四川省仁寿第一中学南校区2024届高三理科数学上学期周考（二）试题（Word版附解析）

仁寿一中南校区2021级高三数学周考（二）理科数学

一、选择题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【详解】函数，当时，可得集合，又由集合，所以.故选：A.

2．已知向量，，且．则的值为（    ）

A． B．0 C． D．不存在

【详解】因为，，且,所以，即，即，因为，所以，所以，又，所以.

故选：C

3．实数a，b满足，则下列不等式成立的是（    ）

A．           B．           C．             D．

【详解】取,满足,但,所以A错误；取,满足,但，所以B错误；若，则,,所以C正确；取,则,所以D错误.故选:C.

4．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.根据“祖暅原理”，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【详解】据祖暅原理可知，当时，一定有成立，反之，当成立时，不一定有成立，比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B

5．已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．函数在上为增函数 B．函数的值域为

C．函数是奇函数 D．函数是偶函数

【答案】D

【解析】根据题意，函数，其定义域为，

有，所以函数是偶函数，则正确，错误，对于，，不是增函数，错误，

对于，，

设，当且仅当时等号成立，则的最小值为2，故，

即函数的值域为，，错误，故选D

6．设是等比数列，且，，则（    ）

A．8 B．-8 C．4 D．-4

【详解】设等比数列的公比为，则，解得：，，所以.

故选：B

7．已知两个平面，，及两条直线，．则下列命题错误的是（    ）

A．若，，，，则

B．若，，，则

C．若，，，，则

D．若，是异面直线，，，，，则

【详解】对于A，若，，，，根据面面垂直的性质定理可得，A正确；对于B，若，，则，又，则，B正确；对于C，若，，，，则与可以相交或平行，C错误；对于D，因为，，所以存在直线，，因为，是异面直线，所以与相交，因为，，，所以，又因为，，所以，D正确，故选：C

8．已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（    ）

A． B． C． D．

【详解】因为，可得，即，由图可知：点A为减区间的对称中心，

令，解得，取，则，即，可得，

因为点A为线段CD的中点，则，所以.故选：B.

9．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于1000的概率为（    ）

A． B． C． D．

【详解】依题意得所拨数字共有种可能，要使所拨数字大于1000，则：①上珠拨的是千位档,则所拨数字一定大于1000，有种;②上珠拨不是千位档,则再随机选择两个档位必有千分位,有种,则所拨数字大于1000的概率为.故选:D.

10．19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ）

A．±3 B．±4 C．±5 D．

【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相外切，所以，．故选：B．

11．某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（    ）（单位：万元）参考数据：

A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3

【详解】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为万元，2024年存的2万元共存了9年，本息和为万元，2032年存的2万元共存了1年，本息和为万元，所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为万元，故选：C.

12．如图，球的半径为，球面上的三个点，，的外接圆为圆，且，则三棱锥的体积最大值是（    ）

A． B． C． D．

【详解】设圆的半径为，则，又，所以，所以，又，所以，

所以，，所以

，当且仅当或时取等号，

所以三棱锥的体积最大值是.故选：A

二、填空题

13．已知复数满足，则__________.

【详解】设，，则，因为，所以，所以，

所以，即，所以.故答案为：

14．已知变量满足约束条件，则的最大值__________.

【详解】作出可行域，如图，令，可得，令，可得，设，则直线过点时，取最小值，过点时，取最大值，因此的最大值是5.故答案为:5.

15．某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，表示“抽到的2名成员都是女生”，表示“抽到的2名成员性别相同”，则__________.

【详解】由题意可知，，．故答案为：．

16．已知正项数列满足，数列满足，且对任意的恒成立，则下列结论中正确的是__________.

①

②数列从第二项起是单调递减数列

③

④

【详解】因为为正项数列，得，，，又，则，

即，由，得，所以，即，，即，则，所以，，所以为递减数列，也为递减数列，故②正确；因为，，则，又为递减数列，所以，故①正确；由，得，

令，则，当时，；当时，，又，若时，取得最大值且为；若时，取得最小值且，所以，而，

同理可得的最大值一定小于，所以，故④错误；由④可知，，故③错误．故答案为：①②．

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

(1)求角C的大小；

(2)已知，的面积为6，求的值．

【详解】（1）即，则,且，则；，

，所以，

根据余弦定理可知，,即，

根据正弦定理，，即，解得：.

18．如图，在正六棱柱中，，，分别为，的中点.

(1)证明：，，，四点共面；

(2)求平面与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）取的中点 ，连接,又 为的中点，再结合正六棱柱的性质易得： ，且,四边形为平行四边形，，又 均为对应棱的中点，，

，，，四点共面；

（2）

根据正六棱柱的性质可得： 两两相互垂直，分别以直线 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间坐标系，则根据题意可得： ,

,根据正六棱柱的性质知平面的法向量 ,设平面的法向量为,则,令，则,设平面与平面所成角平面与平面所成角的余弦值为：；所以平面 与平面所成角的正弦值为；

19．环保部门随机调查了某市2022年中100天中每天的空气质量等级和当天到江边绿道锻炼的人次，整理数据得到下表（单位天）：

若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．

(1)估计该市2022年（365天）“空气质量好”的天数（结果四舍五入保留整数）；

(2)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：．

【详解】（1）依题意可得，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，所以“空气质量好”的概率为，所以该市年（天）“空气质量好”的天数为（天）.

（2）依题意列联表如下所示：

所以，

因此没有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．

20．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，过l右侧的点P作，垂足为M，且．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)过点的动直线交轨迹C于S，T．证明：以线段为直径的圆过定点．

【详解】（1）设点，因为,所以，化简得，

所以轨迹的方程为.

（2）设直线，联立得,,

从而，于是,

.以线段为直径的圆的方程为,即，所以.由对称性知定点在轴上,令得， 于是，由的任意性,所以，解得.所以以线段为直径的圆过定点为.

21．已知函数有两个极值点．

(1)求实数a的取值范围；

(2)证明：．

【详解】（1）由题意可得有两个两侧异号的零点，又,于是.令,则,令,则，当时, ,于是,所以在上单调递减且.当时, ,在上单调递增,又,所以当时,, ,在上单调递减.当时, ,,在上单调递增.又且时,.且时,.所以，所以实数的取值范围为.

（2）因为,所以.于是，从而.

下面证明，即证明.令,即证明，即证明.令,则，当且仅当时等号成立，所以恒成立.所以在上单调递增,所以.从而，所以，于是.由（1）知,,从而.

请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4—4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线和的极坐标方程分别为和和与曲线分别相交于两点（两点异于坐标原点）.

(1)求的极坐标方程；

(2)求的面积.

【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，

整理得，根据，转换为极坐标方程为，即.

根据题意可设两点的极坐标分别为，

则，

所以.

[选修4—5：不等式选讲]

23．设函数的最大值.

（1）求；

（2）已知、、均为正实数，且，求证：.

【详解】（1）由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，；

（2）由（1）可得，，同理可得，，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，因此，.