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浙江省金华市东阳市江北初级中学等十校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
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这是一份浙江省金华市东阳市江北初级中学等十校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省金华市东阳市江北初级中学等十校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算并化简的结果为（ ）
A．2 B． C．±2 D．±
2．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BD⊥AC
3．（3分）方程x2﹣8x+15＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A．（x﹣6）2＝1 B．（x﹣4）2＝1 C．（x﹣4）2＝31 D．（x﹣4）2＝﹣7
4．（3分）点点同学对数据26，36，36，5，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
5．（3分）已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足|x2﹣4|+＝0，则第三边的长为（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
6．（3分）如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，CE＝CF．若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．40°
7．（3分）若点（x1，﹣1），（x2，1），（x3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列各式中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x2＜x1＜x3 D．x1＜x3＜x2
8．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
9．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．270° D．540°
10．（3分）如图，△ABC是锐角三角形，E是BC的中点，AC为边向外侧作等腰三角形ABM和等腰三角形ACN．点D，F分别是底边BM，连接DE，EF（θ是锐角），则∠DEF的度数是（ ）
A．180﹣2θ B．180﹣θ C．90+2θ D．90+θ
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）已知一组数据x1，x2，x3，……x20的方差7，则2x1﹣1，2x2﹣1，......2x20﹣1的方差为 ．
13．（4分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况为 ．
14．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝2，连接CE，则CE＝ ；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，则S△CEF＝ ．
15．（4分）如图，反比例函数的图象经过菱形OABC的顶点C，过点B作y轴的垂线与反比例函数的图象相交于点D．若∠A＝60°，则点D的坐标是 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点M是边CD上的一动点，作BM的中垂线EF交AC于点F，当EF＝DM时 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）选择合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）（3x+1）2＝9（2x+3）2．
19．（6分）八（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是 队．
20．（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D
21．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
22．（10分）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2015年底拥有家庭轿车64辆
（1）若该小区2015年底到2018年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2018年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？
23．（10分）如图所示，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（x＜0）的图象分别交于点C、D，且C的坐标为（﹣1，2）
（1）分别求出直线AB与反比例函数的表达式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时y1＞y2．
24．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（15，21）的图象与边OC、AB分别交于D、E两点，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求证：OD＝BE；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积为37.5，求点M的坐标；
（3）在第（2）问的基础上，设点P是x轴上一动点，以O、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算并化简的结果为（ ）
A．2 B． C．±2 D．±
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝＝＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BD⊥AC
【分析】根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC且BC＝2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB＝∠DBE＝∠BDE，所以BE＝DE＝AE，所以AB＝2DE，所以AB＝BC，即可得出B、D选项正确．
【解答】解：∵D，E分别是边AC，
∴DE∥BC且BC＝2DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE＝AE，
∴AB＝2DE，BC＝6DE＝2BE；
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝∠EDA，故B正确；
C、∵AE＝DE，故本选项不一定成立；
D、∵AB＝BC，
∴BD⊥AC，故本选项正确．
故选：C．
【点评】本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．
