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    浙江省钱塘联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题(Word版附解析)
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    浙江省钱塘联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题(Word版附解析)

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    考生须知:
    1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟.
    2.答题前,在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
    3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.
    4.考试结束后,只需上交答题纸.
    选择题部分
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
    1. 若直线,则直线的倾斜角为( )
    A. B. C. D.
    2. 已知,则该圆的圆心坐标和半径分别为( )
    A. B. C. D.
    3. 若方程表示椭圆,则实数的取值范围为( )
    A. B. C. D. 且
    4. 在的展开式中的系数为,则( )
    A. 10B. 20C. 30D. 40
    5. 已知三棱锥,是以为斜边的直角三角形,是边长为2的等边三角形,且平面,则三棱锥外接球的表面积为( )
    A. B. C. D.
    6. 已知3名教师和4名学生排成一排照相,每位教师互不相邻,且教师甲和学生乙必须相邻,一共有多少种不同的排法?( )
    A. 144B. 288C. 576D. 720
    7. 大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目,该数列从第一项起依次是,,则( )
    A. 数列第16项为144B. 数列第16项为128
    C. 200是数列第18项D. 200不是数列中项
    8. 已知抛物线,过抛物线焦点的直线交抛物线于两点,交圆于两点,其中位于第一象限,则的最小值为( )
    A. 2B. 3C. 4D. 5
    二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 关于空间向量,以下说法正确的是( )
    A. 空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
    B. 若,则是锐角
    C. 已知向量组是空间一个基底,则也是空间的一个基底
    D. 若对空间中任意一点,有,则四点共面
    10. 已知抛物线,为抛物线上的一个动点,则下列结论正确的是( )
    A. 过点A与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有一条
    B. 动点到直线的最小距离为
    C. 动点到直线的距离与到轴距离之和的最小值为1
    D. 过作直线交抛物线于两点,若线段的中点坐标为,则直线斜率为1
    11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点:如图,在横坐标为的点处作的切线,切线与轴交点的横坐标为;用代替重复上面的过程得到;一直下去,得到数列,叫作牛顿数列.若函数,且,,数列的前项和为,则下列说法正确的是( )
    A. B. 数列是递增数列
    C. 数列是等差数列D.
    非选择题部分
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 有5本不同的书,全部借给3人,每人至少1本,共有______种不同的借法.
    13. 已知圆上恰有3个点到双曲线一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率为______.
    14. 设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
    15. 已知
    (1)求;
    (2)求的值.
    16. 已知等差数列和正项等比数列满足:,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)已知数列满足,求数列前项和.
    17. 已知函数
    (1)求函数在点处的切线方程;
    (2)求证:.
    18. 如图,现有三棱锥和,其中三棱锥的棱长均为,三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形,一个面是等边三角形,现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体.
    (1)求这个组合体的体积;
    (2)求证:平面
    (3)求二面角的余弦值.
    19. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴,则称它们为“孪生”曲线,若双曲线与椭圆是“孪生”曲线,且椭圆,(分别为曲线的离心率)
    (1)求双曲线的方程;
    (2)设点分别为双曲线的左、右顶点,过点的动直线交双曲线右支于两点,若直线的斜率分别为
    ①是否存在实数,使得,若存在求出的值;若不存在,请说明理由;
    ②试探究的取值范围.
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