2023-2024学年山东省菏泽市牡丹二十二中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省菏泽市牡丹二十二中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史下列由黑白棋子摆成的图案既是轴对称图形也是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列方程一定是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若分式中，都扩大到原来的倍，则分式的值是(    )

A. 扩大到原来倍 B. 缩小倍 C. 是原来的 D. 不变

4.  将方程配方后，原方程变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为设道路的宽为，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  若不等式组的解集是，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于的方程的解为正数，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

9.  如图，将含有角的直角三角尺绕直角顶点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在边上，连接，，则下列结论：；为的垂直平分线；平分；为等边三角形其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，等腰的斜边在轴的正半轴上，为坐标原点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为______ ．

13.  若关于的方程有增根，则______．

14.  已知，则分式的值为______ ．

15.  如图，平行四边形的周长是，，相交于点，交于点，则的周长是______．

16.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______ ．

17.  如图，在中，，，，是边上一点，为边上的中点，点，分别为，的中点，的值是______ ．

18.  如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点给出下列结论：
≌；
；
四边形的面积为正方形面积的；
．
其中正确的是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程；
解不等式组；
先化简，再求值：，其中，满足．

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标；
将绕点按顺时针方向旋转得到，作出；
若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标．

21.  本小题分
如图，在▱中，平分，交于点，平分，交于点求证：四边形是平行四边形．

22.  本小题分
如图，矩形中，对角线、交于点，，，试判断四边形是何特殊四边形，并加以证明．

23.  本小题分
某中学计划购买、两种学习用品奖励学生，已知购买一个比购买一个多用元，若用元购买的数量是用元购买数量的一半．
求、两种学习用品每件各需多少元？
经商谈，商店给该校购买一个奖品赠送一个奖品的优惠，如果该校需要奖品的个数是奖品个数的倍还多个，且该学校购买、两种奖品的总费用不超过元，那么该校最多可购买多少个奖品？

24.  本小题分
如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
求证：；
当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．
若边上存在点，使四边形是正方形，猜想的形状并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
B、图形是轴对称图形不是中心对称图形；
C、图形不是轴对称图形是中心对称图形；
D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：．
根据轴对称的概念：折叠后能够完全重合的两个图形是轴对称图形，中心对称图形：旋转后能够完全重合的图形是中心对称图形．
本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，熟记对应概念是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：方程是一元二次方程，选项A符合题意；
B.原方程整理得，
方程是一元一次方程，
选项B不符合题意；
C.方程不是整式方程，选项C不符合题意；
D.当时，原方程为，
方程是一元一次方程，
选项D不符合题意．
故选：．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

4.【答案】 

【解析】解：移项得，，
配方得，，
即，
故选：．
把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质可得，，由平分得，由平行线的性质得，运用等量代换得，从而得到为等腰三角形，计算出的长度，由可求得的长度，继而得到的长．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．能证得是等腰三角形是解此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：道路的宽为，
种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形．
根据题意得：．
故选：．
由道路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
且不等式组的解集为，
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：原分式方程可化为：，
解得，
解为正数，，
，
，
且，
故选：．
原分式方程可化为：，求出解，再根据解为正数，，列不等式，求出公共的解集．
本题考查了分式方程解、解一元一次不等式，掌握解分式方程的步骤及最简公分母不为，列出不等式是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
由旋转性质可知≌，
，，
为等边三角形，故结论正确；
，
，
，
，
，
，
，故结论正确；
，，
为等边三角形，
，
又，
，
为的垂直平分线，故结论正确；
，
，
，
，
，
，
，
平分不正确，故错误．
综上所述，结论正确的为．
故选：．
先利用旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，故结论正确；结合，则，再计算出，可对进行判断；接着证明为等边三角形，可得到，加上，则根据线段垂直平分线的判定方法可对进行判断；证明，然后根据平行线和等腰三角形的性质，则可对进行判断；即可得出结论．
本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的判定与性质等，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：连接，过点作，如图所示，