3．（3分）方程x2﹣8x+15＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A．（x﹣6）2＝1 B．（x﹣4）2＝1 C．（x﹣4）2＝31 D．（x﹣4）2＝﹣7
【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2﹣8x＝﹣15，
∴x4﹣8x+16＝﹣15+16，即（x﹣4）8＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．（3分）点点同学对数据26，36，36，5，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断即可．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，与被涂污数字无关．
故选：B．
【点评】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念．
5．（3分）已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足|x2﹣4|+＝0，则第三边的长为（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
【分析】由非负数的性质求出x＝2，y＝2或y＝3，再分别由勾股定理计算即可．
【解答】解：∵|x2﹣4|+＝2
∴x2﹣4＝8，y2﹣5y+2＝0，
解得：x＝2（负值已舍去），y＝6或y＝3，
当x＝2，y＝4时＝2；
当x＝2，y＝3时、y都为直角边＝；
当x＝2，y＝3时，第三边长为＝；
综上所述，第三边的长为或，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、非负数的性质、分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（3分）如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，CE＝CF．若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．40°
【分析】根据正方形性质得出BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°，根据SAS证△BCE≌△DCF，求出∠DFC＝80°，根据等腰直角三角形性质求出∠EFC＝45°，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°，
∵在△BCE和△DCF中
，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠DFC＝∠BEC＝80°，
∵∠DCF＝90°，CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠EFD＝80°﹣45°＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是求出∠DFC的度数，主要培养学生运用性质进行推理的能力，全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的两锐角的度数是45°．
7．（3分）若点（x1，﹣1），（x2，1），（x3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列各式中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x2＜x1＜x3 D．x1＜x3＜x2
【分析】先把点（x1，﹣1），（x2，1），（x3，2），求出x1，x2，x3的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵点（x1，﹣1），（x4，1），（x3，5）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣1＝﹣，1＝﹣，
∴x1＝1，x3＝﹣1，x3＝﹣，
∴x2＜x2＜x1．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°．
故选：C．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．270° D．540°
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠1与∠E、∠F的关系，∠1、∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：如图延长AF交DC于G点，
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠1＝∠E+∠F，∠2＝∠4+∠D，
由等量代换，得∠2＝∠E+∠F+∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠B+∠2+∠C＝（5﹣2）×180°＝360°．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．
10．（3分）如图，△ABC是锐角三角形，E是BC的中点，AC为边向外侧作等腰三角形ABM和等腰三角形ACN．点D，F分别是底边BM，连接DE，EF（θ是锐角），则∠DEF的度数是（ ）
A．180﹣2θ B．180﹣θ C．90+2θ D．90+θ
【分析】连接MC交AB于点L，交EF于点I，连接BN交DE于点H，交MC于点G，可证明△AMC和△ABN，得∠AMC＝∠ABN，可推导出∠BGM＝∠BAM＝θ，由三角形的中位线定理得DE∥MC，EF∥BN，则四边形EHGI是平行四边形，所以∠DEF＝∠BGC＝180°﹣θ，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接MC交AB于点L，交EF于点I，交MC于点G，
∵∠BAM＝∠CAN＝θ，
∴∠MAC＝∠BAN＝∠BAC+θ，
∴△ABM和△ACN是分别以BM、CN为底边的等腰三角形，
∴AM＝AB，AC＝AN，
在△AMC和△ABN中，
，
∴△AMC≌△ABN（SAS），
∴∠AMC＝∠ABN，
∴∠BGM＝∠BLM﹣∠ABN＝∠BLM﹣∠AMC＝∠BAM＝θ，
∵E、D、F分别是BC、CN的中点，
∴DE∥MC，EF∥BN，
∴HE∥GI，EI∥HG，
∴四边形EHGI是平行四边形，
∴∠DEF＝∠BGC＝180°﹣∠BGM＝180°﹣θ，
故选：B．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠6．
故答案为x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（4分）已知一组数据x1，x2，x3，……x20的方差7，则2x1﹣1，2x2﹣1，......2x20﹣1的方差为 28 ．
【分析】由数据x1，x2，x3，……x20的方差7，知[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x20﹣）2]＝7，平均数＝×（x1+x2+x3+…+x20），据此可得2x1﹣1，2x2﹣1，......2x20﹣1的平均数为×（2x1﹣1+2x2﹣1+...+2x20﹣1）＝﹣1＝2﹣1，方差为×[（2x1﹣1﹣2+1）2+（2x2﹣1﹣2+1）2+…+（2x20﹣1﹣2+1）2]，进一步化简可得答案．
