2023届广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校高三上学期1月联考数学试题（解析版）

2023届广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校高三上学期1月联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式求得集合，由此求得.

【详解】，

所以，所以.

故选：B

2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的四则运算直接求得.

【详解】因为，

所以.

故选：D

3．已知，若，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】，可得，列方程计算可得答案.

【详解】，，可得

，解得

故选：A

4．“圆的圆心在第二象限”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据圆的方程、充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】“圆的圆心在第二象限”，

则，

解得，

“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

5．点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，取，则从10米变化到80米时，衰减量的增加值约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件列式求得增加值.

【详解】衰减量的增加值为：

.

故选：B

6．已知等差数列与各项均为整数的等比数列的首项分别为，且，.将数列，中所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列（重复的项只计一次），则数列的前40项和为（    ）

A．1843 B．2077 C．2380 D．2668

【答案】B

【分析】根据等差数列和等比数列的性质，列方程组，求出与，然后根据的定义，计算的前项和，可得答案.

【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，

得到，解得，，，

根据题意，，，，故，，可与一起排列，故

：，

故数列的前40项和为：

.

故选：B

7．双曲线的左、右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交双曲线的左、右两支于两点，且，则的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件，利用余弦定理列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.

【详解】圆的圆心为原点，半径为，

不妨设切线的倾斜角为，则为锐角，

，所以，

设，则，

根据双曲线的定义可知，

在三角形中，由余弦定理得：

①；

在三角形中，由余弦定理得：

②.

由①②整理得，即，

所以双曲线的离心率.

故选：C

8．已知函数，若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合的图象、一元二次方程等知识确定正确答案.

【详解】当时，，

所以在区间递增；在区间递减.

，，

当且时，，

，所以在区间递减；

在区间递增.

当时，；当时，，

，，由此画出的大致图象如下图所示，

方程①，

即，所以或，

由于方程①有个不同的实数根，，

所以或

所以或，

所以的取值范围是.

故选：A

【点睛】求解类一元二次方程的根的个数问题，关键点有两个，一个是一元二次方程的解法，主要是十字相乘法以及公式法.另一个是函数的图象，由于本题中不是基本初等函数，所以要利用导数对函数进行研究，从而画出函数的图象.

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．若，则事件相互独立与事件互斥不能同时成立

B．一组数据的平均数为4，则的值为1

C．五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，则不同的排队方法有120种

D．若随机变量，且，则

【答案】AD

【分析】根据相互独立事件、互斥事件、平均数、排列、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，若相互独立，则不互斥；若互斥，则不相互独立，所以A选项正确.

B选项，，解得，B选项错误.

C选项，五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，

则不同的排队方法有种，C选项错误.

D选项，，所以，D选项正确.

故选：AD

10．已知向量，.设函数，且函数图像的两相邻对称轴间的距离为，则 （    ）

A．

B．是函数图像的对称中心

C．函数在区间上单调递减

D．使成立的的取值区间为

【答案】ACD

【分析】化简得到.对于A：利用周期公式求出，得到.对于B：直接求出函数 的图像的对称中心，即可判断；对于C：直接求出的单减区间，即可判断；对于D：直接解不等式，即可判断.

【详解】因为向量，.函数

所以

.

对于A：因为函数图像的两相邻对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，所以，解得：，所以.

故A正确；

对于B：令，解得：，所以函数 的图像的对称中心为.所以不是函数图像的对称中心.故B错误；

对于C：要求的单减区间，只需，解得：.

当时，所以函数 的一个单调区间为.故C正确；

对于D：即为，解得：，所以，

所以不等式的解集为.故D正确.

故选：ACD

11．如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则此二双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线与互为共轭双曲线，设的离心率为，的离心率为，则（    ）

A．若，则 B．的最小值为4

C．的最小值为4 D．的最大值为

【答案】ACD

【分析】对于A：利用离心率的定义直接计算；对于B：利用基本不等式求出的最小值为，即可判断；对于C：利用基本不等式直接计算；对于D：先求出.三角换元后利用三角函数求最值.

【详解】不妨设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为，则.

由共轭双曲线的定义可得：双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为.

所以.

对于A：，即.所以，

所以.故A正确；

对于B：（当且仅当时等号成立），

所以的最小值为.故B错误；

对于C：（当且仅当时等号成立）.

所以的最小值为4.故C正确；

对于D：因为，，所以.

不妨设，则（当且仅当，即时等号成立）.故D正确.

故选：ACD

12．在棱长为1正方体中，若点为棱上的一动点，则下列说法中正确的有 （    ）

A．的最小值为

B．当为棱的中点时，则四棱锥的外接球的表面积为

C．平面与平面所成夹角取最小值时，则线段

D．若点分别为棱的中点，点为线段上的动点，则直线与平面交点的轨迹长度为

【答案】BCD

【分析】建立空间直角坐标系，利用两点距离的坐标表示求解AB，利用二面角的坐标表示求解C，由图形关系和余弦定理求解D.

