四川省仁寿第一中学南校区2023-2024学年高三理科数学上学期第一次调研考试试题（Word版附解析）

仁寿一中南校区高2021级高三第一次调研考试

理科数学试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上.

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.

4．考试结束后，将答题卡交回.

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集，集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据分式不等式的解法和对数函数的性质，分别求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.

【详解】由不等式，可得，即集合，

由不等式，可得，即集合，

所以.

故选：C.

2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的几何意义求出复数、，结合复数的除法运算，即可求得答案.

【详解】由于复数，在复平面内对应的点分别为，，

故，

则，

故选：D

3. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有8人，则第三组中有疗效的人数为（    ）

A. 8 B. 10 C. 12 D. 18

【答案】B

【解析】

【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案.

【详解】由题可知样本总数为，
 

设第三组有疗效的人数为人，则，解得人.

故选：B.

4. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可.

【详解】由，显然在曲线上，

所以曲线在点处的切线的斜率为，

因此切线方程为：，

直线的斜率为，

因为曲线在点处的切线与直线平行，

所以，

故选：C

5. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】依题意可得，即可求出、，再根据，即可求出，从而求出双曲线方程，最后求出渐近线方程；

【详解】解：依题意，所以，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为；

故选：C

6. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫.不更.簪裹.上造.公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫.不更.簪裏.上造.公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为（       ）

A. 12 B. 23 C. 24 D. 28

【答案】D

【解析】

【分析】依题意由等差数列通项公式及其前项和公式计算即可得出答案.

【详解】根据题意可知，5人所出钱数成递增等差数列，

不妨设大夫所出的钱数为，公差为，易知，；

所以可得，解得；

因此，即公士出的钱数为28.

故选：D

7. O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据焦半径公式求点的坐标，再代入面积公式，即可求解.

【详解】设点，,所以，得，,

所以的面积.

故选：C

8. 已知正方体中，E为中点，则直线与CE所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据异面直线所成角的定义作出所求角，解三角形，即可求得答案.

【详解】连接，在正方体中，，

即四边形为平行四边形，故,

则直线与CE所成角即为直线与CE所成角，

即即为所求角或其补角；

设正方体棱长为2，连接，则，

在正方体中，平面，平面，

故，则,

又,

而异面直线所成角的范围为，

故直线与CE所成角的余弦值为，

故选：A

9. 已知定义在上函数满足，当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由得函数的周期为，再由求解即可.

【详解】由，

得，

故是以为周期函数，

则，

又当时，，则，

所以.

故选：C.

10. 如图，△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】以为基底表示出，根据可求m的值，再根据数量积的运算律计算即可．

【详解】，，

设，则，

又，，

，解得，，

．

故选：B

11. 已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前n项和，则；④若，则数列是递增数列；其中正确的个数是（       ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列及其前n项和定义与性质一一判定即可

【详解】是等比数列，设公比为，

对于①，可得，故数列是等比数列，①正确；

对于②，由等比中项的性质可知，故，②错误；

对于③，，若得，不符合等比数列的性质，③错误；

对于④，，

若，此时，即是递增数列，

若，此时，即是递增数列，

故④正确；

故选：B

12. 已知实数a，b，c满足，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由经典不等式可得，得出，结合即可判断.

【详解】设，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

，即，

所以，所以，即，

又，所以，由，所以，

所以，即，所以，所以.

故选：A.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用经典不等式可得.

第Ⅱ卷

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13. 从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为________

【答案】##0.6

【解析】

【分析】先计算出甲、乙2人都未被选中的情况，再通过互斥事件关系即可得出甲、乙2人中至少有1人被选中的概率.

【详解】6名专家随机选取2人的情况有种，其中甲、乙2人都未被选中的情况有种，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为

故答案为：

14. 已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据两圆公切线条数确定位置关系为外切，再由圆心距与半径的关系列方程求出m的值.

【详解】将圆C的方程化为标准方程：，

得圆心，半径.

圆，圆心，半径.

由题可知，两圆外切，

则有，

解得.

故答案为：.

15. 已知，则______.

【答案】##0.28

【解析】

【分析】先根据两角和的正切公式求出的值，再进行弦化切将用表示，即可求出结果.

【详解】因为，解得，

因为，

将代入得.

故答案：.

16. 已知某圆锥的内切球的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由球的体积公式求出内切球的半径，设底面半径为，结合图形利用表示母线，根据圆锥表面积公式求其表面积的解析式，利用基本不等式求其最小值.

【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，

设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，

内切球球心为，内切球切母线于，

底面半径，

则，又，

由已知为直角三角形，

又，，

所以，

所以，

所以，

故，

又，

故，

故该圆锥的表面积为，

令则，

当且仅当，即时取等号．

故答案为：.

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，．

（1）求；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）   

（2）4

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理及两角差的正弦公式可求出结果；

（2）由求出，根据正弦定理求出，再根据三角形面积公式可求出结果.