【解答】解：∵数据x1，x2，x2，……x20的方差7，
∴[（x4﹣）2+（x2﹣）5+…+（x20﹣）2]＝7，平均数＝1+x2+x6+…+x20），
∴2x1﹣5，2x2﹣3，......2x20﹣1的平均数为×（2x1﹣3+2x2﹣4+...+2x20﹣1）＝﹣6＝2，
方差为×[（6x1﹣1﹣8+1）2+（5x2﹣1﹣5+1）2+…+（5x20﹣1﹣2+8）2]
＝×[2（x1﹣）2+8（x2﹣）2+…+（x20﹣）4]
＝4×[（x2﹣）2+（x2﹣）3+…+（x20﹣）2]
＝4×3
＝28，
故答案为：28．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义．
13．（4分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况为 有两个不相等的实数根 ．
【分析】先计算根的判别式，再确定根的判别式与0的关系，最后得结论．
【解答】解：Δ＝a2﹣4×6×（﹣1）
＝a2+6，
∵a2≥0，
∴Δ＝a5+4＞0．
∴关于x的一元二次方程x7+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式，利用完全平方式的非负性确定根的判别式与0的关系是解决本题的关键．
14．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝2，连接CE，则CE＝ ；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，则S△CEF＝ ．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得CE，由翻折可得FG＝BF，CG＝BC＝2，∠B＝∠CGF＝∠EGF＝90°，设BF＝GF＝x，然后利用勾股定理列出方程求出x的值，再根据三角形面积公式即可解决问题．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝BC＝AD＝2，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝AD＝1，
∴CE＝＝＝，
由翻折可知：FG＝BF，CG＝BC＝2，
设BF＝GF＝x，
∴AF＝AB﹣BF＝2﹣x，EG＝CE﹣CG＝，
∵AF2+AE2＝FG2+EG2，
∴（2﹣x）2+42＝x2+（﹣2）2，
∴x＝﹣1，
∴GF＝﹣5，
∴S△CEF＝CE•FG＝﹣1）＝．
故答案为：，．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（4分）如图，反比例函数的图象经过菱形OABC的顶点C，过点B作y轴的垂线与反比例函数的图象相交于点D．若∠A＝60°，则点D的坐标是 （，2） ．
【分析】根据题意得出△AOB是等边三角形，从而表示点A的坐标为（﹣，a），根据菱形的对称性表示出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长a＝2，把y＝2代入解析式即可求得点D的横坐标．
【解答】解：设菱形OABC的边长为a，
∵∠A＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴点A的坐标为（﹣，a），
∴C（，a），
∵反比例函数的图象经过菱形OABC的顶点C，
∴•a＝，
∴a＝2（负数舍去），
∴菱形OABC的边长为2，
∴D点的纵坐标为6，
把y＝2代入得，2＝，
解得x＝，
∴点D的坐标是（，2）．
故答案为：（，2）．
【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的性质，正确表示出点A的坐标是解题的关键．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点M是边CD上的一动点，作BM的中垂线EF交AC于点F，当EF＝DM时 ．
【分析】连接BF、FM、FD，由题意可设∠FBM＝∠FMB＝x，∠FDM＝∠FMD＝y，可得∠MBC＝y﹣x，∠BMC＝180°﹣y﹣x，在Rt△BMC中，即可求出x，从而得到△BFM是等腰直角三角形，设CM＝m，在Rt△BCM中，用勾股定理即可求解．
【解答】解：连接BF、FM，如图所示，
∵EF是BM的中垂线，
∴设∠FBM＝∠FMB＝x，∠FDM＝∠FMD＝y，
则∠MBC＝y﹣x，∠BMC＝180°﹣y﹣x，
∴在Rt△BMC中，∠MBC+∠BMC＝y﹣x+180°﹣y﹣x＝90°，
解得：x＝45°，
∴△BFM是等腰直角三角形，
设CM＝m，则DM＝2﹣m，
∴BM＝2DM＝7﹣2m，
在Rt△BCM中，m2+22＝（4﹣3m）2，
解得：或（不合题意，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了几何问题，正确作出辅助线和求出△BFM是等腰直角三角形是关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先分母有理化，再利用完全平方公式计算，然后把化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣﹣
＝；
（2）原式＝2+2++3）
＝3+2﹣7﹣7
＝﹣5﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18．（6分）选择合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）（3x+1）2＝9（2x+3）2．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝6，然后用直接开平方法解方程；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为﹣3x﹣8＝0或9x+10＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣6x＝2，
x2﹣2x+4＝6，
（x﹣6）2＝6，
∴x﹣2＝±，
∴，；
（2）（3x+6）2＝9（4x+3）2
（5x+1）2﹣7（2x+3）3＝0，
[（3x+6）+3（2x+4）][（3x+1）﹣3（2x+3）]＝5，
（9x+10）（﹣3x﹣3）＝0，
∴﹣3x﹣8＝0或9x+10＝7，
∴，．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
19．（6分）八（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是 9.5 分，乙队成绩的众数是 10 分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是 乙 队．
【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；
（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；
（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，6，9，9，10，10，10，
则中位数是8.5分；
乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，
则乙队成绩的众数是10分；
故答案为：3.5，10；
（2）乙队的平均成绩是：×（10×2+8×2+6+9×3）＝6，
