2013年江西省中考数学试卷

这是一份2013年江西省中考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题每小题只有一个正确选项．，填空题等内容，欢迎下载使用。
2013年江西省中考数学试卷
一、选择题（共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．
1．﹣1的倒数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
2．下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2=a5 B．（3a﹣b）2=9a2﹣b2 C．a6b÷a2=a3b D．（﹣ab3）2=a2b6
3．下列数据是2013年3月7日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况：
城市
北京
合肥
南京
哈尔滨
成都
南昌
污染指数
342
163
165
45
227
163
则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．164和163 B．105和163 C．105和164 D．163和164
4．如图，y=x+a﹣2与双曲线y=交于A、B两点，则当线段AB的长度取最小值时，a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．5
5．一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则它的左视图可以是（　　）
A． B． C． D．
6．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）
A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0
C．x1＜x0＜x2 D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0

第4题图 第8题图 第10题图 第13题图
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
7．分解因式：x2﹣4=　　　　　　．
8．如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为　　　　　　．
9．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组　　　　　　．
10．如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．
11．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为　　　　　　（用含n的代数式表示）．

12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程　　　　　　．
13．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为　　　　　　．
14．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　　　　　　．
三、（共2小题，每小题5分，共10分）
15．（5分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．











16．（5分）如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
　



四、（共2小题，每小题6分，共12分）
17．（6分）先化简，再求值：÷+1，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值．








18．（6分）甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（　　）
A、乙抽到一件礼物 B、乙恰好抽到自己带来的礼物
C、乙没有抽到自己带来的礼物 D、只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．
　






五、（共2小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．





20．（8分）生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A、全部喝完；B、喝剩约；C、喝剩约一半；D开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中D所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；
（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？（计算结果请保留整数）
（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有多少瓶？（可使用科学记算器）
　




21．（9分）如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示．
（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01）
（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）（参考数据：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科学记算器）









22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．
（1）证明PA是⊙O的切线；（2）求点B的坐标；（3）求直线AB的解析式．

　





23．（10分）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是　　　　　　（填序号即可）
①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．
●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：　　　　　　．










24．（12分）已知抛物线yn=﹣（x﹣an）2+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．
（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为（　　　　　　，　　　　　　）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（　　　　　　，　　　　　　）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是　　　　　　；
（3）探究下列结论：
①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An﹣1An；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

　

2013年江西省中考数学试卷参考答案
1． B．2． D．3． A．4． C．5． C．6． D．
7．（x+2）（x﹣2）．8． 65°．9． ．10． 2．11．（n+1）2．12． x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．13． 25°．14． 2，3，4．
15．解：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
如图所示：
．
16．解：（1）如图所示：点P就是三个高的交点；
（2）如图所示：CT就是AB上的高．

17．解：÷+1
=÷+1
=×+1
=+1
=，
当x=0或2时，分式无意义，
故x只能等于1，
原式=．
18．解：（1）A、乙抽到一件礼物是必然事件；
B、乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件；
C、乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件；
D、只有乙抽到自己带来的礼物是随机事件；
故选A；
（2）设甲、乙、丙三人的礼物分别记为a、b、c，
根据题意画出树状图如下：

一共有6种等可能的情况，三人抽到的礼物分别为（abc）、（acb）、（bac）、（bca）、（cab）、（cba），
3人抽到的都不是自己带来的礼物的情况有（bca）、（cab）有2种，
所以，P（A）==．
19．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．
∴AB=CD=2，AD=BC=4，
∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；
（2）A、C落在反比例函数的图象上，
设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），
∵A、C落在反比例函数的图象上，
∴k=2（6﹣x）=6（4﹣x），
x=3，
即矩形平移后A的坐标是（2，3），
代入反比例函数的解析式得：k=2×3=6，
即A、C落在反比例函数的图象上，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y=．
20．解：（1）参加这次会议的人数：25÷50%=50（人），
D所在扇形的圆心角：360°×=36°，
C的人数：50﹣25﹣10﹣5=10（人），如图所示：
答：参加这次会议的有50人；D所在扇形的圆心角是36°；
（2）（500××25+500××10+500×5）÷50≈183（毫升）；
答：平均每人浪费的矿泉水约183毫升；
（3）183×60×÷500≈1098（瓶），
答：浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有1098瓶．

21．解：（1）如图所示：A点转到C点，B点转到D点，启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，
故雨刮杆AB旋转的最大角度为：180°，
过点O作OE⊥BA，交BA延长线于点E，连接BO，
∵∠OAB=120°，
∴∠OAE=60°，
∴∠EOA=30°，
∵OA长为10cm，
∴EA=OA=5（cm），
∴EO==5（cm），
∵AB长为48cm，
∴EB=48+5=53（cm），
∴BO===2≈53.70（cm）；
答：雨刮杆AB旋转的最大角度为180°，O、B两点之间的距离约为53.70cm；

