湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题

黄梅县育才高级中学2022年秋季期中考试试卷

高三数学

时间：_120分钟

一、单选题（共40分，每题5分）

1. 设全集，集合，则 =（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出A所表达的自然数，再根据补集的定义求出 .

【详解】由题意A所表达的集合为大于等于3的 自然数，U集合是大于等于2的自然数，所以 ；

故选：C.

2. 下列条件中，是的必要不充分条件的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

求出不等式的取值范围，再利用必要不充分条件即可求解.

【详解】由得，

必要不充分条件的的范围包含，

故选：A．

【点睛】本题考查了必要不充分条件，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量的定义计算可得结果.

【详解】因为向量在向量上的投影为，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：A

4. 已知是角终边上一点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得出，然后根据二倍角公式得出结果.

【详解】因为是角终边上一点，

所以，

则，

故选：A.

5. 已知，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用基本不等式及其应用，结合特例，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，实数，且满足，

对于A中，由，可得，当且仅当等号成立，所以A错误；

对于B中，由，可得，

所以，所以，当且仅当等号成立，所以B正确；

对于C中，由，

当且仅当时，即时，等号成立，

又由，所以C错误；

对于D中，例如：时，

可得，所以D错误.

故选：B.

6. 平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】连接，相交于点，依题意可得平面，从而得到平面平面，则是与底面所成角，利用锐角三角函数求出，建立如图所示空间直角坐标系，求出点坐标，即可得到点的坐标，利用空间向量法求出线面角的正弦值．

【详解】解：如图所示，连接，相交于点，连接．

平行六面体中，且，

不妨令

，，都是等边三角形．

是等边三角形．

，，，平面

平面，平面，

平面平面，

是与底面所成角．

因为，，所以．

如图建立空间直角坐标系，则，，，，

其中的坐标计算如下，过 作交于点，

因为，，所以，

所以，，

因为

所以，所以，

显然平面的法向量为，

设与底面所成的角为，则

故选：A

7. 在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦定理边化角可得，再根据正弦定理将化为，根据恒等变换公式，结合三角函数图像即可求得其范围.

【详解】，又为锐角三角形，，，

且，即，，

即，，．

故选:C．

8. 已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求解为0时的值，可得只有两个零点，再根据分析可得无解，进而求得的取值范围即可.

【详解】由题意，即或.因为，易得无解.故只有两个零点.

当时，或，解得或有两个零点.故无解. 因为，，故，解得

故选：D

二、多选题（共20分，选对5分，选不全得2分，多选或选错得0分）

9. 给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A. ，； B. ，； C. ，； D. ，

【答案】CD

【解析】

【分析】

求出、的值域后可得正确的选项.

【详解】因为，故A，B错误.

因为，故CD正确.

故选：CD.

【点睛】本题考查二倍角的正弦、辅助角公式，注意利用三角变换公式把三角函数式整合成正弦型函数（或余弦型函数）的形式，从而可利用复合函数的方法来研究它们的性质，本题属于基础题.

10. 已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】由已知可得数列是以3为周期的周期数列，然后逐个分析判断即可

【详解】因为，，所以，，，

对于A，，所以A错误，

对于B，当时，，所以B错误，

对于C，因为， 数列是以3为周期的周期数列，所以，所以C正确，且

对于D，因为数列是以3为周期的周期数列，且，所以，所以D正确，

故选：CD

11. 如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）

A. 存在某个位置，使得与所成角为锐角

B. 棱上总会有一点，使得平面

C. 当三棱锥体积最大时，

D. 当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是

【答案】BC

【解析】

【分析】取中点，连接，，可证明即可判断A；取中点，连接，可证明平面判断B；三棱锥的体积最大， 的投影在棱上时，此时平面，进而可证明平面得判断C；过作，过点作交于，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，进而根据几何关系求解得可判断D.

【详解】解：对于A选项，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以，又因为是的中点，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故错误；

对于B选项，取中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故正确；

对于C选项，设到平面的距离为，因为且，

所以，所以，故要使三棱锥的体积最大，则最大，所以当的投影在棱上时，最大，且，此时平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，平面，所以，故正确；

对于D选项，因为为直角三角形，所以过作，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，过点作交于，如图所示，所以四边形为矩形，所以，所以在中，，即，

在中，，即，进而解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，故错误.

故选：BC

12. 已知函数，下列命题正确的是（    ）

A. 若是函数的极值点，则

B. 若是函数的极值点，则在上的最小值为

C. 若在上单调递减，则

D. 若在上恒成立，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，由可求出的值，对于B，由选项A，可求得，然后利用导数可求出在上的最小值，对于C，由题意可得，可求出的范围，对于D，将问题转化为在上恒成立，构造函数，再利用导数求出其最大值即可

【详解】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，所以A正确，

对于B，由选项A，可知，则，由，得或，由，得，所以在和递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，所以B正确，

对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，所以C正确，

对于D，由在上恒成立，得 在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以上单调递增，所以，所以，所以D错误，

故选：ABC

三、填空题（共20分，每题5分）

13. 当时，幂函数为减函数，则_________．

【答案】2

【解析】

【分析】利用幂函数定义即可得到结果.

【详解】函数为幂函数，则，解得或，

又因为函数在上单调递减，

可得，可得，

故答案为：2

14. 数列的通项公式为，对于任意自然数，数列都是递增数列，则实数的取值范围为_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据数列为递增数列，则当时，，结合的取值范围，解不等式即可.