【详解】建立如图所示坐标系，点为棱上的一动点，设，

选项A：因为，，

所以，，

所以，

即表示点到两定点，的距离之和，

如图所示在坐标系中关于轴的对称点为，

因为，

所以当在上时最小，最小值为，即的最小值为，A错误；

选项B：当为棱的中点时，，设球心为，正方形中心为，

因为平面，所以设，

又因为，由即解得，

所以四棱锥的外接球的半径，

所以表面积为，B正确；

选项C：由图可知平面与平面所成夹角为锐角，

因为，，设平面的法向量，

则，当时，解得，

设平面的法向量，

所以平面与平面所成夹角的余弦值，

对于二次函数，当时，最小，此时最大，最大值为，

当时解得，此时，

所以平面与平面所成夹角取最小值时，，C正确；

选项D：连接如图，

因为分别是棱的中点，所以，

则四点共面，

连接，设，连接，

则为直线与平面交点的轨迹，易得，

且，

所以，

因为 ，所以，又，

所以在中，由余弦定理可得，

所以，即直线与平面交点的轨迹长度为，D正确；

故选：BCD

【点睛】选项D，根据正方体的结构及性质，根据两平面交线的性质，确定出交点的轨迹为线段是解决本题的关键，属于中档题.

三、填空题

13．的展开式中项的系数为______________________.（用数字作答）

【答案】

【分析】由二项式展开式的通项公式求解即可

【详解】的展开式通项为，

所以，．

故所求的系数为．

故答案为：

14．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，交于两点，且满足，则_____________________.

【答案】

【分析】依次求得的坐标，根据抛物线的定义求得.

【详解】抛物线，则，准线方程为，

由于，所以是的中点，

设，而，所以，

将点坐标代入抛物线方程得，不妨设，则.

设，由于三点共线，

所以，整理得，

解得，（舍去），所以，

所以.

故答案为：

15．已知点在曲线上，该曲线过的切线交坐标轴于两点，若，则△面积的取值范围是____________________.（为坐标原点）

【答案】

【分析】根据切线方程的公式，得到切线为：，根据题意计算，，列出△面积为，再令，，利用导数讨论△面积的取值范围.

【详解】设，则，得，，

切线方程为：，设切线交轴于，交轴于，故可得

，，则△面积为：，

又，，

令，，则，

所以，时，，单调递增，

时，，单调递减，故，

时，，

所以，，则△面积的取值范围是.

故答案为：

四、双空题

16．数学家康托（）在线段上构造了一个不可数点集——康托三分集.将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列表示第次操作后余下的区间段长度.

（1）_______________；

（2）若，都有恒成立，则实数的取值范围是________________.

【答案】     ；     .

【分析】由题意直接求出，，，.归纳出数列为等比数列，求出.利用分离常数法得到.记，判断出单调性，求出最大，即可求出的取值范围.

【详解】由题意可知：，，，.

所以.

所以数列为首项，公比的等比数列，所以.

因为，都有恒成立，且，所以恒成立，只需

记，显然，.

所以.

令，即，即，解得：.

因为，所以，可以取包含以后的所有正整数，即以后递减.

而

，

所以.

综上所述：当时，最大.

所以，所以实数的取值范围是.

故答案为：；.

【点睛】求数列最值的方法：（1）利用函数单调性求出最值；（2）利用数列的性质求出最大项或最小项.

五、解答题

17．的内角的对边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若，且的面积为，求的周长.

【答案】(1)或；

(2)当时，周长为；当时，周长为；

【分析】（1）利用正弦定理和三角变换求出角；（2）利用余弦定理求出，即可求出周长.

【详解】（1）在中，由正弦定理得：，所以可化为：.

因为，所以，所以.

因为，所以或.

（2）因为的面积为，所以,即，解得：.

由余弦定理得：.

当时， 有，所以，解得：符合题意，

所以的周长为.

当时， 有，所以，解得：符合题意，

所以的周长为.

18．数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用与的关系，得到，利用等比数列通项公式，可求得；

（2）根据等差数列的性质，得到，进而求出，

最后利用错位相消求和法进行计算，可得答案.

【详解】（1）时，；

时，，

，作差得，整理得，，故为等比数列，

（2）由（1）得，，，

在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，

得，，

，设为数列的前项和，

，

，

作差得，

，

19．如图1，四边形为边长为4的菱形，，为的中点将沿翻折至位置（如图2），使二面角为.

(1)求四棱锥的体积；

(2)是线段上一点，记平面与平面所成的角为.当取得最小值时，求线段的长度.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，证明出为四棱锥的高，即可求出四棱锥的体积；（2）过作，以分别为轴正方向，建立空间坐标系，用向量法求解.

【详解】（1）

因为四边形为边长为4的菱形，，

所以,

所以为等边三角形.

因为为的中点，所以.

