2014年山东省菏泽市中考数学试卷与答案

2014年山东省菏泽市中考数学试卷

一、   选择题（本大共8小题，每小题3分，共24分）

1．比﹣1大的数是（　　）

　 A．﹣3 B．﹣   C．0 D．﹣1

2．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，

边BC与直线n所夹的角为25°，则∠α的度数为（　　）

　 A．25° B．45° C．35° D．30°

3．下列计算中，正确的是（　　）

　 A．a3•a2=a6 B．（π﹣3.14）0=1    C．（）﹣1=﹣3   D．=±3

4．2014年4月8日我市区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：

该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是（　　）

　 A．0.15和0.14   B．0.18和0.15   C．0.18和0.14     D．0.15和0.15

5．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图为（　　）

A．  B．  C．  D．

6．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）

　 A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2

7．若点M（x，y）满足（x+y）2=x2+y2﹣2，则点M所在象限是（　　）

　 A．第一象限或第三象限 B． 第二象限或第四象限　 C．第一象限或第二象限 D． 不能确定

8．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（　　）

A．  B．  C． D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

9．2014年“原创新春祝福微博大赛”作品充满了对马年的浓浓祝福，主办方共收到原创祝福电信作品62800条，将62800用科学记数法表示为　      　．

10．如图，在△ABC中∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为　    　．

11．分解因式：2x3﹣4x2+2x=               　．

12．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=　         　．

13．如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为　                 ．

14．下面是一个某种规律排列的数阵：

根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是　          　（用含n的代数式表示）

三、解答题（共大题共7小题，共78分）

15．（12分）（1）计算：2﹣1﹣3tan30°+（2﹣）0+

（2）解不等式组，并判断x=是否为该不等式组的解．

16．（12分）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．

（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．

17．（14分）（1）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点B（2，1）．

①求m的值和一次函数的解析式；

②结合图象直接写出：当x＞0时，不等式kx+b＞的解集．

18．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；若=，求cos∠ABC的值．

19．（10分）李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）李老师一共调查了多少名同学？

（2）C类女生有　    　名，D类男生有　    　名，将上面条形统计图补充完整；

（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

20．（10分）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连结MN．

（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．

（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．

21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9．

（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；

（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（0，﹣5），求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2014年山东省菏泽市中考数学试卷参考答案

1． C．2． C．3． B．4． D．5． B．6． A．7． B．8． A．

9．  6.28×104．10. 50°．11． 2x（x﹣1）2．3﹣．13． y=﹣．14． ．

15．解：（1）原式=﹣3×+1+2=+；

（2），

由①得，x＞﹣3，

由②得，x≤1，

故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，

∵＞1，∴x=不是该不等式组的解．

16．解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，

∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，

∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE==2.5．

（2）原式==

∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，原式=

17．解：（1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶，

由题意得，2x+3（100﹣x）=270，解得：x=30，100﹣x=70，

答：A饮料生产了30瓶，则B饮料生产了70瓶；

（2）①∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B（2，1），∴m=1×2=2，

∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），点B（2，1），

∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x﹣1；

②由图象可得：x＞2．

18．（1）证明：如图，连接OC．∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，

∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°．∵OD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵OC=OB，∴∠2=∠4．∴∠1=∠3．

在△COD和△AOD中，

，∴△COD≌△AOD（SAS）∴∠OCD=∠DAB=90°，

即OC⊥DE于点C．∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；

（2）解：由=，可设CE=2k（k＞0），则DE=3k，

∴AD=DC=k．

∴在Rt△DAE中，AE==2k．

∴tanE==．

∵在Rt△OCE中，tanE==．

∴=，

∴OC=OA=．

∴在Rt△AOD中，OD==k，

∴cos∠ABC=cos∠AOD==．

19．解：（1）（6+4）÷50%=20．所以李老师一共调查了20名学生．

（2）C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图

．

（3）由题意画树形图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．

所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）==．

20.解：（1）∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM=∠CDN=45°，∴∠ABM=∠ADN=135°，

∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°，在△ABM中，∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°，∴∠NAD=∠AMB，

在△ABM和△NDA中，，∴△ABM∽△NDA，∴=，

∴BM•DN=AB•AD=a2；

（2）以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．

证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF=AN，连接BF、FM，

∵∠1+∠BAN=90°，∠3+∠BAN=90°，∴∠1=∠3，

在△ABF和△AND中，，∴△ABF≌△AND（SAS），

∴BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，∵∠FAN=90°，∠MAN=45°，

∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°，

在△AFM和△ANM中，，∴△AFM≌△ANM（SAS），

∴FM=NM，∴∠FBP=180°﹣∠FBA=180°﹣135°=45°，∴∠FBP+∠FBM

=45°+45°=90°，∴△FB△是直角三角形，

∵FB=DN，FM=MN，∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．

21．解：（1）令y=0，则x2﹣2mx+m2﹣9=0，∵△=（﹣2m）2﹣4m2+36＞0，

∴无论m为何值时方程x2﹣2mx+m2﹣9=0总有两个不相等的实数根，

∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9的开口向上，顶点在x轴的下方，

∴该抛物线与x轴总有两个交点．

（2）∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与y轴交点坐标为（0，﹣5），∴﹣5=m2﹣9．

解得：m=±2．当m=﹣2，y=0时，x2+4x﹣5=0 解得：x1=﹣5，x2=1，

∵抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，

且OA＜OB），∴m=﹣2不符合题意，舍去．∴m=2．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；

（3）如图2，假设E点存在，∵MC⊥EM，CD⊥MC，

∴∠EMP=∠PCD=90°．∴∠MEP+∠MPE=90°

∵PE⊥PD，∴∠EPD=90°，∴∠MPE+∠DPC=90°。∴∠MEP=∠CPD．

在△EMP和△PCD中，

，∴△EPM≌△PDC（AAS）．∴PM=DC，EM=PC

设C（x0，y0），则D（4﹣x0，y0），P（x0，y0）．

∴2x0﹣4=﹣y0．

∵点C在抛物线y=x2﹣4x﹣5上；∴y0═x02﹣4x0﹣5  ∴2x0﹣4=﹣（x02﹣4x0﹣5）．

解得：x01=1，x02=11（舍去），∴P（1，﹣2）．∴PC=6．∴ME=PC=6．∴E（7，0）．