浙江省“南太湖”联盟2023-2024学年高二数学上学期第一次联考试题（Word版附解析）

2023学年第一学期“南太湖”联盟高二年级第一次联考

数学学科试题卷

本卷共4页满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合，再求两集合的并集

【详解】因为，

所以.

故选：C

2. 若复数满足，则（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】应用复数的除法求复数即可.

【详解】由题设，则.

故选：C

3. 若m，n是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列说法不正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】由线面的位置关系以及面面平行的判定定理以及面面垂直的关系逐一判断选项即可.

【详解】对于A：由线面平行的性质可知，故A正确；

对于B：垂直于同一个平面的两条直线平行，故B正确；

对于C：平面内两条相交直线分别和另一个平面平行，则两个平面平行，故C正确；

对于D：，则或或或与相交，故D错误；

故选：D

4. 如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且，点N为BC中点，则（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

【详解】因为，所以，所以，

又点N为BC中点，所以，

所以.

故选：B.

5. 如图，生活中有很多球缺状的建筑．球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件求得，，代入体积公式计算即可.

【详解】设小球缺的高为，大球缺的高为，则，①

由题意可得：，即：，②

所以由①②得：，，

所以小球缺的体积，

大球缺的体积，

所以小球缺与大球缺体积之比为.

故选：C.

6. 已知向量，，且，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得，然后根据投影向量的知识求得正确答案.

【详解】由两边平方得，

所以向量在向量方向上的投影向量为.

故选：C

7. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（       ）

A. 74m B. 60m C. 52m D. 91m

【答案】A

【解析】

【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度.

【详解】在中，，

，，

在中，，

由，，

中，.

故选：A

8. 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段PQ的最小值.

【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，设，，

所以，，

因为平面，

所以，故，

，故，

其中，

故，

故当时，，此时满足要求，

所以线段PQ的最小值为.

故选：A

二、多选题：本答题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若，，，则事件与的关系错误是（    ）

A. 事件与互斥 B. 事件与对立

C. 事件与相互独立 D. 事件与既互斥又独立

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据积事件概率不为零可确定与不互斥，不对立，可得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确.

【详解】对于ABD，，事件与不互斥，不对立，ABD错误；

对于C，，，事件与相互独立，C正确.

故选：ABD.

10. 对数函数（且）与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（    ）

A.    B.    C.    D.  

【答案】BCD

【解析】

【分析】AB选项，从对数函数出发，推出，再判断二次函数，从开口方向和其中一根与1的比较，得到A可能，B不可能；CD选项，从对数函数出发，得到，再判断二次函数，也是从开口方向和其中一根与1的比较，得到CD均不可能.

【详解】选项A，B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为0，，选项A中，由图象得，从而，选项A可能；

选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能．

选项C，D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，D不可能；

选项C中，由图象与x轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能．

故选：BCD．

11. 关于函数，下列命题是真命题的是（    ）

A. 函数的周期为

B. 直线是的一条对称轴

C. 点是的图像的一个对称中心

D. 函数的最大值为2

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意，结合辅助角公式可得，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】，

，则，故A正确；

当时，不是最值，

故直线不是的一条对称轴，故B错误；

当时，，终边落在x轴上，

故点是的图像的一个对称中心，故C正确；

函数的最大值为，故D错误.

故选：AC

12. 在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（    ）

A. 存在点，使得平面

B. 对于任意点，都有平面平面

C. 异面直线与所成角的余弦值的取值范围是

D. 若平面，则平面截该正方体截面图形的周长最大值为

【答案】AB

【解析】

【分析】利用线面平行的判定判断A；利用面面垂直的判定判断B；求出异面直线夹角的余弦范围判断C；举例说明判断D作答.

【详解】在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），

对于A，当点与重合时，由，得，有，

而平面，平面，因此平面，即平面，A正确；

对于B，由平面，平面，得，又，

平面，则平面，

而平面，因此平面平面，B正确；

对于C，由平面，平面，得，因为，

显然是锐角，则是异面直线与所成的角，而，

，C错误；

对于D，当点与重合时，与选项B同理得平面，当平面为平面时，

平面截正方体所得截面图形为矩形，其周长为，D错误.