则方差是：×[4×（10﹣4）2+2×（5﹣9）2+（3﹣9）2+6×（9﹣9）2]＝1；
（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，
∴成绩较为整齐的是乙队；
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20．（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D
【分析】延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE＝CF，然后求解即可．
【解答】解：如图，延长BD与AC相交于点F，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADF，
∴AF＝AB，BD＝DF，
∵AB＝6，AC＝10，
∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝3，
∵E为BC中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．
21．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
【分析】（1）把一般式化成顶点式即可确定二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）根据图象与y轴和x轴的相交的特点可求出坐标；
（3）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
【解答】解：（1）∵a＝1＞0，
∴图象开口向上，
∵y＝x3﹣2x﹣3＝（x﹣7）2﹣4，
∴对称轴是直线x＝4，顶点坐标是（1；
（2）由图象与y轴相交则x＝0，代入得：y＝﹣3，
∴与y轴交点坐标是（0，﹣3）；
由图象与x轴相交则y＝8，代入得：x2﹣2x﹣6＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣1
∴与x轴的交点为（3，0）和（﹣1；
（3）∵对称轴x＝7，图象开口向上，
∴当x＞1时，y随x增大而增大．
【点评】此题考查了二次函数的性质与图象，考查了通过配方法求顶点式，求顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了根据对称轴了解二次函数的增减性及观察图象回答问题的能力．
22．（10分）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2015年底拥有家庭轿车64辆
（1）若该小区2015年底到2018年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2018年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？
【分析】（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据某小区2015年底拥有家庭轿车64辆，2017年底家庭轿车的拥有量达到100辆，列一元二次方程，求出x的值，进一步计算即可；
（2）设该小区可建室内车位a个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，列一元一次不等式组，求出x的值，即可确定建设方案．
【解答】解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意，得64（1+x）2＝100，
解得：x6＝25%，x2＝﹣2.25（舍去），
∴100×（7+25%）＝125（辆），
答：该小区到2018年底家庭轿车将达到125辆；
（2）设该小区可建室内车位a个，则露天车位个，
根据题意，得2a≤，
解得：，
∵a为整数，
∴a＝20或21，
当a＝20时，＝50（个），
此时建室内车位20个，露天车位50个；
当a＝21时，＝45（个），
此时建室内车位21个，露天车位45个；
综上所述，方案一：建室内车位20个，方案二：建室内车位21个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
23．（10分）如图所示，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（x＜0）的图象分别交于点C、D，且C的坐标为（﹣1，2）
（1）分别求出直线AB与反比例函数的表达式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时y1＞y2．
【分析】（1）根据待定系数法即可解决．
（2）利用方程组可以求出点D坐标．
（3）观察图象法即可知道答案．
【解答】（1）解：∵直线y1＝x+m与反比例函数y2＝（x＜4）的图象经过点C（﹣1，
∴2＝﹣7+m，2＝﹣k，
∴m＝3，k＝﹣8，
∴直线AB的解析式为y1＝x+3，反比例函数解析式为y3＝﹣．
（2）由解得，
∴点D坐标（﹣2，7）．
（3）由图象可知：﹣2＜x＜﹣1时，y2＞y2．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的有关知识，解题的关键是会用待定系数法求函数解析式，知道求交点坐标转化为解方程组的思想．
24．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（15，21）的图象与边OC、AB分别交于D、E两点，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求证：OD＝BE；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积为37.5，求点M的坐标；
（3）在第（2）问的基础上，设点P是x轴上一动点，以O、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）求出点D、E的坐标，即可求解；
（2）三角形ODM的面积＝×DO×m＝×15m＝37.5，解得m＝5，即可求解；
（3）分OM是边、OM是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可．
【解答】（1）证明：∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴，点B的坐标为（15，
∴AB＝21，
当x＝15时，y＝﹣，
∴点E（15，2），
∴BE＝AB﹣AE＝21﹣6＝15，
对于y＝﹣x+15，则y＝15，
∴点D（0，15），
∴OD＝15，
∴OD＝BE；
（2）解：点M是线段DE上的一个动点，则设点M（m，﹣，
三角形ODM的面积＝×DO×m＝，解得m＝5，
故点M的坐标为（5，12）；
（3）解：设点P（t，0），b）、M的坐标知＝13，
①当OM是边时，
点O向右平移5个单位向上平移12个单位得到点M，同样，
则t±5＝a且2±12＝b，
当t+5＝a且0+12＝b时，OP＝OM＝13＝|t|或，
故点Q的坐标为（18，12）或（﹣8；
当t﹣5＝a且7﹣12＝b时，OQ＝OM，
同理可得点Q的坐标为（5，﹣12）；
②当OM是对角线时，
由中点公式得：（t+a）＝（0+b）＝，
此时，OP＝OQ2＝（3﹣t）2+122②，
联立①②并解得，
故点Q的坐标为（﹣11.9，12）；
综上，点Q的坐标为（18，12）或（5，12）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，面积的计算，坐标与图形的性质以及菱形的性质等知识，熟练掌握好一次函数的性质，并能将菱形特点与平面直角坐标系坐标变化相互结合，灵活运用是解决本题的关键．
