广东省深圳市实验中学、深圳市高级中学、珠海市第一中学、北江中学、湛江市第一中学等五校2023届高三上学期11月期中联考数学试题

2023届高三·十一月·五校联考

数学科试题

命题人：广东北江中学  审题人：广东北江中学

（满分：150分。考试时间：120分钟。）

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（        ）

A．    B．    C．    D．

2.“”是“直线被圆所截得的弦长等于”的（        ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

3.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（        ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，

）

A．4.56%    B．13.59%    C．27.18%    D．31.74%

4.若函数的部分图像如图所示，，，则的解析式是（        ）

A．       B．

C．       D．

5.已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为（        ）

A．     B．     C．     D．

6.若函数有个零点a和b，则的取值范围是（        ）

A．   B．   C．   D．

7.中国空间站（天宫空间站，英文吃饭China Space Sation）是中华人民共和国建设中的一个空间站系统，预计在2022年前后建成.空间站轨道高度为400～500公里，倾角42～43度，设计寿命为10年，长期驻留3人，总重量可达180吨，以进行较大规模的空间应用.某项实验在空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过0.2，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要多少小时？（        ）（需要的小时数取整数，参考数据：，）

A．7     B．8     C．10     D．11

8.设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（        ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数，则（        ）

A．Z的虚部为3

B．

C．将Z对应的向量（O为坐标原点）绕点O逆时针旋转，得到的向量对应的复数为

D．Z的共轭复数

10.如图，在边长为2的正方体中，点E，F分别，的中点，点P为棱上的动点，则（        ）

A．在平面CBP内不存在与平面垂直的直线 B．三棱锥A-PC的体积为定值

C．平面        D．过A，F，E三点所确定的截面为梯形

11.已知直线：与：相交于点P，直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的工线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…，记点的横坐标构成数列，则（        ）

A．点

B．数列的前n项和满足：

C．数列单调递减

D．

12.已知函数满足：①，②，③，为的导函数，则下列结论一定正确的是（        ）

A．         B．

C．若，则     D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若，则             .

14.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点A在第一象限，线段AB的中点为M，其中点A的横坐标为3，，则点M到y轴的距离为             .

15.已知函数的定义域为R，且满足，，当时，，则             .

16.已知正四棱台的体积为，记侧面与底面的夹角为，且，记正四棱台的侧面积为，底面积为，且，若正四棱台所有顶点都在同一球面上，则该球的体积为             .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

（1）求角B；

（2）若，的周长为，求的面积.

18.（本小题满分12分）

在①数列为等比数列，且，；②数列的前n项和，；③数列是首项为1，公差为1的等差数列，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

已知数列各项均为正数，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为非零的等差数列，其前n项和为，，求数列的前n项和.

19.（本小题满分12分）

红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

（1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）

附：回归方程中，，

（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.

在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.

方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；

方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；

方案3：不采取防虫害措施.

20.（本小题满分12分）

三棱柱中，侧面是矩形，，.

（1）求证：面面ABC；

（2）若，，，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知点在运动过程中，总满足关系式：.

（1）点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程；

（2）设圆O：，直线l：与圆O相切且与点M的轨迹关于不同两点A，B，当且时，求弦长的取值范围.

22.（本小题满分12分）

设函数的导函数，且满足.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若恒成立，求的最大值.

2023届高三·十一月·五校联考

数学科答案及评分标准

一、单项选择题（每小题5分）.

1．【解析】集合，，则，故选C.

2．【解析】因为圆的圆心，半径.又直线被圆截得的弦长为.所以圆心C到直线的距离，

因此所以或，故选A.

3．【解析】

，故选B.

4．【解析】由图像知，故.再将代入解析式，得，所以，，又即，所以，选D.

5．【解析】∵在上的投影向量为，

∴，则，

∴与的夹角为，故选C.

