九年级上册数学第22章 二次函数专题07 二次函数与将军饮马问题

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（一）什么是将军饮马？
【问题引入】
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【思路概述】
作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．
（二）将军饮马模型系列
1.【一定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
2.【两定两动之点点】
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
3.【一定两动之点线】
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
（三）将军饮马模型拓展
1.【将军过桥】
已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．
【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】
2.【将军过两个桥】
已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．
AP平移至A’Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为A’Q+QM+MB’．
当A’、Q、M、B’共线时，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次确定P、N位置．
3.【将军遛马】
如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？
【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？
【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．
构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．
直击中考
1．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
2．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求CP+PQ+QB的最小值；
(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．
3．（2021·湖南湘西·统考中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2021·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点F的坐标及的最小值；
（3）连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2021·湖北荆门·统考中考真题）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点，点Q为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的最小值；
（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记与的面积分别为，，设，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
6．（2020·贵州遵义·统考一模）已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使以、、为顶点的三角形为直角三形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与探究：
已知：二次函数的图象的顶点为，与轴交于，A两点，与轴交于点，如图：
(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2022春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，已知抛物线（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
(1)若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
9．（2022·辽宁沈阳·沈阳市第七中学校考模拟预测）如图，抛物线经过点和点，且与轴交于点．
(1)分别求抛物线和直线的解析式；
(2)在轴上有一动点，抛物线上有一动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值．
10．（2022春·天津河北·九年级天津五十七中校考期末）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线经过A，两点，且与直线DC交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式：
(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求的最小值；
(3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022·湖南长沙·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（O，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连接BC、BE、CE．
(1)求抛物线的表达式；
(2)判断△BCE的形状，并说明理由；
(3)如图2，点F为线段BE的中点，点P，Q分别为x轴，y轴上的动点，当四边形EFPQ的周长取最小值时，求P，Q两点的坐标．
12．（2022春·福建福州·九年级校考阶段练习）已知二次函数当时，有最小值，且当时其图象与轴相交于，，（A在左侧）与轴交于．
(1)求二次函数表达式；
(2)动点在该函数的对称轴上，当周长最小时，求点的坐标；
(3)动点在线段上，过点作轴的垂线交抛物线于，当线段最长时，求点坐标．
13．（天津市河北区2022-2023学年九年级上学期期末线上质量检测数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且，直线AB与抛物线在第一象限交于点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)直线的函数解析式为______，点M的坐标为______，连接，若过点O的直线交线段于点P，将的面积分成的两部分，则点P的坐标为______；
(3)在y轴上找一点Q，使得的周长最小，则点Q的坐标为______
14．（2022春·山东德州·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴1上是否存在一点M，使MA+MC的值最小？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点D是抛物线上的一点，且位于直线BC上方，连接CD、BD、AC，当四边形ABDC的面积有最大值时，求点D的坐标及四边形ABDC的面积．
15．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰△ABC底边BC上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，已知直线AB的解析式为y=x+2
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，当线段EN的长度最大时，求PE+PM的最小值．
(3)点H是射线BA上的一个动点，过点D作DH的垂线交射线AC于点G，过点G作OC的垂线交抛物线于点F，直接写出H点坐标为何值时， CG的长为，并写出此时点F的坐标．
16．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作轴于点H，过点A作交DH的延长线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段AE上找一点M，在线段DE上找一点N，求的周长最小值；
(3)在（2）问的条件下，将得到的沿射线AE平移得到，记在平移过程中，在抛物线上是否存在这样的点Q，使、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出平移的距离；若不存在，说明理由．
17．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数
(1)直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标；
(2)若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得的周长最小？若存在，求出的周长；若不存在，请说明理由．
18．（2022春·山东东营·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与轴相交于A，两点（点在A点右侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式和A，两点的坐标；
(2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值以及此时点的坐标．
(3)在（2）的条件下，在对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标．
19．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，抛物线与x轴交于A (-3，0)、B (4，0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH，直接写出△ACH周长的最小值为 ；
(3)若点G是第四象限抛物线上的动点，求△BCG面积的最大值以及此时点G的坐标；
(4)若点M是∠BAC平分线上的一点，点N是平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N坐标．