选择性必修 第一册2.2 直线的方程综合训练题

2.2.4　直线的方向向量与法向量

A级 必备知识基础练

1.直线l:x+2y-3=0的一个方向向量为(　　)

A.(2,-1) B.(2,1) C.(-1,2) D.(1,2)

2.经过点(1,1),且方向向量为(1,2)的直线方程是(　　)

A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0

C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=0

3.若直线l经过点A(-1,4),B(3,2),则直线l的一个法向量n=(　　)

A.(1,-2) B.(4,-2) C.(4,2) D.(1,2)

4.过点A(2,3),且法向量为向量a=(2,1)的直线方程为(　　)

A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0

C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0

5.已知点P(2,3),Q(5,t)在直线l上,且直线l的一个方向向量是v=(1,2),则t=　　　　　. 

6.若直线l的倾斜角为,则直线l的一个方向向量d可以是　　　　　(只需填写一个). 

7.已知直线m的一个方向向量为v=(3,),直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍.求当直线l分别满足下列条件时直线l的点斜式方程.

(1)过点P(3,-4);

(2)与y轴的交点为(0,-3).

B级 关键能力提升练

8.已知直线l:mx+2y+6=0,且向量(1-m,1)是直线l的一个方向向量,则实数m的值为(　　)

A.-1 B.1

C.2 D.-1或2

9.(多选题)下列说法正确的是(　　)

A.若直线的一个方向向量为d=(u,v),则直线l的斜率为

B.若直线的斜率为,则直线l的一个方向向量为d=(u,v)

C.若直线的斜率为k,则直线l的一个方向向量为d=(k,k2)

D.若直线的一个方向向量为d=(u,v),则直线的一个法向量为t=(-v,u)

10.(多选题)已知直线l的一个方向向量为u=,且直线l经过点(1,-2),则下列结论正确的是(　　)

A.直线l的倾斜角等于120°

B.直线l与x轴的交点坐标为

C.直线l与直线y=x+2垂直

D.直线l与直线y=-x+2平行

11.已知△ABC的顶点C的坐标为(1,1),AC所在直线的方向向量为(1,2),AC边上的中线所在的直线方程为x+y-1=0,则点A的坐标为(　　)

A. 

B.

C. 

D.

12.若一条直线的斜率为k,则该直线的一个方向向量是　　　　　,一个法向量是　. 

13.已知两条直线l1:ax-2y-3=0,l2:4x+6y-3=0,若直线l1的一个法向量恰为直线l2的一个方向向量,则a=　　　　　. 

14.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(4,-1),C(6,5).求:

(1)AB边所在直线的一个方向向量与一个法向量;

(2)AB边的中垂线的一般式方程.

15.已知直线l:(a2-2a+4)x-ay-3=0.

(1)若直线l过点A(1,0),试写出直线l的一个方向向量;

(2)若实数a≠0,求直线l斜率的取值范围.

C级 学科素养创新练

16.(多选题)已知经过坐标平面内A(1,2),B(-2,2m-1)两点的直线的方向向量为(1,sin α),则实数m的值可以为(　　)

A.-1 B.0 C.2 D.3

2.2.4　直线的方向向量与法向量

1.A　由题知,直线l的斜率为k=,设直线l的方向向量为(x,y),则,只有A项满足.

2.A　∵直线的方向向量为(1,2),∴直线的斜率k=2.∴直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选A.

3.D　因为A(-1,4),B(3,2),所以=(4,-2).

若n=(1,-2),则·n=4+4=8≠0,不满足;

若n=(4,-2),则·n=16+4=20≠0,不满足;

若n=(4,2),则·n=16-4=12≠0,不满足;

若n=(1,2),则·n=4-4=0,满足.

故选D.

4.A　设P(x,y)是所求直线上除点A外任一点,则⊥a,

∵=(x-2,y-3),∴2(x-2)+(y-3)=0,即2x+y-7=0.经检验,点A在直线2x+y-7=0上,故直线方程为2x+y-7=0.

5.9　由直线l的一个方向向量是v=(1,2),可知直线l的斜率为k=2,因此=2,解得t=9.

