山东省日照市2023-2024学年高三数学上学期开学校际联考试题（Word版附解析）

2021级高三上学期校际联合考试

数学试题

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先解不等式求出两集合，再求两集合的并集即可

【详解】由，得，所以，

由，得，所以，

所以.

故选：D

2. 已知角的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式及对应角终边上点求目标式的函数值即可.

【详解】.

故选：D

3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合奇偶性和单调性逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为，即为奇函数，故A错误；

对于选项B：因为是偶函数，

且在区间上单调递增，则在区间上单调递减，故B错误，

对于选项C：偶函数，

且当时，在区间上单调递增，故C正确；

对于选项D：是偶函数，

注意到，可知在区间上单调递减，故D错误；

故选：C.

4. 命题“，”为真命题的充要条件是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】把特称命题为真命题转化为对有解，分离参数，求解函数最值即可求解.

【详解】因为命题“，”为真命题，所以对有解，

即对有解，所以，

又函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值为，

所以，即，故命题“，”为真命题的充要条件是.

故选：A

5. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月.（参考数据：）

A. 20 B. 27 C. 32 D. 40

【答案】B

【解析】

【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.

【详解】依题意得，解得，，

则，

这种垃圾完全分解，即分解率为，即，

所以，所以，

所以.

故选：B

6. 已知等差数列中的各项均大于0，且，则的最小值为（  ）

A.  B.  C. 0 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列的性质求得，然后用表示，构造函数，利用导函数求出最小值即可.

【详解】设等差数列公差为，

则由得，解得或（舍去），

所以，

因为，所以，

令，则，

令得或（舍去），

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得最小值为，

所以的最小值为.

故选：B

7. 已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上有极小值，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题设有，讨论、，结合对称中心求参数，再由余弦函数的性质及极值的定义确定的值.

【详解】由题意，函数与最小正周期相同，则，且.

当时，的一个对称中心为，

也是的一个对称中心，所以，

所以，，又，所以，故，

，，有极大值，无极小值，不合题意，

当时，的一个对称中心为，

也是的一个对称中心，所以，

所以，，又，所以，故，

，，无极大值，有极小值，符合题意.

故选：D.

8. 已知正实数，满足，则的最大值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】由已知得，构造，结合的单调性知，故将化为，利用导数求的最大值即可.

【详解】∵，∴即，

设，则，且，

所以在上，单调递增，

正实数，，∴，即，

所以等价于，即，

∴，

设，

∴，∴，

设，，所以单调递减，且，

所以在上，，，单调递增，

在上，，，单调递减，

所以，即最大值为0，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题求解关键是将变形为，利用同构构造函数，结合的单调性知，即，从而将用表示，将目标函数化为的函数后再求最值.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A；举反例可判断B；利用基本不等式可判断C,D.

【详解】根据幂函数，指数函数在定义域内均为单调增函数，

，故A正确；

由，取，可得，故B错误；

由可得，当且仅当即取等号，C错误；

由基本不等式可知，当且仅当取等号，

但，等号取不到，故D正确，

故选：AD.

10. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）．

A. 函数的最小正周期为

B. 为函数图像的一条对称轴

C. 函数在上单调递减

D. 函数在上有3个零点

【答案】BC

【解析】

【分析】利用两角和的余弦展开式，正余弦二倍角公式以及辅助角公式化简函数，然后根据函数的性质及图像逐项分析.

详解】由题意得：

，

所以，。

∴的最小正周期，故A错误；

，故B正确；

∵，∴，

∴函数在上单调递减，故C正确；

令，

即，

因为，所以

令，则，所以选项D的问题转化为

与的交点个数问题，

如图所示：

观察可知，有2个零点，故D错误．

故选：BC．

11. 已知函数，则（    ）

A. 函数只有两个极值点

B. 若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为

C. 方程共有4个实根

D. 若关于的不等式的解集内恰有两个正整数，则的取值范围为

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用导数研究的单调性、极值并画出函数图象，利用函数交点、数形结合判断各项正误即可.

【详解】A：对求导得：，

当或时，，当时，，

即在，上单调递减，在上单调递增，

因此，在处取得极小值，在处取得极大值，对；

B：由上分析，曲线及直线，如下图，

由图知：当或时，直线与有2个交点，

所以有且只有两个实根，则的取值范围为或，错；

C：由得：，解得，令且，

由图有两解分别为，，所以或，

而，则，则有两解；又，由图知也有两解，

综上：方程共有4个根，对；

D：因为直线过定点，且，，，

记，，，

所以，对.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：导数研究函数性质并画出图象，利用函数的交点研究方程的根、不等式的解集.

12. 已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（    ）

A. 为偶函数 B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，赋值法得到，进而得到，为奇函数，A错误；B选项，由为偶函数得到关于对称，所以；C选项，由结合函数为奇函数，得到，C正确；D选项，推导出的一个周期为6，利用关系式得到，结合函数周期得到.

【详解】对于A，因为的定义域为R，关于原点对称，

令，则，故，则，

令，则，又不恒为0，故，

所以为奇函数，故A错误；

对于B，因为为偶函数，所以，

所以关于对称，所以，故B正确；

对于C，因为为偶函数，所以，

令，则，故，

令，则，故，又为奇函数，故，

所以，即，故C正确；

对于D，由选项C可知，所以，

故的一个周期为6，因为，所以，

对于，令，得，则，

令，得，则，令，得，

令，得，令，得，

所以，

又，所以由的周期性可得：

，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】设函数，，，．

（1）若，则函数的周期为2a；

（2）若，则函数的周期为2a；

（3）若，则函数的周期为2a；

（4）若，则函数的周期为2a；

（5）若，则函数的周期为；

（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；

（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；

（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；

（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；

（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知数列为等比数列，，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据等比数列的下标性质进行求解即可.