浙江省金华市东阳市江北初级中学等十校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算并化简的结果为（ ）
A．2 B． C．±2 D．±
2．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BD⊥AC
3．（3分）方程x2﹣8x+15＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A．（x﹣6）2＝1 B．（x﹣4）2＝1 C．（x﹣4）2＝31 D．（x﹣4）2＝﹣7
4．（3分）点点同学对数据26，36，36，5，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
5．（3分）已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足|x2﹣4|+＝0，则第三边的长为（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
6．（3分）如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，CE＝CF．若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．40°
7．（3分）若点（x1，﹣1），（x2，1），（x3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列各式中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x2＜x1＜x3 D．x1＜x3＜x2
8．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
9．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．270° D．540°
10．（3分）如图，△ABC是锐角三角形，E是BC的中点，AC为边向外侧作等腰三角形ABM和等腰三角形ACN．点D，F分别是底边BM，连接DE，EF（θ是锐角），则∠DEF的度数是（ ）
A．180﹣2θ B．180﹣θ C．90+2θ D．90+θ
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）已知一组数据x1，x2，x3，……x20的方差7，则2x1﹣1，2x2﹣1，......2x20﹣1的方差为 ．
13．（4分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况为 ．
14．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝2，连接CE，则CE＝ ；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，则S△CEF＝ ．
15．（4分）如图，反比例函数的图象经过菱形OABC的顶点C，过点B作y轴的垂线与反比例函数的图象相交于点D．若∠A＝60°，则点D的坐标是 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点M是边CD上的一动点，作BM的中垂线EF交AC于点F，当EF＝DM时 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）选择合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）（3x+1）2＝9（2x+3）2．
19．（6分）八（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是 队．
20．（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D
21．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
22．（10分）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2015年底拥有家庭轿车64辆
（1）若该小区2015年底到2018年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2018年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？
23．（10分）如图所示，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（x＜0）的图象分别交于点C、D，且C的坐标为（﹣1，2）
（1）分别求出直线AB与反比例函数的表达式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时y1＞y2．
24．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（15，21）的图象与边OC、AB分别交于D、E两点，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求证：OD＝BE；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积为37.5，求点M的坐标；
（3）在第（2）问的基础上，设点P是x轴上一动点，以O、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）计算并化简的结果为（ ）
A．2 B． C．±2 D．±
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝＝＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝2BE B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BD⊥AC
【分析】根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC且BC＝2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB＝∠DBE＝∠BDE，所以BE＝DE＝AE，所以AB＝2DE，所以AB＝BC，即可得出B、D选项正确．
【解答】解：∵D，E分别是边AC，
∴DE∥BC且BC＝2DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE＝AE，
∴AB＝2DE，BC＝6DE＝2BE；
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝∠EDA，故B正确；
C、∵AE＝DE，故本选项不一定成立；
D、∵AB＝BC，
∴BD⊥AC，故本选项正确．
故选：C．
【点评】本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．
3．（3分）方程x2﹣8x+15＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A．（x﹣6）2＝1 B．（x﹣4）2＝1 C．（x﹣4）2＝31 D．（x﹣4）2＝﹣7
