考点07 全等三角形的重点常考模型-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

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考点07 全等三角形的重点常考模型


1 旋转模型
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.
【常见模型】

2 三垂直全等模型
【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。
【常见模型】

3 一线三等角模型
【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.

4 手拉手模型
【模型分析】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【模型图示】

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
【常见模型】
（等腰）

（等边）
（等腰直角）
5 边边角模型（胖瘦模型）
【条件】如图，AB=AC，点P在线段BC上（P不是线段BC的中点）
胖瘦模型——两条边对应相等，一组角对应相等，两个角互补

分析：△APB与△APC并不全等
AB＝AC 2条边对应相等
AP＝AP 1个角相等 胖瘦模型
∠B＝∠C 2个角互补
∠APC＋∠APC＝180°
◎结论1：（变胖）如图，△ABQ≌△ACP,AP=AQ


◎结论2：（变瘦）如图，△ABP≌△ACQ ,AP=AQ

◎结论3：（找中间状态）如图，△ABM≌△ACM

注：其它与辅助线有关模型在考点专题06已讲

考点1 公共边模型
考点2 公共角模型
考点3 角平分线模型
考点4 垂直模型
考点5 一线三等角模型
考点6 手拉手模型
考点7 胖瘦模型

考点1 公共边模型
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C=180°．

【答案】见解析
【分析】先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,
根据,可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:AD=ED,∠A=∠BED．再根据AD=CD,等量代换可得ED=CD,根据等边对等角可得:∠DEC=∠C．
由∠BED+∠DEC=180°,可得∠A+∠C=180°．
【详解】证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD,
在△ABD和△EBD中,
,
∴△ABD≌△EBD（SAS）,
∴AD=ED,∠A=∠BED．
∵AD=CD,
∴ED=CD,
∴∠DEC=∠C．
∵∠BED+∠DEC=180°,
∴∠A+∠C=180°．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.
2．（2023秋·八年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD．

【答案】见解析
【详解】试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可．
试题解析：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD （SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD．

点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度．

考点2 公共角模型
3．（2022秋·八年级课时练习）在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由．

【答案】（1）BC⊥CE，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立
【分析】（1）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可；
（2）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，求出∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=135°即可；
（3）先证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，再求∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=45°．
【详解】解：（1）BC与CE的位置关系是BC⊥CE，理由是：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，
即∠2=∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠4=∠5，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠4=∠6=45°，
∴∠5=45°，
∴∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°，
即BC⊥CE；

（2）成立.理由是：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，
即∠2=∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=∠ACE=135°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°，
即BC⊥CE；

（3）成立
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°．

【点睛】本题考查图形变换中结论问题，等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系垂直的证法是解题关键．
4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB．

（1）如图1，求证：BC＝CD；
（2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）CG=6
【分析】（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，证明△CQD≌△CPB，即可得到答案；
（2）延长ED，让MD=ED，△AME是等边三角形，然后利用等边三角形的性质和角平分线的定义即可求得答案；
（3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，通过证明△CFK≌△HFL，得到FK=FL，又有直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，求得FK=GF，根据等腰三角形的三线合一，进一步求得∠FGH=，从求得到∠GCH=，然后在直角三角形中利用勾股定理求解即可得答案．
【详解】解：（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，如下图：

∵AC平分∠DAB，CP⊥AB，CQ⊥AD
∴CQ=CP
在四边形APCQ中，∠APC=∠AQC=
∴∠QAP+∠PCQ=
又∵∠DAB+∠DCB＝180°
∴∠PCQ=∠DCB
∴∠QCD+∠DCP=∠DCP+∠PCB
∴∠QCD=∠PCB
又∵∠CQD=∠CPB=
∴△CQD≌△CPB（ASA）
∴CD=CB
（2）延长ED，让MD=ED，如下图：

∵∠ADB＝90°
∴AD⊥ME
又∵MD=ED
∴AM=AE，ME=2DE
又∵AE=2DE
∴ME=AE=AM
∴△AME是等边三角形
∴
又∵∠ADE＝90°
∴
∵AC平分∠DAB
∴
又∵
∴
（3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，如下图：

∵在中，
∴∠HCB=
又∵折叠
∴CH=CF, ∠HCB=∠FCB=
∴∠HCF=
∴△CHF是等边三角形
∴∠CFH=∠CHF=，CF=HF
又∵在中，∠CGF=，∠GKF=
∴∠GFK=
∴∠CFH=∠GFK
∴∠CFK+∠CFG=∠CFG+∠HFL
∴∠CFK=∠HFL
又∵∠CKF=∠LHF=，CF=HF
∴△CFK≌△HFL
∴FK=FL
又∵在中，∠CGF=
∴FK=GF
∴FL=GF
∴GL=FL
又∵HL⊥GF
∴HG=HF
∴∠FGH=∠GFH
又∵∠CHF=，∠CHB=
∴∠FHB=∠CHB-∠CHF=
∴∠FGH=
∴∠CGH=∠CGF+∠FGH=
又∵∠CHG=
∴∠GCH=
∴GH=CH，△GCH是等腰直角三角形
又∵
∴
∴
在中，由勾股定理得：
∵CG＞0
∴CG=6
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，含的直角三角形性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的勾股定理等知识点，能够熟练利用化归的思想和数形结合的思想去解题，是本题的重点．


