浙江省钱塘联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 若直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. B. C. D.
3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 且
4. 在的展开式中的系数为，则（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
5. 已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，是边长为2的等边三角形，且平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（ ）
A. 144B. 288C. 576D. 720
7. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（ ）
A. 数列第16项为144B. 数列第16项为128
C. 200是数列第18项D. 200不是数列中项
8. 已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若，则是锐角
C. 已知向量组是空间一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
10. 已知抛物线，为抛物线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 过点A与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有一条
B. 动点到直线的最小距离为
C. 动点到直线的距离与到轴距离之和的最小值为1
D. 过作直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则直线斜率为1
11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点：如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列．若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是递增数列
C. 数列是等差数列D.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.
13. 已知圆上恰有3个点到双曲线一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为______．
14. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知
（1）求；
（2）求的值．
16. 已知等差数列和正项等比数列满足：，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列前项和．
17. 已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：．
18. 如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体．
（1）求这个组合体的体积；
（2）求证：平面
（3）求二面角的余弦值．
19. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“孪生”曲线，若双曲线与椭圆是“孪生”曲线，且椭圆，（分别为曲线的离心率）
（1）求双曲线的方程；
（2）设点分别为双曲线的左、右顶点，过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为
①是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在，请说明理由；
②试探究的取值范围．