【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2﹣8x＝﹣15，
∴x4﹣8x+16＝﹣15+16，即（x﹣4）8＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．（3分）点点同学对数据26，36，36，5，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断即可．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，与被涂污数字无关．
故选：B．
【点评】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念．
5．（3分）已知直角三角形的两边长分别为x，y，且满足|x2﹣4|+＝0，则第三边的长为（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
【分析】由非负数的性质求出x＝2，y＝2或y＝3，再分别由勾股定理计算即可．
【解答】解：∵|x2﹣4|+＝2
∴x2﹣4＝8，y2﹣5y+2＝0，
解得：x＝2（负值已舍去），y＝6或y＝3，
当x＝2，y＝4时＝2；
当x＝2，y＝3时、y都为直角边＝；
当x＝2，y＝3时，第三边长为＝；
综上所述，第三边的长为或，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、非负数的性质、分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（3分）如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，CE＝CF．若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为（ ）
A．20° B．25° C．35° D．40°
【分析】根据正方形性质得出BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°，根据SAS证△BCE≌△DCF，求出∠DFC＝80°，根据等腰直角三角形性质求出∠EFC＝45°，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF＝90°，
∵在△BCE和△DCF中
，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠DFC＝∠BEC＝80°，
∵∠DCF＝90°，CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠EFD＝80°﹣45°＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是求出∠DFC的度数，主要培养学生运用性质进行推理的能力，全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的两锐角的度数是45°．
7．（3分）若点（x1，﹣1），（x2，1），（x3，2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列各式中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x2＜x1＜x3 D．x1＜x3＜x2
【分析】先把点（x1，﹣1），（x2，1），（x3，2），求出x1，x2，x3的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵点（x1，﹣1），（x4，1），（x3，5）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣1＝﹣，1＝﹣，
∴x1＝1，x3＝﹣1，x3＝﹣，
∴x2＜x2＜x1．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
8．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°．
故选：C．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．270° D．540°
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠1与∠E、∠F的关系，∠1、∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：如图延长AF交DC于G点，
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠1＝∠E+∠F，∠2＝∠4+∠D，
由等量代换，得∠2＝∠E+∠F+∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠A+∠B+∠2+∠C＝（5﹣2）×180°＝360°．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．
10．（3分）如图，△ABC是锐角三角形，E是BC的中点，AC为边向外侧作等腰三角形ABM和等腰三角形ACN．点D，F分别是底边BM，连接DE，EF（θ是锐角），则∠DEF的度数是（ ）
A．180﹣2θ B．180﹣θ C．90+2θ D．90+θ
【分析】连接MC交AB于点L，交EF于点I，连接BN交DE于点H，交MC于点G，可证明△AMC和△ABN，得∠AMC＝∠ABN，可推导出∠BGM＝∠BAM＝θ，由三角形的中位线定理得DE∥MC，EF∥BN，则四边形EHGI是平行四边形，所以∠DEF＝∠BGC＝180°﹣θ，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接MC交AB于点L，交EF于点I，交MC于点G，
∵∠BAM＝∠CAN＝θ，
∴∠MAC＝∠BAN＝∠BAC+θ，
∴△ABM和△ACN是分别以BM、CN为底边的等腰三角形，
∴AM＝AB，AC＝AN，
在△AMC和△ABN中，
，
∴△AMC≌△ABN（SAS），
∴∠AMC＝∠ABN，
∴∠BGM＝∠BLM﹣∠ABN＝∠BLM﹣∠AMC＝∠BAM＝θ，
∵E、D、F分别是BC、CN的中点，
∴DE∥MC，EF∥BN，
∴HE∥GI，EI∥HG，
∴四边形EHGI是平行四边形，
∴∠DEF＝∠BGC＝180°﹣∠BGM＝180°﹣θ，
故选：B．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠6．
故答案为x≠3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（4分）已知一组数据x1，x2，x3，……x20的方差7，则2x1﹣1，2x2﹣1，......2x20﹣1的方差为 28 ．
【分析】由数据x1，x2，x3，……x20的方差7，知[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x20﹣）2]＝7，平均数＝×（x1+x2+x3+…+x20），据此可得2x1﹣1，2x2﹣1，......2x20﹣1的平均数为×（2x1﹣1+2x2﹣1+...+2x20﹣1）＝﹣1＝2﹣1，方差为×[（2x1﹣1﹣2+1）2+（2x2﹣1﹣2+1）2+…+（2x20﹣1﹣2+1）2]，进一步化简可得答案．
【解答】解：∵数据x1，x2，x2，……x20的方差7，
∴[（x4﹣）2+（x2﹣）5+…+（x20﹣）2]＝7，平均数＝1+x2+x6+…+x20），