考点3 角平分线模型
5．（2023·全国·八年级专题练习）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
  
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
  
平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
  
【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12
【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；
任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案；
应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论．
【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等；
任务二：……
，
，
；
应用：延长、交于点，
  
平分，
，
，
，
在和中，

，
，
，
，
，
，
在和中，

，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．

【答案】AC+BD=AB，理由见见解析
【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得，可得AF=AC，即可求解．
【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：
在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：
∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，
∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，
，
∴（SAS），
∴∠BFE=∠D，
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE+∠D=180°，
∴∠AFE=∠C，
在△AEF和△AEC中，
，
∴（AAS），
∴AF=AC，
∵AF+BF=AB，
∴AC+BD=AB．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．

考点4 垂直模型
7．（2023·全国·八年级假期作业）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．

(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【答案】(1)，证明见解析；
(2)，，．

【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，．
如图1时，，
如图2时，，
如图3时，，（证明同理）

【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．
8．（2022秋·八年级单元测试）如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE．

(1)判断CE与BE的关系是．
(2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
【答案】(1)CE＝BE且CE⊥BE
(2)成立，理由详见解析

【分析】（1）根据已知条件即可证明，然后根据全等三角形的性质即可证明CE与BE的关系为垂直且相等；
（2）根据已知条件证明，然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到结论；
【详解】（1）解：CE＝BE且CE⊥BE，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，

∴，
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA＋∠BEA＝90°，
∴∠CED＋∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，

∴，
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA＋∠BEA＝90°，
∴∠CED＋∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握并熟练使用相关知识，并注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．

考点5 一线三等角模型
9．（2023春·山东济南·七年级山东省济南第五十六中学校考期中）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②；

(2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；

(3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．

【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
(3)

【分析】（1）①用证明即可；
②根据全等三角形的性质，得出，，进而得出；
（2）先证明，可得，，进而得出；
（3）先证明，可得，，进而得出．
【详解】（1）证明：①∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴；
②∵，
∴，，
∴．
（2）解：．
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：．
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角形全等的条件，证明．
10．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：．
应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系．
拓展：如图①中，若，梯形的面积______．

【答案】探究：证明过程见详解；应用：，理由见详解；拓展：
【分析】探究：，，可知是等腰直角三角形，，，可知，可求出，根据角角边即可求证；应用：，三点都在直线上，，可求出，可证，可得，由此即可求解；拓展：由，可知，设，则，根据梯形面积公式即可求解．
【详解】探究：证明：∵，直线经过点，于点，于点，
∴点三点都在直线上，
∴，，
∴，
在，中，
，
∴；
应用：∵，三点都在直线上，，
∴，，
∴，
在，中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
拓展：由探究可知，，，
∴，设，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，全等三角形，梯形的综合，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积计算方法是解题的关键．

考点6 手拉手模型
11．（2021春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．
(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．
  
(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．
  
(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．
  
(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．
【答案】(1)90
(2)120
(3)
(4)或

【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数；
（2）由“”可证，得，可求的度数；
（3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论；
（4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：90；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：120；
（3），
理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（4）如图4，当点D在的延长线上时，，
  
证明方法同（3）；
如图5，当点D在的延长线上时，，
  
理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
综上，或．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
12．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE．

(1)①如图1，求证：；
②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系；
(2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）①先证明，再利用证即可；②利用全等三角形的性质得到，再由即可得到结论；
（2）由已知条件可得证出，，推出，再由，即可得到．
【详解】（1）证明：①∵，
∴，即．
在和中，
。
∴．
②，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，即．
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键．

考点7 胖瘦模型
13．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
【答案】（1）；（2）（1）中结论仍然成立，见解析；（3）（1）中结论不成立， ，见解析.
【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出ODOC，同OEOC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得OF+OGOC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【详解】（1）∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC∠AOB=30°．
∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=60°，
∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°．
在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°OC，
同理：OEOC，
∴OD+OEOC；
（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°．
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得：OFOC，OGOC，
∴OF+OGOC．
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG．
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，
∴OD+OEOC；

（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣ODOC，理由如下：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°．
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得：OFOC，OGOC，
∴OF+OGOC．
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG．
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，
∴OE﹣ODOC．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
14．（2023·全国·八年级假期作业）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．

【答案】见解析.
【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．
【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．

∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．
∴CE＝CF，
∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，
∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），
∴∠ACF＝∠ECB，
∴∠ACB＝∠ECF，
∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ACB+∠AOB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.