故选：AB

三、填空题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，若向量与平行，则______．

【答案】或

【解析】

【分析】先求出和的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算即可．

详解】由，，

则，，

又向量与平行，即存在使得成立，

则有，解得或．

故答案为：或．

14. 数据的平均数是7，则这组数据的第百分位数为______．

【答案】

【解析】

【分析】先利用平均数的性质求得参数，再利用百分数位数据定义即可得解.

【详解】因为数据的平均数是7，

所以，解得，

因为，

所以这组数据的第百分位数为第位数，即.

故答案为：.

15. 若的面积为，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意利用面积公式和余弦定理可得，进而可得结果.

【详解】的面积为，则，

由余弦定理可得：，整理得，

且，所以；

故答案为:

16. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．

【答案】

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出的取值范围．

【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．

则，，，，．

，，．

点在线段上运动，

，且．

，

，

∵，∴，即，

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应给出文字说明、证明过程.

17. 已知，．

（1）求与夹角的余弦值；

（2）当时，求实数k的值．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.

（2）根据列方程，从而求得的值.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

由于，

所以，

所以，

，

解得或.

18. 习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：

并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.

（1）求的值及频率分布直方图中的值；

（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?

【答案】（1）2000，   

（2）

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，

（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解．

【小问1详解】

由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，

所以，解得.

【小问2详解】

由（1）知，

所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，

若按分层抽样抽取人，

则调查评分在有人，有人，

因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，

所以选出的人经过心理疏导后，

心理等级均达不到良好的概率为，

所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.

19. 在中，角的对边分别为.

（1）求角；

（2）若的面积为，求的周长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换化简已知条件，从而求得.

（2）利用三角形的面积求得，进而求得，根据余弦定理求得，从而求得的周长.

【小问1详解】

由得，

，

，

由正弦定理得，

，

.

【小问2详解】

的面积为，即，得，

，

，

，

由余弦定理可得，

，

三角形的周长为.

20. 已知是定义在上的奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数即可求出结果；

（2）根据的奇偶性和单调性即可求出结果.

【小问1详解】

因为为定义在上的奇函数，所以，所以．

此时，经验证，，故．

【小问2详解】

由（1）可知，

任取，

则，

因为，则，

所以

所以是上的增函数．

由恒成立，

得恒成立，

则，

所以恒成立，

因为，

所以．

实数的取值范围为：．

21. 如图，是⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，是圆周上不同于的一动点．

（1）证明：是直角三角形；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由圆的性质可得，再由平面，则，然后由面面垂直的判定可得平面，从而可得，进而可证得结论；

（2）过作于，可证得是直线与平面所成的角，在中求解即可.

【小问1详解】

证明：∵是⊙O的直径，是圆周上不同于的一动点，∴，

∵平面，平面，∴．

又，平面，

∴平面，

又平面，∴，∴是直角三角形．

【小问2详解】

解：过作于，

∵平面，平面，∴，

又，平面，∴平面，

∴是直线与平面所成的角，

在中，，

在中，，

故直线与平面所成角的正弦值为．

22. 如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=km，，∠AOB=，当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且．

（1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；

（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=，，试确定，当θ为多大时△OMN的面积最小，并求出最小面积值．

【答案】（1）km   

（2）时面积最小，最小值为

【解析】

【分析】（1）由条件根据余弦定理求得；再用余弦定理和正弦定理即可求得；

（2）利用正弦定理表示出的长，利用三角形面积公式表示出的面积，化简并结合三角函数性质求得答案.

【小问1详解】

依题意，，

在中，由余弦定理得，

，则 ,

，

在中，

，

所以在中，由正弦定理，，

得，

即点M，N之间的距离为km.

【小问2详解】

，

在中，由正弦定理得，，

所以，

在中，由正弦定理得，，

所以，

，

因为，所以，