【详解】解：因为，当时，，

因为是递增数列，所以，即，也即，

因为，所以．

所以实数的取值范围为．

故答案为：.

15. 已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

“若，使得”转换为集合交集非空，分别根据导数求，的值域，进一步求出答案.

【详解】因为

所以

当，，所以单调递减，

因为，所以，

当，，所以单调递增，

因为，使得，

所以

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题.

本题主要是转换的思想，“若，使得”可以转换为集合交集非空.

16. 在三棱锥中，点在底面的射影是的外心，，则该三棱锥外接球的体积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先由正弦定理得，外接圆的半径，再由勾股定理，即可求出半径,从而可得外接球体积.

【详解】解：设的外心为,连接,则球心在

上，连接,

则为外接圆的半径r,

连接,设外接球的半径为R,

则,

在中，由正弦定理得

解得,即,

在中，

在,中,即

,解得：,

所以外接球的体积为：，

故答案为：

四、解答题（共70分，要求文字说明，解答过程）

17. （1）计算：；

（2）若命题“存在，使得”是真命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用对数的运算性质，计算即可得答案；

（2）根据题意可得方程有两个不等实根，即，代入数据，即可得答案

【详解】（1）

=.

（2）因为存在，使得”是真命题，

所以方程有两个不等实根，

所以，解得或，

所以的取值范围为.

18. 已知在前n项和为的等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前20项和．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据等差数列前n项和、通项公式求首项与公差，进而写出通项公式.

（2）首先判断、对应n的范围，再根据各项的符号，应用分组求和及等差数列前n项和求.

【小问1详解】

由，则，

由，则，

所以，即，故，

则.

【小问2详解】

由（1）知：，可得，即，故时，

所以.

19. 已知向量，，设函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于点．若恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用平面向量加法、数量积的坐标表示、二倍角公式、辅助角公式得到，再利用周期公式进行求解；

（2）先利用恰好为的最大值求得，利用正弦定理得到、和，再利用基本不等式进行求解.

【小问1详解】

∵，，

∴，

∴

则的最小正周期为；

【小问2详解】

由恰好为的最大值，

得，即，

∵，所以 ，则；

在中，由，得，

在中，由，可得，

∴；

在中，由，得

，

解得，，

，

∵，，

∴

，

（当且仅当，即时，等号成立）

故的最小值为．

20. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成的角；

(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)30°；(3)存在，.

【解析】

【分析】(1)首先根据已知条件并结合线面垂直判定定理证明平面，再证明即可求解；

(2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条件即可求解；

(3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解.

【详解】(1)因为，是的中点，所以，

故四边形是菱形，从而，

所以沿着翻折成后，，,

又因为，

所以平面，

由题意，易知，，

所以四边形是平行四边形，故，

所以平面；

(2) 因为平面，

所以与平面所成的角为，

由已知条件，可知，，

所以是正三角形，所以，

所以与平面所成的角为30°；

(3) 假设线段上是存在点，使得平面，

过点作交于，连结，，如下图：

所以，所以，，， 四点共面，

又因为平面，所以，

所以四边形为平行四边形，故，

所以为中点，

故在线段上存在点，使得平面，且.

21. 对于定义域为D的函数，若同时满足以下条件：①在D上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域是，那么我们把函数叫做闭函数．

（1）判断函数是不是闭函数？（直接写出结论，无需说明理由）

（2）若函数为闭函数，则当实数m变化时，求的最大值．

（3）若函数为闭函数，求实数k的取值范围．（其中e是自然对数的底数，）

【答案】（1）不是闭函数   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由闭函数的定义进行判断即可，

（2）由题意得，转化为方程在上有两个不等实根，从而可得，求出的范围，再由可求出结果

（3）先利用导数判断出在上为增函数，则由为闭函数可得在上有两个不等实根，令，转化为与的图象有两个不同的交点，然后利用导数的单调区间和最值即可

【小问1详解】

在上为增函数，满足条件①

若存在区间，使在上的值域是，则

（），方程组无解，所以不满足条件②，

所以函数不是闭函数

【小问2详解】

在上为增函数，

因为为闭函数，

所以存在区间，使在上的值域是，

所以，

所以在上有两个不等实根，

即方程在上有两个不等实根，

所以，解得或，

所以，

因为或，

所以当时，取得最大值

【小问3详解】

因为，所以，

令，则，

所以在上为增函数，

所以，即，

所以在上为增函数，

因为为闭函数，

所以在上有两个不等实根，

所以在上有两个不等实根，

令，则与的图象有两个不同的交点，

，

令，则，

所以在上为增函数，，

因为，

所以存在唯一，使得，

当时，，即，当时，，即，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以，

因为，所以，，

所以，

因为，，

所以，

所以，

所以实数k的取值范围

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数的新定义，考查函数与方程的综合应用，解题的关题是准确理解函数的新定义，通过判断函数的单调性后，将问题转化为方程根的问题，再构造函数利用导数解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题

22. 已知函数.

（1）讨论函数单调性；

（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.

【答案】（1）当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，讨论的取值范围，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.

（2）利用导数求出函数的极大值，由零点存在性定理可得两零点所在的区间，不妨设，则有，构造函数，，利用导数判断出函数单调递增，从而可得，再由即可求解.

【详解】解：（1）易得函数的定义域为.

对函数求导得：.

当时，恒成立，即可知在上单调递增；

当时，当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，，，

此时在上单调递增，在上单调递减.

，又，，

不妨设，则有，

令，，

.

当时，，单调递增，

，，

，

又，，

，，在上单调递减，

，即.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，属于难题.