6．【解析】由对数复合函数的单调性得函数在上单调递增，因为，所以函数在上，在，上，不妨设，则，所以，即，所以，

所以，当且仅当，即时等号成立，由于，所以等号不能取到，所以，所以的取值范围是

故答案为：D

7．【解析】设实验进入第二阶段至少需要小时数为，由题意，即，两边取以10为底的对数可得，即，所以，因为，，所以，所以，又，所以，即实验进入第二阶段至少需要8小时.故选：B.

8．【解析】由可知，，得

设，则，由双曲线的定义可知：.

因为平分，所以，故，

又，即有，，，

由，可得.故选C.

二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.

9．【解析】，虚部为3；z的共轭复数；；画图易得，绕点O逆时针旋转，复数为.故正确答案为ABC.

10．【解析】平面CBP即为平面，易知平面，所以存在，故A错误；为定值，故B正确；作中点G，连接GF，，由，平面，故平面，同理可证：平面，又，故平面平面，又平面所以，平面，C正确；连接，ED，有，故由，F，E所确定的截面即为平面，为梯形，故D正确.所以选BCD.

11．【解析】由题可知，，，，故A正确；设点，则，故，即有，∴，故是以1为首项，为公比的等比数列，，可得，故选项B错误；对于数列有：故数列单调递增，选项C错误；由两直线交点和点可得：，故D正确。所以选AD

12．【解析】令，则

∴在单调递增

对于A选项，因为，即，所以，A对；

对于B选项，因为，即，所以

∴，B错；

对于C选项，因为，即，所以，C对；

对于D选项，由，得

易证，所以，所以

∵

∴，即，D对

综上，正确的选项为ACD

三、填空题（每小题5分）

13．【解析】令，则，

令，则，故

14．【解析】因为，所以抛物线C：，则

所以直线l的斜率为，则直线AB：，

故把直线与抛物线进行联立得，

设，，

则，，故答案为：.

15．【解析】因为，，

所以是周期的奇函数，

因为，所以，

所以.

16．【解析】不妨设，，

又因为，

所以，则正四棱台的高为

所以正四棱台的体积为

即 ①

又因为，

所以 ②

联立①②解得：，，

设正四棱台上下底面所在圆面的半径，，

所以，，高为

设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为R，

所以，，

故或，即或，

解得，即符合题意，

所以球的体积为.

四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）

17.【解析】

（1）由正弦定理

得即，

由弦定理得，

∵

∴

（2）由余弦定理得，

∴，

因为的周长为，

得，，.

所以的面积为.

18．【解析】

（1）选①设的公比为q，

由题意知：，，又

解得，，所以.

选②时

时，符合，所以.

选③因为，所以.

（2）由题意知：，

又，且，所以.

令，则，

因此.

又，

两式相减得，

所以

19．【解析】

（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.

（2）将两边同时取自然对数，可得，

由题中的数据可得，，，

所以，

则，

所以z关于x的线性回归方程为，

故y关于x的回归方程为；

（3）用，和分别表示选择三种方案的收益.

采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即

采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，

如果发生，则收益为万，即，

同样，采用第3种方案，有

所以，，

，

.

显然，最大，所以选择方案1最佳.

20．【解析】

（1）证明：

（2）由（1），以C为坐标原点，射线CA、CB为x、y轴的正向，平面上过C且垂直于AC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由条件，，，设，

由（1），面，所以，面的法向量为.

设面的法向量为，

由，可设，

∴

∴，得，

即，得，（舍），即.

所以，存在点P满足条件，此时（即P是AC中点时）.

（其他方法酌情给分）

21．【解析】

（1）由关系式，结合椭圆的定义，

点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.

∴，，

∴点M的方程为

（2），则

设，则

，

， ①

 ②

将①代入②

22．【解析】

（1）由题意可得：

令得：

所以

得：

则切线的斜率为，又

所以切线方程为：，即

（2）化为

所以，得恒成立

令，则

①当时，，在R上单调递增，

当时，

令，得

当且时，，不合题意

②当时，，要恒成立，只需，

所以

③当时，

当时，

当时，

所以在递减，在递增

所以

只需

所以

则

令，令

则

时或（舍）

所以当时，

当时

在上单调递增，在上单调递减

所以当时，

综上可得的最大值为