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2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题38等比数列及其前n项和(学生版)
展开这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题38等比数列及其前n项和(学生版),共7页。试卷主要包含了【知识梳理】,【题型归类】,【培优训练】,【强化测试】等内容,欢迎下载使用。
【考纲要求】
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
【考点预测】
1.等比数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为eq \f(an+1,an)=q(n∈N*,q为非零常数).
(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:
Sn=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1,q=1,,\f(a11-qn,1-q)=\f(a1-anq,1-q),q≠1.))
3.等比数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*).
(2)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q=2k,则am·an=ap·aq=aeq \\al(2,k).
(3)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列(m为偶数且q=-1除外).
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0,,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1<0,,0
若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0,,01,))则等比数列{an}递减.
【常用结论】
1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{aeq \\al(2,n)},eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an))),{an·bn},eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比数列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列,通常设为eq \f(x,q),x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为eq \f(x,q3),eq \f(x,q),xq,xq3.
【方法技巧】
1.等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=eq \f(a11-qn,1-q)=eq \f(a1-anq,1-q).
3.等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法:若eq \f(an+1,an)=q(q为非零常数,n∈N*)或eq \f(an,an-1)=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且aeq \\al(2,n+1)=an·an+2(n∈N*),则{an}是等比数列.
(3)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则 {an}是等比数列.
4.等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形,根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.巧用性质,减少运算量,在解题中非常重要.
二、【题型归类】
【题型一】等比数列基本量的运算
【典例1】(多选)已知等比数列{an}的各项均为正数,且3a1,eq \f(1,2)a3,2a2成等差数列,则下列说法正确的是( )
A.a1>0 B.q>0
C.eq \f(a3,a2)=3或-1 D.eq \f(a6,a4)=9
【典例2】已知{an}是等比数列,a2=2,a5=eq \f(1,4),则公比q等于( )
A.-eq \f(1,2) B.-2 C.2 D.eq \f(1,2)
【典例3】《九章算术》中有述:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长1尺,蒲生日自半,莞生日自倍.意思是:“今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.”则当莞长高到长度是蒲的5倍时,需要经过的天数是________.(结果精确到0.1.参考数据:lg 2=0.30,lg 3=0.48)( )
A.2.9天 B.3.9天 C.4.9天 D.5.9天
【题型二】等比数列的判定与证明
【典例1】已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an.
(1)证明:数列{an+an+1}为等比数列;
(2)若a1=eq \f(1,2),a2=eq \f(3,2),求{an}的通项公式.
【典例2】Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q>0.
(1)求an及Sn;
(2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
【典例3】已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=eq \f(an,n).
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
【题型三】等比数列项的性质的应用
【典例1】已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于( )
A.40 B.60 C.32 D.50
【典例2】已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,a2+a5=4,则a8=_____.
【典例3】已知数列{an}为等比数列,且a2a6+2aeq \\al(2,4)=π,则tan(a3·a5)等于( )
A.eq \r(3) B.-eq \r(3) C.-eq \f(\r(3),3) D.±eq \r(3)
【题型四】等比数列前n项和的性质的应用
【典例1】已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.
【典例2】设等比数列{an}的前n项和为Sn,若eq \f(S6,S3)=eq \f(1,2),则eq \f(S9,S3)=________.
三、【培优训练】
【训练一】(多选)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元五世纪.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”其大意为:“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?已知1匹=4丈,1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an,bn=2an,对于数列{an},{bn},下列选项中正确的为( )
A.b10=8b5 B.{bn}是等比数列
C.a1b30=105 D.eq \f(a3+a5+a7,a2+a4+a6)=eq \f(209,193)
【训练二】(多选)已知数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足:eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i=1)) (ai+i)=2bn-2,b1=2,b2+b3是b3与b4的等差中项,数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是( )
A.数列{an-bn}是等差数列
B.Sn=2n+1-2-eq \f(n(n+1),2)
C.数列{an}是递增数列
D.eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i=1)) eq \f(1,ai)<2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,bn)))
【训练三】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且Sn=λan-1(λ为常数).若数列{bn}满足anbn=-n2+9n-20,且bn+1<bn,则满足条件的n的取值集合为________.
【训练四】已知数列{an}中,a1=1,an·an+1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n),记T2n为{an}的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出bn;
(2)求T2n.
