山东省潍坊市2021-2022学年高二数学上学期期末考试试题（Word版附解析）

高二数学

本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 直线x-y+1=0的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．

【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，，得．

故选B．

【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题．

2. 在二项式的展开式中，含的项为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于3，求得的值，即可求得含的项．

【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，

令，故开式中含项为，

故选：A

3. 已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列一定能得到的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，，，

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A正确，举反例可判定BCD错误.

【详解】A. 若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故A正确；

B.若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故B错误；

C. 若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误；

D.若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D错误.

故选：A.

4. 现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（    ）

A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 35种

【答案】C

【解析】

【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求.

【详解】从7人中选3人,有种选法，其中甲、乙都不入选的有种选法，

所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有种,

故选：C

5. 已知直线，直线，若，则（    ）

A. 2或－5 B. －2或－5 C. 2或5 D. －2或5

【答案】D

【解析】

【分析】直线与直线垂直的充要条件是，根据题意即可得到：，然后解得结果即可

【详解】根据题意，由，则有：

解得：或

故选：

6. 牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB，则线段AB长度的最小值是（    ）

A. 1cm B. 2cm C. 3cm D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求.

【详解】设外球和内球的半径分别为和,则,解得,

当B在大球的过A的半径上时AB的长最小，

∴AB长度的最小值是,

故选：A

7. 过等轴双曲线的右焦点F作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若的面积为2，则a的值为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】求出过右焦点F与垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M的坐标，根据对称性得点N的坐标，则可得表示出的面积，然后解方程即可.

【详解】双曲线为，右焦点，

由已知双曲线的一条渐近线方程为，

则过右焦点F与垂直的直线为，

联立，解得

不妨取，则根据对称性得，

解得

故选：B.

8. 如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.

【详解】记零件或系统能正常工作的概率为，

该系统正常工作的概率为:

,

故选：C.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9. 已知圆的半径为，圆的半径为，则（    ）

A.  B.

C. 圆与圆外切 D. 圆与圆外离

【答案】BC

【解析】

【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.

【详解】解：圆的半径为，圆的半径为，故,故B对，A错；

圆心距，故圆与圆外切，故C对，D错；

故选：BC.

10. 若，则（    ）

A. 展开式中所有的二项式系数之和为

B. 展开式中二项式系数最大的项为第1012项

C.

D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.

【详解】展开式中所有项的二项式系数和为,故A正确；

展开式中第1012项二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确；

在二项式展开式中，令可得，故C正确；

令可得,∴,故D错误.

故选：ABC

11. 如图，已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线交于两点A，B，与抛物线的准线交于点D，，则（    ）

A.  B.

C. 点A到准线的距离为2 D. 点F为线段AD的中点

【答案】ABD

【解析】

【分析】作准线l于点C，轴于M，准线l于点E．轴于M，计算得到，逐项分析，得到答案.

【详解】如图所示：作准线l于点C，轴于M，准线l于点E．轴于M，直线的斜率为，

所以∴所以，故，故A正确；

又∵，

∴

代入抛物线，得（舍去），故B正确；

对于C，由B选项得，直线AB方程为：，与抛物线方程联立得：

，即，故,

故点A到准线的距离为，故C错误；

对于D, 由C选项得,, 点F为线段AD的中点, 故D正确.

故选：ABD．

12. 如图，点P在棱长为1的正方体的对角线上运动，过点P作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于E，F两点．设，，则（    ）

A. 动点E运动形成的轨迹长度为

B. 线段EF运动形成的图形面积为

C.

D. 当时，

【答案】ABD

【解析】

【分析】作出线段EF运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可．

【详解】线段EF运动形成的图形如图所示：

动点E运动形成的轨迹长度为，故A正确；

线段EF运动形成的图形为平行四边行其面积为，故B正确；

当，则，故C错误；

当时，有，则，故D正确；

故选：ABD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13. 计算：______．

【答案】16

【解析】

【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.

【详解】

故答案为：16.

14. 已知向量，，若，则实数______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可知，解方程，即可求出结果.

【详解】因为，所以，所以.

故答案为：.

15. 甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同．”则他们五人不同的名次排列共有______种情况．（用数字填写作答）

【答案】14

【解析】

【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步计数原理可得．

【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有种，

若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的2人中选1人为成绩最好，再选一人为成绩最差的，其它任意排，故有种，

故共有种，

故答案为：14．

16. 如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面与球相切于点F，若平面与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率

【详解】

根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面分别交两个球于点和点，则可得：点和点是椭圆的两个焦点

当且仅当在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值

如上图所示，为圆柱的高，为球的半径，则为，为，然后建立以为坐标原点，以为轴，以为轴的平面直角坐标系，

易知：，

圆的方程为：

设直线的斜率为，则该直线的方程为：

根据相切可知：点到直线的距离为

则有：

解得：

故直线的方程为：

则有：

则

因，则直线的方程为：

联立直线和直线的方程：

可解得：

则

解得：

故椭圆的最大离心率为：

故答案为：

【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，，焦距为8，M是双曲线上的一点．

（1）求C的离心率和渐近线方程；

（2）若，求．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知直接求a、b、c，再求离心率和渐近线方程；

（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为.

