山东省日照市2023-2024学年高二数学上学期8月校际联合考试试题（Word版附解析）

2022级高二上学期校际联合考试

数学试题

2023.8

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解出N的解集，利用两个集合的交集的定义求解即可.

【详解】因为，故，

故选.

2. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B. 或

C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】转化存在量词命题的否定为真命题，列式求解.

【详解】命题“，使得”是假命题，即“成立”是真命题，

故，解得.

故选：C.

3. 用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.

【详解】令，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

，

所以函数在区间上有唯一零点，

所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.

故选：B.

4. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先判断的奇偶性，再根据时的函数值的符号判断图象.

【详解】因为，，

所以，故函数的为奇函数，排除BD；

又 所以，故A错误.

故选：C

5. 如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.

【详解】由已知，，，，

所以.

由已知是的中点，所以，

，.

所以，

，

所以，.

故选：B.

6. 如图，在棱长为a的正方体中，点E为棱的中点，则点A到平面的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面垂直可得面面垂直，进而根据面面垂直的性质可得的长即为点A到平面的距离，即可利用等面积法求解.

【详解】在正方体中，平面，而平面，

则平面平面，

在平面内过点A作于F，连接，如图，

因平面平面，平面,于是平面，

则的长即为点A到平面的距离，点E为棱的中点，

在中，，，

即，解得，所以点A到平面的距离为，

故选:C.

7. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可知函数具有周期性和对称性，从而可得，，再利用函数单调性比较大小即可.

【详解】由得，所以，

又为偶函数，所以的图象关于对称，

所以，，

又在内单调递减，

，即.

故选：D.

8. 已知，，，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据同角关系，结合三角函数的性质可得，，即可根据和差角公式求解.

【详解】

，

因为，所以，

因为，当在第二象限时，由于，

又在上递减，且，不符合题意．

所以在第三象限，因为，所以．

因为，所以，则．

因为，所以．

所以，

即．

故选：C．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 函数有且仅有一个零点0 B.

C. 在上单调递增 D. 在上单调递减

【答案】BC

【解析】

【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．

【详解】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；

由于，故B正确；

当时，所以在上单调递增，故C正确；

当时，所以上单调递减，上单调递增，故D错误．

故选：BC．

10. 下列命题中正确的是（    ）

A. 是的充分不必要条件

B. 是的既不充分也不必要条件

C. 是幂函数在上是增函数的充分不必要条件

D. 函数在区间上不单调的一个必要不充分条件是

【答案】BD

【解析】

【分析】根据集合间的关系可判断A，由特殊值法可判断不等式求解B，根据幂函数的性质即可判断C，根据二次函数的单调性即可判断D.

【详解】对于A， 则，反之，若，则，故是的充要条件，A错误；

对于B， 不能得到，比如，而也不能得到，比如，

故是的的既不充分也不必要条件，B正确；

对于C，若幂函数在上是增函数，则需要，

故是幂函数在上是增函数的充要条件，C错误；

对于D，函数在区间上不单调，则需要，

故是的一个必要不充分条件，故D正确.

故选：BD

11. 在中，角，，所对的边分别是，，，下列叙述正确的是（    ）

A. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个

B. 若，则为钝角三角形

C. 若，则为等腰三角形

D. 若不是直角三角形，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】由，又可判断A；由正弦定理边角转化和余弦定理可判断B；由利用正弦边角关系及三角形内角性质可得或可判断C；由三角形内角性质及和角正切公式可判断D．