【训练五】已知等比数列{an}的公比q>1,a1=2,且a1,a2,a3-8成等差数列,数列{anbn}的前n项和为eq \f(2n-1·3n+1,2).
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Sn,∀n∈N*,Sn≤m恒成立,求实数m的最小值.
【训练六】已知公比不为1的等比数列{an}满足a1+a3=5,且a1,a3,a2构成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,求使Sk>eq \f(23,8)成立的最大正整数k的值.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=( )
A.16 B.15 C.8 D.7
2. 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则公比q=( )
A.5 B.4
C.3 D.2
3. 设单调递增等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=10,a2a3a4=64,则正确的是( )
A.Sn=2n-1-1 B.an=2n
C.Sn+1-Sn=2n+1 D.Sn=2n-1
4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+a,则数列{aeq \\al(2,n)}的前n项和为( )
A.eq \f(9n-1,2) B.eq \f(9n-1,4)
C.eq \f(9n-1,8) D.9n-1
5. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若公比q=2,则eq \f(a1+a3+a5,S6)=( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,7)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,7)
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( )
A.24里 B.12里
C.6里 D.3里
7. 已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an=eq \f(bn+1,bn)=3,n∈N*,则数列{ban}的前10项和为( )
A.eq \f(1,2)×(310-1) B.eq \f(1,8)×(910-1)
C.eq \f(1,26)×(279-1) D.eq \f(1,26)×(2710-1)
8. 已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an=eq \f(bn+1,bn)=3,n∈N*,则数列{ban}的前10项和为( )
A.eq \f(1,2)×(310-1) B.eq \f(1,8)×(910-1)
C.eq \f(1,26)×(279-1) D.eq \f(1,26)×(2710-1)
【多选题】
9. 若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,记Sn为{an}的前n项和,则下列说法正确的是( )
A.若a1>0,0B.若a1<0,0C.若q>0,则S4+S6>2S5
D.若bn=eq \f(1,an),则{bn}是等比数列
10. 已知等比数列{an}的公比为q,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则q的值可能为( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.2 D.3
11. 数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),则有( )
A.Sn=3n-1 B.{Sn}为等比数列
C.an=2·3n-1 D.an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,n=1,,2·3n-2,n≥2))
12. 如图,已知点E是▱ABCD的边AB的中点,Fn(n∈N*)为边BC上的一列点,连接AFn交BD于Gn,点Gn(n∈N*)满足eq \(GnD,\s\up6(→))=an+1·eq \(GnA,\s\up6(→))-2(2an+3)·eq \(GnE,\s\up6(→)),其中数列{an}是首项为1的正项数列,Sn是数列{an}的前n项和,则下列结论正确的是( )
A.a3=13 B.数列{an+3}是等比数列
C.an=4n-3 D.Sn=2n+1-n-2
【填空题】
13. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则a1=________.
14. 已知{an}是等比数列,且a3a5a7a9a11=243,则a7=________;若公比q=eq \f(1,3),则a4=________.
15. 设Tn为正项等比数列{an}(公比q≠1)前n项的积,若T2 015=T2 021,则eq \f(lg3a2 019,lg3a2 021)=________.
16. 如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,……,如此继续下去得到一个树状图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为eq \f(\r(2),2),则其最小正方形的边长为________.
【解答题】
17. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
18. 已知{an}是公比为q的无穷等比数列,其前n项和为Sn,满足a3=12,________.是否存在正整数k,使得Sk>2 020?若存在,求k的最小值;若不存在,说明理由.
从①q=2,②q=eq \f(1,2),③q=-2这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
19. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=-an+n(n∈N*).
(1)求证:数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an-\f(1,2)))为等比数列;
(2)求数列{an-1}的前n项和Tn.
20. 已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.
21. 记数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+1.设bn=an+1-2an.
(1)求证:数列{bn}为等比数列;
(2)设cn=|bn-100|,Tn为数列{cn}的前n项和.求T10.
22. 已知等比数列{an}的公比q>1,a1=2,且a1,a2,a3-8成等差数列,数列{anbn}的前n项和为eq \f(2n-1·3n+1,2).
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Sn,∀n∈N*,Sn≤m恒成立,求实数m的最小值.