【小问1详解】

由及正弦定理得．

因为，所以．

所以．

整理得．

即．

【小问2详解】

由（1）可知，则，

所以，

由正弦定理，得，

所以，

所以的面积为．

18. 2022年2月4日，北京冬奥会盛大开幕，这是让全国人民普遍关注的体育盛事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看相关比赛．某机构将每天收看相关比赛的时间在2小时以上的人称为“冰雪运动爱好者”，否则称为“非冰雪运动爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）：

（1）将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与是否为“冰雪运动爱好者”有关？

（2）将频率视为概率，现从参与调查的女性人群中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“冰雪运动爱好者”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望和方差．

附：，其中．

【答案】（1）答案见解析；   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）直接完成列联表，套公式求出，对着参数下结论；

（2）由题意分析出，求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望和方差．

【小问1详解】

由题意进行数据分析，可得列联表如下：

所以，

所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与 “冰雪运动爱好者”有关.

【小问2详解】

由题意可得：，X的所有可能取值为：0，1，2，3.

所以；；

；.

所以X的分布列为：

从而，

19. 如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.

（1）求证：AF⊥CD；

（2）求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）通过证明面BCDE，来证得；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.

【小问1详解】

连接EC，则△ABE､△BCE､△CDE都是正三角形，四边形ABCE是菱形，

所以，，

又因为面面BCDE，面面，面ABE，

所以面BCDE，

又因为面BCDE，所以；

【小问2详解】

由（1）知FB､FC､FA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，

设平面ADE的法向量为，，

令，，

平面AFC的法向量为，

设平面AFC与平面ADE的夹角的大小为，

，

所以平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值为.

20. 已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由椭圆的离心率及点在椭圆上，列方程组求椭圆参数，即可得椭圆C的方程；

（2）讨论直线斜率的存在性，设及l为，联立椭圆方程，应用判别式求t、k的关系，结合韦达定理及已知条件求t的范围，再应用向量数量积的坐标表示得到关于t的关系式，进而其范围，注意直线斜率不存在时的值.

【小问1详解】

由题意，，又，解得．

所以椭圆C为.

【小问2详解】

设，

若直线l的斜率存在，设l为，联立，

消去y得：，，

则，又，

故且，即，则，又，

所以，

整理得，则且恒成立．

，

又，且，故.

当直线l的斜率不存在时，，又，又，解得，则．

综上，的取值范围为．

21. 已知函数，.

（1）求的最小值；

（2）若，且，求证：；

（3）若有两个极值点，证明：.

【答案】（1）0    （2）证明见解析   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用导数确定函数的单调性，从而即可求得最小值；

（2）由（1）知，即，由，得，即，从而，再由对数函数的性质可得，从而得证；

（3）依题意可得有两个不等正根，不妨设，由，得，设，利用导数可得，，令，由导数可得在上单调递减，结合（2）可得，令，利用导数得在上单调递减，从而得，， 即可得证.

【小问1详解】

解：函数的定义域为，，

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

所以在时取得最小值0.

【小问2详解】

证明：由（1）知，所以.

由，得且，

所以，即，从而.

所以.

【小问3详解】

证明：依题意，有两个不等正根，不妨设，

由，得.

设，由，知在上单调递增，在上单调递减.

且当时，，可得，.

，，

令，则，

当时，，所以，

当时，，所以，

所以在上单调递减.

因为，，所以，.

由（2）当时，有，

所以，即，

所以，从而.

令，

所以在上单调递减.

所以，即.

所以.

所以，.

所以.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式成立的问题，常常需要构造一个函数，利用导数求出此函数的最值，从而达到证明不等式的目的.

请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4—4：坐标系与参数方程]

22. 坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上

（Ⅰ）求的值和直线的直角坐标方程及的参数方程；

（Ⅱ）已知曲线的参数方程为，（为参数），直线与交于两点，求的值

【答案】（Ⅰ），的直角坐标方程为，的参数方程为：（Ⅱ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）将点的极坐标方程代入直线的极坐标方程可求出的值，然后将直线方程化为普通方程，确定直线的倾斜角，即可将直线的方程表示为参数方程的形式；

（Ⅱ）将曲线的参数方程表示普通方程，然后将（Ⅰ）中直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的一元二次方程，并列出韦达定理，根据的几何意义计算出

和，于是可得出

的值．

【详解】解：（Ⅰ）因为点，所以；

由得

于是的直角坐标方程为；

的参数方程为：  （t为参数）    

（Ⅱ）由： ，

将的参数方程代入得

，设该方程的两根为，由直线的参数的几何意义及曲线知，

，                     

所以．

【点睛】本题考查曲线的极坐标、参数方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义，对于这类问题的处理，一般就是将直线的参数方程与普通方程联立，借助韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题．

[选修4—5：不等式选讲]

23 已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】

（1）分类讨论，求解不等式即可；

（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.

【详解】（1）当时，等价于，

解得；

当时，等价于，恒成立，

解得；

当时，等价于，

解得；

综上所述，不等式的解集为.

（2）不等式的解集包含，

等价于在区间上恒成立，

也等价于在区间恒成立.

则只需满足：

且即可.

即，

解得.

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.