6.(1,-1)(答案不唯一)　设直线l的一个方向向量d=(x,y),因为直线l的倾斜角为,所以直线l的斜率k=tan=-1,故=-1.

令x=1,则y=-1,故方向向量d可以是(1,-1).

7.解(1)∵直线m的一个方向向量为v=(3,),

∴直线m的斜率为,则直线m的倾斜角为30°,

则直线l的倾斜角为60°,即直线l的斜率为tan60°=.

∵直线l过点P(3,-4),

∴直线l的点斜式方程为y-(-4)=(x-3).

(2)由(1)知直线l的斜率为.

∵直线l与y轴的交点为(0,-3),

∴直线l的点斜式方程为y-(-3)=(x-0).

8.D　由题可得,=-,解得m=-1或m=2.

9.BD　当u=0时,斜率不存在,故A错误;由方向向量与斜率的关系,可知B正确;

当k=0时,方向向量为零向量,故C错误;

由于d·t=-uv+uv=0,故D正确.

故选BD.

10.AD　因为直线l的一个方向向量为u=,所以直线l的斜率k==-,则得直线l的倾斜角为120°,故A正确;

直线l的方程为y+2=-(x-1),当y=0时,x=1-,即直线l与x轴交于点,故B不正确;

直线y=x+2的一个法向量为(,-1),则+(-1)×=-1≠0,即直线l与直线y=x+2不垂直,故C不正确;

直线y=-x+2的斜率为-,直线l的斜率为-,且两条直线在y轴上的截距不相等,则直线l与直线y=-x+2平行,故D正确.

11.A　设点A的坐标为(x0,y0),AC所在直线的方向向量为(1,2),则AC所在直线的斜率k=,即1×(1-y0)-2(1-x0)=0,整理得y0=2x0-1.

所以A(x0,2x0-1),则线段AC的中点坐标为.

因为AC边上的中线所在的直线方程为x+y-1=0,则线段AC的中点在直线x+y-1=0上,即+x0-1=0,解得x0=,所以点A的坐标为.

12.(1,k)　(k,-1)(答案不唯一)　因为直线的斜率为k,所以它的一个方向向量为(1,k),设直线的一个法向量为(x,y),则(x,y)·(1,k)=x+ky=0,不妨取x=k,y=-1,则它的一个法向量是(k,-1).

13.3　因为直线l1:ax-2y-3=0的一个法向量恰为直线l2:4x+6y-3=0的一个方向向量,所以l1⊥l2.直线l1的一个法向量为(a,-2),直线l2的一个法向量为(4,6),所以a×4+(-2)×6=0,解得a=3.

14.解(1)由A(1,2),B(4,-1)知,AB边所在直线的一个方向向量是=(3,-3).

故AB边所在直线的一个法向量为(3,3).(答案不唯一)

(2)设线段AB的中点为M,则点M.

设AB边的中垂线的一个方向向量为d,则d⊥.

因为=(3,-3),所以取d=(1,1),则中垂线斜率为k=1,则可得中垂线的方程为y-=1×.

整理得AB边的中垂线的一般式方程是x-y-2=0.

15.解(1)把A(1,0)的坐标代入直线l的方程得a2-2a+1=0,解得a=1,此时直线l的方程为3x-y-3=0,故直线l的一个方向向量为(1,3).(答案不唯一)

(2)设直线l的斜率为k,因为a≠0,所以直线l的斜率k==a+-2,所以当a>0时,k=a+-2≥2-2=2,当且仅当a=2时,等号成立;

当a<0时,k=--2≤-2-2=-6,当且仅当a=-2时,等号成立.

综上,直线l斜率的取值范围为(-∞,-6]∪[2,+∞).

16.BCD　由题意知直线的斜率一定存在,设直线AB的斜率为k,由A(1,2),B(-2,2m-1)两点知k=,由直线的方向向量为(1,sinα),可得k=sinα.

因为-1≤sinα≤1,所以k∈[-1,1],即-1≤≤1,解得0≤m≤3.则实数m的值可以为0,2,3,故选BCD.