根，则与直线l的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相交D．相切或相交
29．在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与x轴所在直线的位置关系是 ．
30．已知的直径为，如果圆心O到直线l的距离为，那么直线l与有 个公共点．
题型十 切线的性质与判定
【例32】．如图，在中，D是边上的一点，以为直径的交于点E，连接．若与相切，，则的度数为 ．
【例33】如图，中，，以为直径的交于点，点在上，，的延长线交于点F．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为3，，求的长．
【例34】如图，为的直径，是的切线，，为的中点，在上，，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
巩固训练
31．如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
32．如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
33．如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
题型十一 正多边形与圆
【例35】．半径为的圆内接正六角形的边长是（ ）
A．B．C．D．
【例36】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【例37】如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为 ．
巩固训练
34．若正六边形的边长为，则其外接圆的半径为 ．
35．如图，延长正五边形各边，使得，若，则的度数为 ．
36．若一正方形的外接圆的半径是3，则这个正方形的边长是 ．
37．如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．
题型十二 弧长与扇形面积
【例38】如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）
【例39】如图是一副制作弯形管道的示意图，工人师傅需要先按中心线计算“展直长度”再施工，半径，，则这段管道的长为 ．
【例40】孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
巩固训练
38．年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为米，圆心角都为，则这“”型圆弧堤坝的长为 米．（结果保留）
39．如图所示，将三角尺的一个顶点与量角器的中心O重合，斜边与半圆交于点A，顶点B在量角器的半圆上，已知，则扇形的面积与弧的比 ．
40．如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得，，，则种草区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
41．如图，分别以的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在内的三段弧长度之和为（ ）
A．3πB．2πC．πD．
题型十三 圆锥的侧面积
【例41】用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ）
A． B． C．D．
【例42】如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于（ ）．
A．B．C．D．
【例43】如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 ．
【例44】若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ．
巩固训练
42．已知圆锥的底面圆的半径为，侧面积为，则这个圆锥的高为 ．
43．已知圆锥的底面半径为5，母线长为10，则此圆锥侧面展开图的面积是 ．
44．某个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为 cm．
45．若圆锥的底面直径为6cm，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为 ．
46．已知一个圆锥的底面圆半径是2，母线长是6，则圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是 ．
47．已知圆锥底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则母线长为 ．
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