河南省南阳市第一中学校2023届高三上学期第三次阶段性测试文科数学试题

南阳一中2023届高三第三次阶段性测试

文数试题

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.）

1.已知i为虚数单位，复数z满足，则的值为（    ）

A. B. C. D.4

2.若，，则（    ）

A. B. C. D.

3.下列说法错误的是（    ）

A.若命题P：，，则：，

B.“”是“”的必要不充分条件

C.若命题“”为真命题，则命题p与命题q中至少有一个是真命题

D.“若，则a，b中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题

4.已知在中，，，，，P在上，，则的值为（    ）

A. B. C.4 D.6

5.若正项数列满足，，则

A. B. C. D.

6.三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

7.已知函数，，的解析式是由函数和的解析式组合而成，函数部分图象如下图所示，则解析式可能为（    ）

A. B. C. D.

8.已知函数则（    ）

A.是奇函数  B.函数的最小正周期为

C.曲线关于对称 D.

9.已知圆M过点、、，则圆M在点A处的切线方程为（    ）

A. B. C. D.

10.如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为（    ）

A. B. C. D.

11.在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

12.已知函数，若，则（    ）

A.为奇函数  B.在上为增函数

C.  D.

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，则此直线的方程为______.

14.圆与圆的公共弦长为______.

15.已知，且，则的最小值为______.

16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为______.

三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.记为数列的前n项和，，且（，且）.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

18.如图，在中，，，，P为内一点，.

（1）若，求；

（2）若，求.

19.在三棱锥中，，，D、E分别是棱、的中点.

（1）证明：；

（2）线段上是否存在点F，使得平面？若存在，指出点F的位置；若不存在，请说明理由.

20.已知点，，圆，直线l过点N.

（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；

（2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.

21.如图，四棱锥中，，，，，.

（1）求证：平面.

（2）求四棱锥的体积.

22.已知函数，为函数的导函数.

（1）讨论的单调性：

（2）若恒成立，求m的取值范围.

南阳一中2023届高三第三次阶段性测试

文数试题参考答案

1.C  2.B  3.C  4.C  5.B  6.A  7.A  8.D  9.A  10.B  11.B  12.C

13.或  14.  15.  16.（选填详解附后）

17.解：（1）当时，，由已知，

则，两式相减得，

即，且，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

则的通项公式为；

（2）设数列的前n项和为，

.

18.解：（1）由已知得，所以.

在中，由余弦定理得，故.

（2）设，由已知得.

在中，由正弦定理得，

化简得.所以，即.

19.解：（1）取的中点H，连接，，如图，因，，则，，而平面，平面，，于是得平面，又平面，所以.

（2）当上的点F满足时，平面，连接交于G，连接，D、E分别是、的中点，则G是的重心，有，即有，因此，

而平面，平面，所以平面.

20.（1）解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为，此时直线l与圆C相切，故符合条件；

若直线l的斜率存在，设斜率为k，其方程为，即，

由直线l与圆C相切，圆心到l的距离为1，

得，解得，所以直线l的方程为，

即，综上所述，直线l的方程为或；

（2）证明：由（1）可知，l与圆C有两个交点时，斜率存在，

此时设l的方程为，联立，

得，则，解得，

设，，则，，（1）

所以，将（1）代入上式整理得，

故为定值.

21.解：（1），，，

，，

又，平面，

平面，，

，，易知，

又，平面；

（2）如图，设交于O，则O是的中点，连接.

由（1）知，，又，，

在中，由余弦定理得：，

即，解得，

，，，，

平面，，，

由，

，

.

22.解：（1）由题可得，

①当时，时，，单调递减；

时，，单调递增；

②当时，时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增；

③当时，时，，单调递增；

④当时，时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增.

（2）由恒成立，即，，

当时，恒成立，

当时，，当时，，

令，则，

当时，，单调递减且，所以.

当时，得，时，，单调递减，

时，，单调递增；

，故.

综上，m的取值范围为.

附：选填答案：

1.C【详解】由得：，则，所以.

故选：C

2.B【详解】若，，则.

故选：B.

3.C【详解】对于A，由特称命题的否定可知：，，A正确；

对于B，当时，，无意义，充分性不成立；当时，，必要性成立；则“”是“”的必要不充分条件，B正确；

对于C，若p，q均为假命题，则，均为真命题，为真命题，C错误；

对于D，原命题的逆否命题为：若a，b都小于2，则，可知逆否命题为真命题，D正确.

故选：C.

4.C【详解】，P，C三点共线，，，，，.

故选：C

5.D【详解】设等差数列的公差为d，则；因为，所以，解得，

所以，

故选：D

6.A【详解】若E，F，D，G分别是，，，的中点，连接，，则，，直线与所成角即为或其补角，

由底面边长和侧棱长都相等且，易知：为平行四边形，

若H为中点，连接，，则且是在面上的射影，

，而，易知：为正方形，

若棱长为2，则，，

，

在中，，

直线与所成角的余弦值为.

故选：A

7.A【详解】，定义域都为R，关于原点对称，

而，

，

所以，都是奇函数，故，都是偶函数，

因为所给图象关于原点对称，是奇函数，故可排除CD；

当时，，

故排除选项B.

故选：A

8.D【详解】因为，

对于A，，，即，所以不是奇函数，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，即在处取不到最值，故不关于对称，故C错误；

对于D，，，则，，所以，即，故D正确.

故选：D.

9.A【详解】设圆M的一般方程为，

由题意可得，解得，

所以，圆M的方程为，圆心为，

直线的斜率为，

因此，圆M在点A处的切线方程为，即.

故选：A.

10.B【详解】过O作的平行线，交于E，连结，

则O到平面的距离即为E到平面的距离.

作于F，平面，所以，且，

所以平面，，

所以平面，可求得.

故选：B

11.B【详解】如图所示，分别取棱、的中点M、N，连接，连接，

M、N、E、F为所在棱的中点，，，

，又平面，平面，平面；

连接，由，，，，

可得，，则四边形为平行四边形，

则，而平面，平面，则平面.

又，平面平面.

又P是上底面内一点，且平面，点在线段上.

在中，，

同理，在中，求得，则为等腰三角形.

当P在的中点时，最小为，

当P与M或N重合时，最大为.

线段长度的取值范围是.

故选：B.

12.C【详解】因为，

所以为偶函数，故A错误；

，当时，，，所以，

当时，，，所以，所以在上单调递增，因为为偶函数，所以在上为减函数，故B错误；

因为，所以，又因为在上递增，所以，即，故C正确；

显然不一定成立，则不成立，故D错误.

故选：C

13.或

【详解】当此直线过原点时，直线在x轴上的截距和在y轴上的截距都等于0，显然成立，

所以直线斜率为且过原点，所以直线解析式为，化简得：，

当直线不过原点时，由在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍可设直线方程为，

因为直线过，所以，解得，

化简得：.

故答案为：或

14.

【详解】解：圆与圆的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，

即，因为变形为，

即圆的圆心为，半径为2，

所以，圆心到的距离，

所以，两圆的公共弦长为

故答案为：.

15.【详解】由得：，又，

则，

当且仅当，即，时取等号，

所以当，时，则取得最小值.

故答案为：.

16.

【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥.

如图，设三棱锥外接球的球心为O，连接，，

作平面，连接，延长交于点，连接，

过O作，垂足为H.

由题可知，平面平面，，

设，则，解得，则，

故该几何体外接球的表面积为.

故答案为：.