【详解】因为数列为等比数列，，

所以由，

故答案为：

14. 已知函数的极小值为2，则______

【答案】

【解析】

【分析】求函数的极小值的表达式，列方程求.

【详解】函数的定义域为，

求导得，令可得，

当时，，函数在单调递减；

当时，，函数在单调递增，

故的极小值为，

由已知可得，

所以．

故答案为：.

15. 若是奇函数，则______.

【答案】

【解析】

【分析】利用奇函数的性质求即可得解.

【详解】因为是奇函数,

定义域关于原点对称,

由,可得,

所以且,

所以,解得,

所以的定义域为,关于原点对称，

且，

又,即,解得,

此时,

则，

所以，符合题意.

所以.

故答案为：.

16. 在中，，为中点，，，则边的长为______.

【答案】

【解析】

【分析】设，，由、，利用正余弦定理、倍角正弦公式得、求出所设参数，结合三角形性质确定的长度.

【详解】设，，

在和中，，，

又，得，

在中，，

由，有，

所以，整理得：，①

又，即，整理得：，②

联立①②得，，即，解得或，

三角形ADC中的三边关系知：，故，所以.

故答案为：

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求B；

（2）若，的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；

（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出 ，进而求出的周长.

【详解】解：（1），

由正弦定理得：，

整理得：，

∵在中，，

∴，

即，

∴，

即；

（2）由余弦定理得：，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴的周长为.

18. 记为等差数列的前项和，已知，.

（1）求的通项公式；

（2）数列满足，，求数列的前21项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，即可写出通项公式；

（2）由，应用等差数列前n项和公式求和即可.

【小问1详解】

设公差为，由题设有，解得，，

所以.

【小问2详解】

由题设，

.

所以数列的前21项和为211.

19. 设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，.

（1）若，求函数的不动点；

（2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围.

【答案】（1）不动点为1   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据“不动点”定义，令，结合指数方程的解法求不动点；

（2）问题化为在上无解，令，，进一步有在区间上无解，右侧构造函数求值域，结合对数函数性质列不等式组求参数范围.

【小问1详解】

由“不动点”定义知：当时，，

所以，则或（舍去），所以，

所以函数在上的不动点为1.

【小问2详解】

根据已知，得在上无解，

所以在上无解，令，，

所以，即在上无解，

所以在上无解，

设，在上单调递增，故

所以或，可得或，

又在上恒成立，

所以在上恒成立，则，则.

综上，实数的取值范围是.

20. 为美化校园，某学校将一个半圆形的空地改造为花园.如图所示，为圆心，半径为米，点，，都在半圆弧上，设，，且.

（1）若在花园内铺设一条参观线路，由线段，，三部分组成，则当取何值时，参观线路最长？

（2）若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，则当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大？

【答案】（1）当时，参观路线最长   

（2）当时，杜鹃花的种植总面积最大

【解析】

【分析】（1）根据题设用表示出，，，应用倍角余弦公式、换元法及二次函数性质求参观路线的最大长度对应的取值；

（2）利用扇形、三角形面积公式用表示出扇形、、的面积，再应用导数求种植总面积最大对应的取值.

【小问1详解】

如下图，连接，则，

在中，，即，

同理可得，且，

所以参观路线的长度，

令，即.

当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长.

【小问2详解】

由题知：扇形的面积，

的面积，

的面积，

所以杜鹃花的种植总面积，

，

令得或（舍），因为，所以，，

当时，单调递增，当时，单调递减，

所以时，杜鹃花的种植总面积最大.

21. 已知数列和满足，，，.

（1）求的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知可得、，结合等比数列定义写出通项公式即可；

（2）由题设得，根据等比数列定义写出的通项公式，综合应用分组求和及等比数列前n项和公式求和即可.

【小问1详解】

由题设得，，所以.

又，，

故，，，，

所以，，得，

所以数列是首项为16，公比为8的等比数列，故.

【小问2详解】

由题设，又，，

，

，

故，

所以数列是首项为2，公比为8的等比数列，故，

因为

，

所以.

22. 已知函数．

（1）讨论函数零点个数；

（2）若恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案.

（2）分三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑函数最值情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.

【小问1详解】

由，得,

设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增；在上单调递减，

所以，

据此可画出大致图象如图，

所以（i）当或时，无零点：

（ii）当或时，有一个零点；

（iii)当时，有两个零点；

【小问2详解】

①当时，即恒成立，符合题意；

②当时，由可得，则，

则，即，

设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，当时，，

即恒成立，即符合题意；

③当时，由（1）可知，，在上单调递增．

又，，

所以，使.

i）当时，，即，

设，

则，所以在上单调递减，

所以时，；

ii）当时，，即，

设，

因为，

令，则，

又令，

则，得在上单调递增，

有，

得在上单调递增，有，

则，得在上单调递增，

则时，，

又时，，

得当时，时，，

由上可知，在上单调递增，则此时，

综上可知，a的范围是.

【点睛】难点点睛：第二问解答不等式恒成立求解参数范围时，需要讨论a的正负，看能否保证不等式恒成立，特别是当时，要结合函数的零点情况，反复构造函数，判断函数单调性，由此求得参数a的范围，计算过程十分复杂，计算量较大，难度很大.