【详解】对于A，由，则，又，知满足条件的三角形只有一个，故A正确；

对于B，，即，为钝角，故B正确；

对于C，，

即，由正弦定理可得，

则，所以或，故C错误．

对于D，因为不是直角三角形，所以，，均有意义，

又，所以，

所以，故D正确；

故选：ABD．

12. 已知边长为的菱形中，，将沿翻折，下列说法正确的是（    ）

A. 在翻折的过程中，直线、可能相互垂直

B. 在翻折的过程中，三棱锥体积最大值为

C. 当时，若为线段上一动点，则的最小值为

D. 在翻折的过程中，三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为

【答案】ACD

【解析】

【分析】取，取的中点，连接、，证明出平面，再利用线面垂直的性质可判断A选项；求出三棱锥高的最大值，结合锥体体积公式可判断B选项；将、展开在同一平面内，由当、、三点共线时，取最小值，并求之，可判断C选项；求出三棱锥表面积的最大值，利用等体积法求出此时三棱锥的内切球半径，利用球体表面积公式可判断D选项.

【详解】如图，在翻折过程中构成四面体，和是正三角形，

取中点，连接、，

对于A，，则在翻折过程中，的范围是，

当时，是正四面体，取的中点，连接、，

因为、均为等边三角形，则，，

因为，、平面，所以，平面，

因为平面，所以，，则A正确；

对于B，三棱锥的底面积是定值，

因为、均为等边三角形，为的中点，则，，

因为，、平面，所以，平面，

因为平面，则平面平面，

过作在平面内作直线于，

因为平面平面，平面平面，，

平面，所以，平面，则有，

当且仅当点与点重合时取“”，

因此，，B错误；

对于C，当时，三棱锥为正四面体，

将、展开在同一平面内，显然四边形为菱形，，

当、、三点共线时，此时，为、的中点，

此时，，则取得最小值，故C正确；

对于D，三棱锥中，，

而，即三棱锥的表面积，

而在翻折过程中，的范围是，

，

当且仅当时取“”，

因此得三棱锥的表面积的最大值为，

此时，

等腰的底边上的高，

，

从而得，

设三棱锥内切球半径为，设三棱锥的表面积为，

由得取最大值时的，

此球的表面积为，D正确.

故选：ACD．

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，，且，则实数m的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标公式，即可求解.

【详解】因为，所以，得.

故答案为：

14. 若，则________．

【答案】

【解析】

【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式结合弦化切化简所求代数式，可得结果.

【详解】因为，则，

.

故答案为：.

15. 已知、，则使函数有两不相等的零点的概率为________．

【答案】##

【解析】

【分析】比较、、、的大小，分析可知、均为正数，由函数有两不相等的零点，可得出，可得出，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】因，，，，

，

所以，，

因为、，则、均为正数，

以为一个样本点，因为函数有两个不相等的零点，

则，可得，所有基本事件有：

、、、、、

、、、

、、、、

、、、，共个基本事件，

其中，满足函数有两个不等的零点的基本事件有：、、

、、、，共个基本事件，

故所求概率为.

故答案为：.

16. 四边形中，点，分别是，的中点，，，，点满足，则的最大值为________．

【答案】1

【解析】

【分析】利用向量线性表示、向量数量积公式以及余弦的二倍角公式即可解决问题.

【详解】如图所示：

因为，，又点是的中点，

所以，所以，

，

又，所以，又点是的中点，

所以，

因为，

所以，

即，

设，，则，

所以，

所以，

所以当即时，有最大值1，

即有最大值为1．

故答案为：1

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）若将图象向左平移个单位，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，求在上的值域．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据图象可由周期得，进而代入最低点即可求解，

（2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的最值.

【小问1详解】

由图象知，，即，又，

∴，∴，

则，又函数过点，所以，

所以，，解得，，

又，所以，即．

【小问2详解】

若将的图象向左平移个单位，得到，

再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象即，

当，则，，

则当或时，函数取得最大值，最大值，

当时，函数取得最小值，最小值为．

即在上的值域为．

18. 已知函数，.

（1）判断函数的奇偶性并予以证明；

（2）若存在使得不等式成立，求实数的最大值.

【答案】（1）偶函数，证明见解析   

（2）1

【解析】

【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断并证明即可；

（2）转化问题为，进而根据函数的单调性求解即可.