将沿翻折至位置（如图2），所以

所以即为二面角的平面角，所以.

因为为的中点，所以，所以为等边三角形.

取的中点，连接，则.

因为面，面，所以面.

因为面，所以面面.

因为，所以面.

即为四棱锥的高.

因为菱形的边长为4，所以.

在等边中，，.

在等边中，.

在四棱锥中，底面积，高，

所以体积.

（2）过作，则面.

可以以分别为轴正方向，建立空间坐标系，则，所以，,

因为面面，面面, ,

所以 面，所以为面的一个法向量.

不妨设为面的一个法向量，则.

设，则.

由图知：平面与平面所成的角为为锐角，所以

因为余弦函数在上为减函数，所以只需取得最小值，只需最大，只需最小.

因为，所以时，最小.

此时，重合，所以.

20．2020年，一场突如其来的新型冠状病毒疫情席卷全球，时至今日，仍影响着人们的生产生活，为快速箭查出阳性患者，需按如下方案进行核酸检测：随机将10人分成一组，将10人样本混合后检测.若混合样本呈阴性，说明10人全部阴性；若混合样本呈阳性，说明其中至少一人呈阳性，则必须对这10人进行单人单检.

假设携带病毒（阳性）的人在人群中的占比为，且每个人是否携带病毒相互独立.

(1)现有10份单人单检的样本，其中有2份为阳性.求恰好经过3次检测就排查出所有阳性样本的概率.

(2)请结合离散型随机变量及其分布列的有关知识，计算当值在什么范围时，上述核酸检测方案优于单人单检方案.（参考数据：）

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）分析试验过程，利用独立重复实验的概率公式即可求解；（2）计算出10人混采次数的数学期望，建立不等式，即可解得.

【详解】（1）记事件A：恰好经过3次检测就排查出所有阳性样本.所以需要第三次检测是阳性，前两次中有一次是阳性.

.

即恰好经过3次检测就排查出所有阳性样本的概率为.

（2）有10人参加核酸检测.

若采用单人单检方案，10人需要采集10次；

若采用上述核酸检测方案，检测次数为，则的可能取值为1，11.

其中，.

所以

要使上述核酸检测方案优于单人单检方案，只需，

整理化简得：，解得：.

因为，所以，

所以，所以.

综上所述：当时，上述核酸检测方案优于单人单检方案

21．如图，是椭圆上关于原点对称的两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为.

(1)当点与的右焦点重合时，求面积的最大值；

(2)已知点在上，从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立：

①三点共线；②；③.

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据题意，求出，得到，点到直线的距离为，，令，利用导数的性质，得到面积的最大值.

（2）三点共线，可得，而，可得，整理得到

，对于椭圆，整理得，，满足，也满足，作差得，最后得到，可由①和②，计算得到③.

【详解】（1）设椭圆的焦距为，，，当点与的右焦点重合时，可得，在第一象限，，又由是椭圆上关于原点对称的两点，得到，，点到直线的距离为，

故，设，，

求导得,时，，单调递增；

时，，单调递减；

故，

故面积的最大值为.

（2）

选①和②：①三点共线；②；

设，，，则，

直线为：，三点共线，在直线上，

可得， 而此时，

，，,

，

整理得，，

，

整理得，和，

得到，化简得，，

整理得，，最后得到，

，得到，，

又椭圆，整理得，，

满足，也满足，

作差得，

，得.

所以，可由①三点共线和②，得到③.

22．对于函数和，若存在满足，，则称和为一组“矩形函数”

(1)判断与是否为一组“矩形函数”，并说明理由；

(2)若与为一组“矩形函数”，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）令，，得到，可判断与是一组“矩形函数”

（2）题设中的多元方程可转化为在上有两个不等的实数根，换元后即为在上有两个不等的实数根，利用导数和零点存在定理可求参数的取值范围.

【详解】（1）由已知得，令，，，，

满足，故与是一组“矩形函数”

（2）与为一组“矩形函数”，必有

，即，故，

令，则，

若，则，这与题设矛盾，故，

故，即在上有两个不等的实数根，

整理得到：在上有两个不等的实数根，

令，则且，

故在上有两个不等的实数根，

设，则，

因为在上有两个不等的实数根，故在上有零点，

设，则，

若，则即在上单调递增，故，

这与在上有零点矛盾，故舍；

若，则当时，；

当时，，故在上递减，在上递增，

故，故，

此时，

故在存在唯一的零点，且，且.

又当时，；当时，，

故在上递增，在上递减，

此时，而，，

故，其中.

设，则，

故在为减函数，故即，

而（由可得），

当时，，

由零点存在定理可得此时在至少有两个零点，

综上，.

【点睛】思路点睛：导数背景下的多变量的方程问题，应该根据方程的特征合理消元，从而把多元问题转化为一元方程的解的问题，后者可通过导数与零点存在定理来处理，注意再处理的过程中需要多次构建新函数帮助讨论导数零点的存在性及其范围.