由题意得：是的角平分线，是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，点的坐标为，
，，
，
由题意得：，
，
点的坐标为，
故选：．
连接，过点作，根据是等腰直角三角形得到即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键．

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

12.【答案】 

【解析】解：把点代入，
即，
解得，
即，
同理可得在中，即函数解析式为，
观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的上方，
关于的不等式的解集是．
故答案为：．
观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解；方程两边都乘，得
，
原方程有增根，
最简公分母，即，
把代入整式方程，得．
故答案为．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程算出未知字母的值．
本题考查了分式方程的增根问题，对于此问题可按如下步骤进行：
让最简公分母为，确定增根；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

14.【答案】 

【解析】解：，
，
则，




．
故答案为：．
由题意可得，再把所给的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
▱的周长为，
，
，
是线段的中垂线，
，
的周长，
故答案为：．
先判断出是的中垂线，得出，从而可得出的周长，再由▱的周长为，即可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出是线段的中垂线．

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，得：，
解得：，或舍去，
故答案为：．
根据的方程有两个相等的实数根得到，列出的方程，求出的值即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数；方程没有实数根．

17.【答案】 

【解析】解：连接，
，，，
，
为边上的中点，
，
点，分别为，中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
连接，由勾股定理得到，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理得到．
本题考查直角三角形斜边中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，故正确；
≌，
，
四边形为正方形，
，
，故正确；
由全等可得四边形的面积与面积相等，
四边形的面积为正方形面积的，故正确；
在中，，根据勾股定理，得：，
，
，
，故正确；
综上所述，正确的是，
故答案为：．
利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出≌．

19.【答案】解：，
移项，得，
配方，得，即，
解得，
，；
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集是；



，
，
，
原式． 

【解析】先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，然后直接开方法求的值即可；
分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可；
利用乘法法则去括号，合并同类项，由得到，整体代入计算即可．
本题考查了解一元一次不等式组、分式的化简求值、配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握有关法则，以及掌握解一元一次不等式的一般步骤，通分、约分，还有掌握配方法解方程的一般步骤．

20.【答案】解：如图所示．
点，．
如图所示．
如图，点即为所求的旋转中心，
旋转中心的坐标为． 

【解析】根据平移的性质作图，可得出答案．
根据旋转的性质作图，可得出答案．
连接，，，再分别作出线段，，的垂直平分线，交点即为所求的旋转中心，可得出答案．
本题考查作图旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键．

21.【答案】证明：平分，平分，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
又，
四边形为平行四边形． 

【解析】利用角平分线的性质再结合平行四边形的性质进而得出，即可得出结论．
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

22.【答案】解：菱形．
证明：，
四边形为平行四边形
又四边形是矩形

四边形为菱形． 

【解析】由平行线可得四边形为平行四边形，又矩形对角线互相平分且相等，则可得四边形为菱形．
本题主要考查了平行四边形的判定及矩形的性质以及菱形的判定问题，应熟练掌握．

23.【答案】解：设种学习用品每件元钱，则种学习用品每件元钱，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：种学习用品每件元钱，则种学习用品每件元钱；
设该校可购买个奖品，则可购买个奖品，
由题意得：，
解得：，
答：该校最多可购买个奖品． 

【解析】设种学习用品每件元钱，则种学习用品每件元钱，由题意：用元购买的数量是用元购买数量的一半．列出分式方程，解方程即可；
设该校可购买个奖品，则可购买个奖品，由题意：商店给该校购买一个奖品赠送一个奖品的优惠，且该公司购买、两种奖品的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

24.【答案】证明：交的平分线于点，交的外角平分线于点，
，，
，
，，
，，
，，
；

当点在边上运动到中点时，四边形是矩形．
证明：当为的中点时，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．

是直角三角形，
理由：四边形是正方形，
，故，
，
，
，
是直角三角形． 

【解析】此题主要考查了矩形和正方形的性质，关键是掌握矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，进而得出答案；
根据，可得四边形平行四边形，再证明利用矩形的判定得出即可；
利用正方形的性质得出，再利用平行线的性质得出，即可得出答案．