∴2x1﹣5，2x2﹣3，......2x20﹣1的平均数为×（2x1﹣3+2x2﹣4+...+2x20﹣1）＝﹣6＝2，
方差为×[（6x1﹣1﹣8+1）2+（5x2﹣1﹣5+1）2+…+（5x20﹣1﹣2+8）2]
＝×[2（x1﹣）2+8（x2﹣）2+…+（x20﹣）4]
＝4×[（x2﹣）2+（x2﹣）3+…+（x20﹣）2]
＝4×3
＝28，
故答案为：28．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义．
13．（4分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况为 有两个不相等的实数根 ．
【分析】先计算根的判别式，再确定根的判别式与0的关系，最后得结论．
【解答】解：Δ＝a2﹣4×6×（﹣1）
＝a2+6，
∵a2≥0，
∴Δ＝a5+4＞0．
∴关于x的一元二次方程x7+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式，利用完全平方式的非负性确定根的判别式与0的关系是解决本题的关键．
14．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝2，连接CE，则CE＝ ；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，则S△CEF＝ ．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得CE，由翻折可得FG＝BF，CG＝BC＝2，∠B＝∠CGF＝∠EGF＝90°，设BF＝GF＝x，然后利用勾股定理列出方程求出x的值，再根据三角形面积公式即可解决问题．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝BC＝AD＝2，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝AD＝1，
∴CE＝＝＝，
由翻折可知：FG＝BF，CG＝BC＝2，
设BF＝GF＝x，
∴AF＝AB﹣BF＝2﹣x，EG＝CE﹣CG＝，
∵AF2+AE2＝FG2+EG2，
∴（2﹣x）2+42＝x2+（﹣2）2，
∴x＝﹣1，
∴GF＝﹣5，
∴S△CEF＝CE•FG＝﹣1）＝．
故答案为：，．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（4分）如图，反比例函数的图象经过菱形OABC的顶点C，过点B作y轴的垂线与反比例函数的图象相交于点D．若∠A＝60°，则点D的坐标是 （，2） ．
【分析】根据题意得出△AOB是等边三角形，从而表示点A的坐标为（﹣，a），根据菱形的对称性表示出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长a＝2，把y＝2代入解析式即可求得点D的横坐标．
【解答】解：设菱形OABC的边长为a，
∵∠A＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴点A的坐标为（﹣，a），
∴C（，a），
∵反比例函数的图象经过菱形OABC的顶点C，
∴•a＝，
∴a＝2（负数舍去），
∴菱形OABC的边长为2，
∴D点的纵坐标为6，
把y＝2代入得，2＝，
解得x＝，
∴点D的坐标是（，2）．
故答案为：（，2）．
【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的性质，正确表示出点A的坐标是解题的关键．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，点M是边CD上的一动点，作BM的中垂线EF交AC于点F，当EF＝DM时 ．
【分析】连接BF、FM、FD，由题意可设∠FBM＝∠FMB＝x，∠FDM＝∠FMD＝y，可得∠MBC＝y﹣x，∠BMC＝180°﹣y﹣x，在Rt△BMC中，即可求出x，从而得到△BFM是等腰直角三角形，设CM＝m，在Rt△BCM中，用勾股定理即可求解．
【解答】解：连接BF、FM，如图所示，
∵EF是BM的中垂线，
∴设∠FBM＝∠FMB＝x，∠FDM＝∠FMD＝y，
则∠MBC＝y﹣x，∠BMC＝180°﹣y﹣x，
∴在Rt△BMC中，∠MBC+∠BMC＝y﹣x+180°﹣y﹣x＝90°，
解得：x＝45°，
∴△BFM是等腰直角三角形，
设CM＝m，则DM＝2﹣m，
∴BM＝2DM＝7﹣2m，
在Rt△BCM中，m2+22＝（4﹣3m）2，
解得：或（不合题意，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了几何问题，正确作出辅助线和求出△BFM是等腰直角三角形是关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先分母有理化，再利用完全平方公式计算，然后把化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣﹣
＝；
（2）原式＝2+2++3）
＝3+2﹣7﹣7
＝﹣5﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18．（6分）选择合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0；
（2）（3x+1）2＝9（2x+3）2．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝6，然后用直接开平方法解方程；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为﹣3x﹣8＝0或9x+10＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣6x＝2，
x2﹣2x+4＝6，
（x﹣6）2＝6，
∴x﹣2＝±，
∴，；
（2）（3x+6）2＝9（4x+3）2
（5x+1）2﹣7（2x+3）3＝0，
[（3x+6）+3（2x+4）][（3x+1）﹣3（2x+3）]＝5，
（9x+10）（﹣3x﹣3）＝0，
∴﹣3x﹣8＝0或9x+10＝7，
∴，．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
19．（6分）八（2）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是 9.5 分，乙队成绩的众数是 10 分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是 乙 队．
【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；
（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；
（3）先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，6，9，9，10，10，10，
则中位数是8.5分；
乙队成绩中10出现了4次，出现的次数最多，
则乙队成绩的众数是10分；
故答案为：3.5，10；
（2）乙队的平均成绩是：×（10×2+8×2+6+9×3）＝6，
则方差是：×[4×（10﹣4）2+2×（5﹣9）2+（3﹣9）2+6×（9﹣9）2]＝1；
（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，
