2019年海南省中考数学试卷与答案

2019年海南省中考数学试卷

一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）

1．如果收入100元记作+100元，那么支出100元记作（　　）

A．﹣100元    B．+100元   C．﹣200元   D．+200元

2．当m＝﹣1时，代数式2m+3的值是（　　）

A．﹣1    B．0    C．1   D．2

3．下列运算正确的是（　　）

A．a•a2＝a3   B．a6÷a2＝a3  C．2a2﹣a2＝2  D．（3a2）2＝6a4

4．分式方程＝1的解是（　　）

A．x＝1   B．x＝﹣1   C．x＝2   D．x＝﹣2

5．海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于2020年4月份完工，该项目总投资3710000000元．数据3710000000用科学记数法表示为（　　）

A．371×107   B．37.1×108   C．3.71×108   D．3.71×109

6．如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（　　）

A．  B．  C．  D．

7．如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　）

A．a＜0    B．a＞0    C．a＜2    D．a＞2

8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣1）  B．（1，0）  C．（﹣1，0）  D．（3，0）

9．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（　　）

A．20°    B．35°    C．40°    D．70°

10．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

11．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（　　）

A．12    B．15    C．18    D．21

12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）

13．因式分解：ab﹣a＝　           　．

14．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　     　度．

15．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝　     　．

16．有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是　   　，这2019个数的和是　  　．

三、解答题（本大题满分68分）

17．（12分）（1）计算：9×3﹣2+（﹣1）3﹣；

（2）解不等式组，并求出它的整数解．

18．（10分）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？

19．（8分）为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：

（1）本次调查一共随机抽取了　  　个参赛学生的成绩；

（2）表1中a＝　  　；

（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是　  　；

（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有　   　人．

表1 知识竞赛成绩分组统计表

20．（10分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的

北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．

（1）填空：∠BAC＝　 　度，∠C＝　 　度；

（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．

21．（13分）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．

（1）求证：△PDE≌△QCE；

（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，

①求证：四边形AFEP是平行四边形；

②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．

①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年海南省中考数学试卷解析

1． A．2． C．3．A．4．B．5．D．6．D．7．D．8．C9．C．10． D．11． C．12． B．

13． a（b﹣1）．14． 144．　15． 　16． 0，2．

17．解：（1）原式＝9×﹣1﹣2＝3﹣1﹣2＝0；

（2）解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，

解不等式x+4＞3x，得：x＜2，

则不等式组的解集为﹣1＜x＜2，

所以不等式组的整数解为0、1．

18．解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，

由题意得：，解得：；

答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．

19．解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），

故答案为50；

（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8，

故答案为8；

（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组，

故答案为C；

（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人），

故答案为320．

20．解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，

∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°；

故答案为：30，45；

（2）∵BP⊥AC，

∴∠BPA＝∠BPC＝90°，

∵∠C＝45°，

∴△BCP是等腰直角三角形，

∴BP＝PC，

∵∠BAC＝30°，

∴PA＝BP，

∵PA+PC＝AC，

∴BP+BP＝10，

解得：BP＝5﹣5，

答：观测站B到AC的距离BP为（5﹣5）海里．

21．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，

∵E是CD的中点，∴DE＝CE，

又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE（ASA）；

（2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，

∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，

∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，

∵EF∥BQ，∴PF＝BF，

∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，

∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥AF，

∵EF∥BQ∥AD，

∴四边形AFEP是平行四边形；

②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．

设AP＝x，则PD＝1﹣x，

若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，

∵CD＝1，E是CD中点，∴DE＝，

在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，

解得x＝，即当AP＝时，四边形AFEP是菱形．

22．解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，

令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，即点C（﹣1，0）；

（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1…②，

设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），

S△PBC＝PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，

∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；

②设直线BP与CD交于点H，

当点P在直线BC下方时，

∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），

过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，

设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：

直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，

同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，

联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），

同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，

联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），故点P（﹣，﹣）；

当点P（P′）在直线BC上方时，

∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，

则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，

即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，

联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），故点P（0，5）；

故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．