（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，
∴△BAO≌△DCO，∴S△BAO=S△DCO，
∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=π（OB2﹣OA2）=1392π（cm2）．
答：雨刮杆AB扫过的最大面积为1392πcm2．

22．（1）证明：∵以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交点A，
∴OA=2，
∵P（4，2），
∴AP∥x轴，
∵y轴⊥x轴，
∴AP⊥OA，
∵OA为半径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：设B（x，y），
∵OB=2，
∴x2+y2=22，①
∵P（4，2），PA和PB都是⊙O切线，
∴PA=PB=4，
∴42=（x﹣4）2+（y﹣2）2②，
解由①②组成的方程组得：x=0，y=2（舍去）或x=，y=﹣，
∴B的坐标是（，﹣）；
（3）解：∵OA=2，
∴A（0，2），
∴设直线AB的解析式是y=kx+2，
把B的坐标代入得：﹣=k+2，
k=﹣2，
即直线AB的解析式是y=﹣2x+2．
23．解：●操作发现：
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE，AD=AE，
∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=AC．
∵AB=AC，
∴AF=AG=AB，故①正确；
∵M是BC的中点，
∴BM=CM．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，
即∠DBM=∠ECM．
在△DBM和△ECM中，

∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD=ME．故②正确；
连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，
∴整个图形是轴对称图形，故③正确．
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
∵∠ADB=90°，
∴四边形ADBM四点共圆，
∴∠ADM=∠ABM，
∵∠AHD=∠BHM，
∴∠DAB=∠DMB，故④正确，
故答案为：①②③④
●数学思考：
MD=ME，MD⊥ME．
理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，
∴AF=AB，AG=AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=AB，EG⊥AC，EG=AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中，
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME，∠FDM=∠GME．
∵MG∥AB，
∴∠GMH=∠BHM．
∵∠BHM=90°+∠FDM，
∴∠BHM=90°+∠GME，
∵∠BHM=∠DME+∠GME，
∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，
即∠DME=90°，
∴MD⊥ME．
∴DM=ME，MD⊥ME；
●类比探究：
∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
∴MF∥AC，MF=AC，MG∥AB，MG=AB，
∴四边形MFAG是平行四边形，
∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°
∴MF=EG，DF=MG，∠AFM﹣∠AFD=∠AGM﹣∠AGE，
即∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中，
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．
∵MG∥AB，
∴∠MHD=∠BFD=90°，
∴∠HMD+∠MDF=90°，
∴∠HMD+∠EMG=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME为等腰直角三角形．


24．解：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0），
∴0=﹣（0﹣a1）2+a1，
解得a1=1或a1=0．
由已知a1＞0，
∴a1=1，
∴y1=﹣（x﹣1）2+1．
令y1=0，即﹣（x﹣1）2+1=0，
解得x=0或x=2，
∴A1（2，0），b1=2．
由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=﹣（x﹣a2）2+a2经过点A1（2，0），
∴0=﹣（2﹣a2）2+a2，
解得a2=1或a2=4，
∵a1=1，且已知a2＞a1，
∴a2=4，
∴y2=﹣（x﹣4）2+4．
∴a1=1，b1=2，y2=﹣（x﹣4）2+4．
（2）抛物线y2=﹣（x﹣4）2+4，令y2=0，即﹣（x﹣4）2+4=0，
解得x=2或x=6．
∵A1（2，0），
∴A2（6，0）．
由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=﹣（x﹣a3）2+a3经过点A2（6，0），
∴0=﹣（6﹣a3）2+a3，
解得a3=4或a3=9．
∵a2=4，且已知a3＞a2，
∴a3=9，
∴y3=﹣（x﹣9）2+9．
∴y3的顶点坐标为（9，9）．
由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），
依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．
∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），
∴A0A1=2．
yn=﹣（x﹣n2）2+n2，令yn=0，即﹣（x﹣n2）2+n2=0，
解得x=n2+n或x=n2﹣n，
∴An﹣1（n2﹣n，0），An（n2+n，0），
即An﹣1An=（n2+n）﹣（n2﹣n）=2n．
②存在．
设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，
得b=﹣2k，
∴y=kx﹣2k．
设直线y=kx﹣2k与抛物线yn=﹣（x﹣n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，
联立两式得：kx﹣2k=﹣（x﹣n2）2+n2，
整理得：x2+（k﹣2n2）x+n4﹣n2﹣2k=0，
∴x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k．
过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，
则EG=x2﹣x1，
FG=y2﹣y1
=[﹣（x2﹣n2）2+n2]﹣[﹣（x1﹣n2）2+n2]
=（x1+x2﹣2n2）（x1﹣x2）
=k（x2﹣x1）．
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，
即：EF2=（x2﹣x1）2+[k（x2﹣x1）]2
=（k2+1）（x2﹣x1）2
=（k2+1）[（x1+x2）2﹣4x1•x2]，
将x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k代入，
整理得：EF2=（k2+1）[4n2•（1﹣k）+k2+8k]，
当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=18，
∴EF=3为定值，
∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x﹣2．
∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x﹣2．