辽宁省沈阳市新民市高级中学2023-2024学年高三上学期9月开学考试数学试题

2023—2024学年度上学期9月份开学考试

数学试卷

命题人：高三数学组

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题

1. 集合＝（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据分式不等式的解法求解不等式，即可得出答案.

【详解】由，得，解得，

则集合.

故选：C.

2. 下述正确的是（    ）

A. 若第四象限角，则

B. 若，则

C. 若的终边为第三象限平分线，则

D. “”是“”的充要条件

【答案】D

【解析】

【分析】对于A，利用三角函数定义即可判断；对于B，求出的值即可判断；对于C，算出的范围即可判断；对于D，利用充分，必要的定义进行判断即可

【详解】对于A，若为第四象限角，根据三角函数定义可得，故不正确；

对于B，若，则，故不正确；

对于C，若的终边为第三象限平分线，则，

此时，故不正确；

对于D，由可得，即，满足充分性；

由可得，所以，满足必要性，故正确

故选：D

3. 已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由可得，求出周期，再利用周期公式可求出，再由可求出的值.

【详解】由题意可得，得，所以，得，

所以，

因为的图象过点，

所以，得，

所以，

所以，或，

所以，或，

因为，所以，

故选：C

4. 已知，，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】把待求式中“1”用替换，然后用基本不等式求得最小值．

【详解】因为，，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

故选：C．

5. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（       ）

A. 74m B. 60m C. 52m D. 91m

【答案】A

【解析】

【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度.

【详解】在中，，

，，

在中，，

由，，

在中，.

故选：A

6. 岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.

详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），

在上的最大值为，与图象不符，A错误；

对于B，当时，，与图象不符，B错误；

对于C，，当时，；

又过点；

由得：，解得：，即函数定义域为；

又，

为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；

当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：与图象相符，C正确；

对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.

故选：C.

7. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造，确定函数在上单调递增，计算，，转化得到，根据单调性得到答案.

【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.

，则，即，故.

，即，即，故，解得.

故选：B.

8. 记，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数在R上单调递增，可判断，再对两边取对数，由函数在单调递减，可得，从而得解.

【详解】设，则在R上单调递增，

故，即；

由于，

设，，

则，，

则在单调递减，故，

即，则；

综上得，， D正确.

故选：D

二、多选题

9. 设函数，则（    ）

A. 是偶函数

B. 是的一个周期

C. 函数存在无数个零点

D. 存在，使得

【答案】AC

【解析】

【分析】求出即可判断A项；求出即可判断B项；当时，有，即可说明C项；当时，可求出.进而根据偶函数的性质即可判断D项.

【详解】对于A项，定义域为R.又，

所以是偶函数，故A项正确；

对于B项，，所以不是的一个周期，故B项错误；

对于C项，因为时，有，又，所以有无数多个解，所以函数存在无数个零点，故C项正确；

对于D项，当时，有，所以.

所以有在上恒成立.

又，是偶函数，

所以，当时，有恒成立，故D项错误.

故选：AC.

10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 若为斜三角形，则

C. 若，则是锐角三角形

D. 若，则一定是等边三角形

【答案】AB

【解析】

【分析】利用正弦定理推理判断AD；利用和角的正切及诱导公式推理判断B；利用平面向量的数量积定义确定角C判断C作答.

【详解】对于A，由正弦定理，

得，A正确；

对于B，斜中，，

则，即，B正确；

对于C，由，得，则，

因此C为钝角，是钝角三角形，C错误；

对于D，由正弦定理及，得，

即，而，则，为等腰直角三角形，D错误．

故选：AB

11. 如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（    ）

A. 筒车的半径为3m，旋转一周用时30s

B. 筒车的轴心距离水面的高度为

C. 时，盛水筒处于向上运动状态

D 盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点

【答案】BD

【解析】

【分析】根据振幅和最小正周期可确定A错误；利用可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断方法可知C错误；令，由正弦型函数的值可构造方程求得，进而得到，知D正确.

【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；

的最小正周期，旋转一周用时，A错误；

对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确；

对于C，当时，，此时单调递减，

盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误；

对于D，令，，

，解得：，

又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确.

故选：BD.

12. 已知当时，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据给定的不等式，赋值变形判断A；赋值求和判断CD；变形不等式右边，借助二项式定理及组合数的性质推理判断D作答.

【详解】因为，令，，则，

令，，则，A正确；

因为，则，，…，，以上各式相加有，B错误；

由得，，即，

于是，，，…，，

以上各式相加有，即，C正确；

由得，，因此，

设，，

则，所以，D正确．

故选：ACD

【点睛】关键点睛：由给定信息判断命题的正确性问题，从给定的信息出发结合命题，对变量适当赋值，再综合利用相关数学知识及方法是解决问题的关键.

第II卷（非选择题）

三．填空题

13. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据弧长公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结果.

【详解】因为的长度为，所以，，

所以勒洛三角形的面积是.

故答案为：.

14. 已知函数，，当时，函数取得最小值，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式取等条件可确定的取值，结合二倍角余弦公式可求得结果.

【详解】当时，，

（当且仅当，即时取等号），

，.

故答案为：.

15. 已知函数在区间上有且只有2个零点，则ω的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】先求得，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.