∴成绩较为整齐的是乙队；
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20．（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D
【分析】延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE＝CF，然后求解即可．
【解答】解：如图，延长BD与AC相交于点F，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADF，
∴AF＝AB，BD＝DF，
∵AB＝6，AC＝10，
∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝3，
∵E为BC中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．
21．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
【分析】（1）把一般式化成顶点式即可确定二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）根据图象与y轴和x轴的相交的特点可求出坐标；
（3）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
【解答】解：（1）∵a＝1＞0，
∴图象开口向上，
∵y＝x3﹣2x﹣3＝（x﹣7）2﹣4，
∴对称轴是直线x＝4，顶点坐标是（1；
（2）由图象与y轴相交则x＝0，代入得：y＝﹣3，
∴与y轴交点坐标是（0，﹣3）；
由图象与x轴相交则y＝8，代入得：x2﹣2x﹣6＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣1
∴与x轴的交点为（3，0）和（﹣1；
（3）∵对称轴x＝7，图象开口向上，
∴当x＞1时，y随x增大而增大．
【点评】此题考查了二次函数的性质与图象，考查了通过配方法求顶点式，求顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了根据对称轴了解二次函数的增减性及观察图象回答问题的能力．
22．（10分）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2015年底拥有家庭轿车64辆
（1）若该小区2015年底到2018年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2018年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？
【分析】（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据某小区2015年底拥有家庭轿车64辆，2017年底家庭轿车的拥有量达到100辆，列一元二次方程，求出x的值，进一步计算即可；
（2）设该小区可建室内车位a个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，列一元一次不等式组，求出x的值，即可确定建设方案．
【解答】解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意，得64（1+x）2＝100，
解得：x6＝25%，x2＝﹣2.25（舍去），
∴100×（7+25%）＝125（辆），
答：该小区到2018年底家庭轿车将达到125辆；
（2）设该小区可建室内车位a个，则露天车位个，
根据题意，得2a≤，
解得：，
∵a为整数，
∴a＝20或21，
当a＝20时，＝50（个），
此时建室内车位20个，露天车位50个；
当a＝21时，＝45（个），
此时建室内车位21个，露天车位45个；
综上所述，方案一：建室内车位20个，方案二：建室内车位21个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
23．（10分）如图所示，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（x＜0）的图象分别交于点C、D，且C的坐标为（﹣1，2）
（1）分别求出直线AB与反比例函数的表达式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时y1＞y2．
【分析】（1）根据待定系数法即可解决．
（2）利用方程组可以求出点D坐标．
（3）观察图象法即可知道答案．
【解答】（1）解：∵直线y1＝x+m与反比例函数y2＝（x＜4）的图象经过点C（﹣1，
∴2＝﹣7+m，2＝﹣k，
∴m＝3，k＝﹣8，
∴直线AB的解析式为y1＝x+3，反比例函数解析式为y3＝﹣．
（2）由解得，
∴点D坐标（﹣2，7）．
（3）由图象可知：﹣2＜x＜﹣1时，y2＞y2．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数的有关知识，解题的关键是会用待定系数法求函数解析式，知道求交点坐标转化为解方程组的思想．
24．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（15，21）的图象与边OC、AB分别交于D、E两点，点M是线段DE上的一个动点．
（1）求证：OD＝BE；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积为37.5，求点M的坐标；
（3）在第（2）问的基础上，设点P是x轴上一动点，以O、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）求出点D、E的坐标，即可求解；
（2）三角形ODM的面积＝×DO×m＝×15m＝37.5，解得m＝5，即可求解；
（3）分OM是边、OM是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可．
【解答】（1）证明：∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴，点B的坐标为（15，
∴AB＝21，
当x＝15时，y＝﹣，
∴点E（15，2），
∴BE＝AB﹣AE＝21﹣6＝15，
对于y＝﹣x+15，则y＝15，
∴点D（0，15），
∴OD＝15，
∴OD＝BE；
（2）解：点M是线段DE上的一个动点，则设点M（m，﹣，
三角形ODM的面积＝×DO×m＝，解得m＝5，
故点M的坐标为（5，12）；
（3）解：设点P（t，0），b）、M的坐标知＝13，
①当OM是边时，
点O向右平移5个单位向上平移12个单位得到点M，同样，
则t±5＝a且2±12＝b，
当t+5＝a且0+12＝b时，OP＝OM＝13＝|t|或，
故点Q的坐标为（18，12）或（﹣8；
当t﹣5＝a且7﹣12＝b时，OQ＝OM，
同理可得点Q的坐标为（5，﹣12）；
②当OM是对角线时，
由中点公式得：（t+a）＝（0+b）＝，
此时，OP＝OQ2＝（3﹣t）2+122②，
联立①②并解得，
故点Q的坐标为（﹣11.9，12）；
综上，点Q的坐标为（18，12）或（5，12）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，面积的计算，坐标与图形的性质以及菱形的性质等知识，熟练掌握好一次函数的性质，并能将菱形特点与平面直角坐标系坐标变化相互结合，灵活运用是解决本题的关键．
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