【小问1详解】

函数为偶函数，证明如下：

，

由，解得，

的定义域为，关于原点对称，

，

为偶函数.

【小问2详解】

若存在使得不等式成立，

，

而，，

函数在上单调递增，在上单调递减，

函数在上单调递增，在上单调递减，

，

，即，

实数的最大值为1.

19. 如图，在平面四边形中，，，.

（1）求；

（2）若，，，四点共圆，求四边形面积的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理可求得，进而得解；

（2）由题意知，利用余弦定理结合基本不等式可知，进而利用面积公式求解即可.

【小问1详解】

在中，由正弦定理得，

所以.

又，所以，

则

【小问2详解】

因为，，，四点共圆，所以，.

在中，由余弦定理得，

即，

化简得，当且仅当时取等号.

所以的面积.

又，

则四边形的面积.

故四边形面积的最大值为.

20. 为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座．已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1．

（1）假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话，求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；

（2）根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗？（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）

（参考数据：，，，）

【答案】（1）0.271   

（2）2次

【解析】

【分析】（1）用概率乘法即可得出被电信诈骗的概率；

（2）求出宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为，10位居民有人被骗，则，解不等式可得，再由函数的单调性即可得出结论.

【小问1详解】

记事件：该社区这一天有人被骗，则，

∴该社区这一天有人被电信诈骗的概率为0.271．

【小问2详解】

设宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为，

事件：10位居民有人被骗，则．

即，∴

∴

∴  ∴

又函数在上单调递减，当时，；当时，，

∴，即至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗．

21. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点，点在线段上．

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意得，取的中点，则，因为平面平面，所以平面，，又，所以平面，从而，利用线面垂直的判定定理可得结论；

（2）由平面，故为与平面所成的角，可求得，由题意可得为线段的中点，取的中点为，则，所以平面，则，过点作，垂足为，则，所以为二面角的平面角，求解即可．

【小问1详解】

因为，，所以为等边三角形，

因为为的中点，所以．

取的中点，连接，，则，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，又平面，所以，

因为，，，平面，所以平面，

因为平面，所以，

又因为，，平面，所以平面．

  【小问2详解】

由（1）知，平面，故为与平面所成的角，

∴，∴，

又平面，平面，所以，

，，∴，

∴，即为线段的中点．

取的中点为，连接，因为为线段的中点，

所以，，

又平面，所以平面，平面．

所以，过点作，垂足为，连接，

，，平面，所以平面．

平面，所以，

所以为二面角的平面角．

在等边三角形中，，

由（1）知，平面，平面．所以，

在中，，

由，即，解得．

因为平面，平面，所以，

在中，，

所以，

即二面角的平面角的余弦值为．

22. 已知．

（1）若，求函数在上的最小值；

（2）若对于任意的实数恒成立，求a的取值范围；

（3）当时，求函数在上的最小值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）详见解析.
 

【解析】

【分析】（1）将代入后，利用基本不等式可求得其最小值；

（2）将问题转化为对于任意的实数恒成立，然后利用绝对值三角不等式求出的最大值，使其最大值小于等于1，从而可求出a的取值范围；

（3）先求出的表达式，利用零点分段法，分和两种情况讨论求解函数的最小值

【小问1详解】

，且时，，

当且仅当时，等号成立，

即函数的最小值为；

【小问2详解】

对于任意的实数恒成立，

即对于任意的实数恒成立，

即对于任意的实数恒成立，

即对于任意的实数恒成立，

，

当且仅当与同号时取等号，

∴，则，

∴取值范围是；

【小问3详解】

的范围是．

，

①当时，由（2）得，

故当，即时，；

当，即时，．

当时，的范围不符合．

②当时，；．

画出和的大致图象如下图所示：

故当，即时，．

当，即时，

（ⅰ）时，．

（ⅱ），

．

综上所述：时，；

时，；

时，；

时，．