【详解】由，可得，其中，

因为函数在区间上有且仅有2个零点，

则满足，解得，即实数的取值范围是.

故答案为：.

16. 已知偶函数的定义域为，函数，且，若在上的图象与直线恰有个公共点，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，分多个区间研究与直线有几个交点，利用在上与直线恰有个公共点，即可得出的范围.

【详解】由题意得是定义域为的偶函数，

当时，，

当时，，，

，

当时，，，，

当时，是周期为的周期函数.

因为是定义域为的偶函数，且，

所以在上的图象与直线恰有301个公共点.

在上的图象如图所示，

在上图象与直线有3个公共点，

令，得，

令，得或.

所以这个公共点的横坐标依次为，，.

因为，

所以，即.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查根据函数图像交点个数求参数，考查三角函数的二倍角公式、两角差的正弦公式、辅助角公式、函数的周期性，考查了计算能力和函数思想，属于中档题.

四、解答题

17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知

（1）求角A；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）已知等式由余弦定理和面积公式代入变形可得求角A；

（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质即可求解取值范围.

【小问1详解】

已知，由余弦定理和三角形的面积公式，

得，即，

若，则，不符合题意，故，

所以，由，得.

【小问2详解】

，，，

由正弦定理，

，

由，则，得，

所以，即的取值范围.

18. 已知的内角所对的边分别为.

（1）求；

（2）为内一点，的延长线交于点，___________，求的面积.

请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.

①的三个顶点都在以为圆心的圆上，且；

②的三条边都与以为圆心的圆相切，且.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知等式结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换，即可得角的大小；

（2）选择条件①，利用三角形的外心为，根据正弦定理、余弦定理可得为等边三角形，再利用面积公式可得的面积；选择条件②，利用三角形的内心为，利用等面积法求得，再根据余弦定理得，即可求得的面积.

【小问1详解】

在中，因为，所以，

由正弦定理，得，

因为，所以，

化简，得，因为，所以.

【小问2详解】

选条件①：

设的外接圆半径为，

则在中，由正弦定理得，即，

由题意知：，

由余弦定理知：，

所以.

在中，由正弦定理知：，

所以，

从而，所以为等边三角形，

的面积.

选条件②：

由条件知：，

由，得，

因为，所以，即，

由（1）可得，即，

所以，即，

又因为，所以，

所以的面积.

19. 已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）方程在上的两解分别为，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间.

（2）根据三角恒等变换的知识，先求得，然后求得的值.

【小问1详解】

，

由，得，

所以的单调递增区间为：.

【小问2详解】

设，则，

由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

由，得，

因为方程在上的两解分别为，

则，必有，

所以，，同理，

，

由于且，则，

由，可得.

【点睛】利用同角三角函数的基本关系式求，一定要注意判断的范围，根据的范围来确定的符号，这一步容易忽略.同样，在用二倍角公式来求单倍角时，也要注意角的范围.

20. 已知，曲线在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值；

（3）当时，判断与交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

【详解】试题分析：（1）求出的导数，计算，，求出，的值即可；（2）求出的导数，得到导函数的单调性，得到在递增，从而求出的最大值；（3）根据函数图象的大致形状可得与有两个交点.

试题解析：（1），由已知可得，，解之得．

（2）令．则,

故当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增；

所以，

故在单调递增，所以．

（3）当时，与有两个交点.

21. 如图，C，D是两个小区所在地，C，D到一条公路AB的垂直距离分别为CA＝1km，DB＝2km，AB两端之间的距离为6km．

（1）某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A，C的张角与P对B，D的张角相等（即），试求的值；

（2）环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C，D所张角最大，试求QB的长度．

【答案】（1）   

（2）的长度为

【解析】

【分析】（1）设，，，利用三角函数的定义可求，，由题意可得，解得的值即可求解．

（2）设，，，利用三角函数的定义得，，利用两角和的正切公式可求，令，可得，可得，进而根据题意利用双勾函数的性质即可求解．

【小问1详解】

设，，，

依题意有，，

由，得，解得，

从而，，

故．

【小问2详解】

设，，，

依题意有，，

所以

，

令，由，得，

所以

，

所以，

所以，且，

当，所张的角为钝角，

所以当，即时取得最大角，

故，从而的长度为．

22. 已知函数，．

（1）若，证明：当时；

（2）当时，，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）．

【解析】

【分析】（1）令，对求导，得到的单调性可证得，令，对求导，可得在上单调递增，即可证得，即可证得；

（2）由题意分析可得要使恒成立即时，恒成立，通过放缩变形证明恒成立，即可求出a的取值范围.

【小问1详解】

当时，，所以即证：，，

先证左边：，令，，

在单调递增，∴，即．

再证右边：，令，

，

∴在上单调递增，

∴，即，

∴时，．

【小问2详解】

，

令，，

因为，所以题设等价于在恒成立，

由（1）知，当时，，于是：

①当时，恒成立；

②当时，等价于，

（i）当时，，

令，因为在上递增，

且，所以存在，使，

所以当，，即，不合题意；

(ii)当时，

令，，

则，

，

所以在上单调递增，

所以，所以，所以.

综上：a的取值范围为．

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：

（1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.