【小问1详解】

由题知：，

所以

所以双曲线C的离心率，渐近线方程为.

【小问2详解】

由双曲线定义知：

，或

又，故不满足

.

18. 如图所示，在中，，斜边．现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且，点D是线段AB的中点．

（1）求直线CD与OA所成角的余弦值；

（2）求点B到平面OCD的距离．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）取OB中点M，连接DM，则可得为直线CD与OA所成角或其补角，在中计算其余弦值即可；

（2）过B作交OD于N，通过证明面可得线段的长即为点B到平面OCD的距离，在中计算的长度即可.

【小问1详解】

取OB中点M，连接DM，CM,

因为D,M分别为BA，BO中点，则

则为直线CD与OA所成角或其补角，

因为面,则面，

又CM面，则

，，

又,

,

即直线CD与OA所成角的余弦值为；

【小问2详解】

过B作交OD于N，

，

面，又面，

，又，

面，

则线段的长即为点B到平面OCD的距离，

，

.

即点B到平面OCD的距离为.

【点睛】

19. 如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．

（1）分别求，，和的值；

（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．

【答案】（1），，，.   

（2）来自3号箱的概率最大,理由见解析.

【解析】

【分析】（1）利用条件概率公式,计算即可求得，，；三式求和即得；

（2）利用条件概率公式分别计算，，，最大者即为所求箱号.

【小问1详解】

由已知可得,

,

∴，

，

，

∴.

【小问2详解】

，，，

最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.

20. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．

（1）求抛物线C的方程及其准线方程；

（2）过点M直线l与抛物线C相交于M，N两点，且的面积为3，求直线l的方程．

【答案】（1）；   

（2）或

【解析】

【分析】（1）将点代入计算即可；

（2）设直线l的方程为，，与抛物线方程联立，消去，可求出，再求出直线与轴交点坐标，再利用列方程求解即可.

【小问1详解】

由已知得，解得.

所以抛物线C的方程为，其准线方程为;

【小问2详解】

由（1）得，，

设直线l的方程为，，

联立，消去得，

，则

又直线l与轴交点坐标为，

解得或

所以直线l的方程为或，

即或.

21. 如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，．

（1）求证：；

（2）若四边形ACEF为矩形，且，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值；

（3）若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC⊥CD,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD⊥平面ACEF,从而证得结论；

（2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得；

（3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解.

【小问1详解】

∵，，∴四边形ABCD为直角梯形，

又∵，∴∠BAC=45°，AC=，∴∠CAD=45°，

又∵AD=2,∴CD=．

∴,∴,

又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,CD⊂平面ABCD,

∴CD⊥平面ACEF,

又∵AF⊂平面ACEF,

∴CD⊥AF

【小问2详解】

∵四边形ACEF为矩形，∴AF⊥AC,

又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,AF⊂平面ACEF,

∴AF⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD

∴AFAB,AD两两垂直，

以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示.

∵AF⊥平面ABCD,AF//CE,∴CE⊥平面ABCD，

又∵，∴CE=CDtan30°=,

∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,),

,由AC⊥CE,AC⊥CD,CE∩CD=C,∴AC⊥平面CDE,

∴平面CDE的法向量为,

∴直线DF与平面CDE所成的角的正弦值为

【小问3详解】

若ACEF为正方形，则与（2）同理可得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

 ∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,),

设,平面PBD的法向量为

,则,令,则,,

平面ABD的法向量为,

∴,解得，

在线段AF上存在点P，使得二面角的余弦值为，线段AP的长为1.

22. 如图，已知圆，动圆P过点且与圆内切于点N，记动圆圆心P的轨迹为E．

（1）求E的方程；

（2）过点的直线l（不与x轴重合）与E交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，已知点，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）是定值，为.

【解析】

【分析】（1）设动圆圆心的坐标为，动圆P的半径为，根据条件可得，故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；

（2）设直线l的方程为，，， ，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC与x轴交于点Q的坐标，，直接计算即可得答案.

【小问1详解】

设动圆圆心的坐标为，动圆P的半径为，

则由已知，，

消去得，

故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的椭圆，设为，

则，，

则E的方程为；

【小问2详解】

设直线l的方程为，，，

联立，消去得，

，

又直线AC的方程为

令，

得

，

即，

是定值，且为.