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专题15 圆锥曲线压轴大题（十大题型）-备战2023-2024学年高三数学上学期期中真题分类汇编（全国通用）
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这是一份专题15 圆锥曲线压轴大题（十大题型）-备战2023-2024学年高三数学上学期期中真题分类汇编（全国通用），文件包含专题15圆锥曲线压轴大题十大题型原卷版docx、专题15圆锥曲线压轴大题十大题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共149页， 欢迎下载使用。
专题15圆锥曲线压轴大题
相关点法求轨迹方程
1．（江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学2022-2023学年高三上学期期中）已知双曲线C的方程为．
(1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值；
(2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程．
2．（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考期中）已知A是圆O：x2+y2＝4上一动点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，动点D满足.
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）垂直于x轴的直线M交轨迹C于M、N两点，点P（3，0），直线PM与轨迹C的另一个交点为Q.问：直线NQ是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
3．（湖南省衡阳市第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．
(1)求线段的中点C的轨迹方程；
(2)若直线．
①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；
②求直线l被曲线C截得的最短弦长．
4．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）已知圆，点．
(1)直线l过点P且与圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程；
(2)若动圆D经过点P且与圆C外切，求动圆的圆心D的轨迹方程；
(3)是否存在异于点P的点Q，使得对于圆C上任意一点M，均有为常数？若存在，求出点Q坐标和常数的值；若不存在，也请说明理由．
5．（江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期中）已知在平面直角坐标系中，坐标原点为，点，、两点分别在轴和轴上运动，并且满足，，动点的轨迹为曲线.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）作曲线的任意一条切线（不含轴），直线与切线相交于点，直线与切线、轴分别相交于点与点，试探究的值是否为定值，若为定值请求出该定值；若不为定值请说明理由.
交轨法求轨迹方程
6．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.
7．（安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期期中）已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程．
8．（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期期中考）已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过三点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，求直线与直线的交点的轨迹方程.
10．（2022秋·山东烟台·高三统考期中）已知双曲线的左､右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求直线和交点的轨迹方程.
参数法求轨迹方程
11．（福建省龙岩市永定区坎市中学2023届高三上学期期中）
如图，过抛物线（＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．
⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标
⑵求弦AB中点M的轨迹方程
13．（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期期中考）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ），为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.
14．（江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高三上学期期中）已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．
（1）若直线过焦点，且，求的值；
（2）已知点，记直线，的斜率分别为，，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．
求参数范围及最值问题
15．（江苏省南京东山外国语学校2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
16．（福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三期中）已知，为椭圆C的左右焦点，且抛物线的焦点为，M为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求的取值范围.
17．（2022秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校期中）已知为坐标平面上的动点，且直线与直线的斜率之积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点斜率为的直线与曲线交于不同的两点中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，求证为定值；
(3)在（2）的条件下，设，且，求直线在轴上的截距的变化范围．
18．（2022秋·福建泉州·高三泉州五中校考期中）设分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值．
19．（山东省青岛市青岛第十九中学2022-2023学年高三上学期期中）椭圆的左焦点为，右顶点为，且，椭圆离心率．
(1)求椭圆方程；
(2)过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于，两点，已知点，当时，求满足的直线的斜率的取值范围．
20．（广东省广州六中2023届高三上学期期中）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．
定点问题
21．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线：与曲线交于两点，问曲线上是否存在两点满足，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.
22．（辽宁省六校2022-2023学年高三上学期期中）在直角坐标系中，抛物线的顶点是双曲线的中心，抛物线的焦点与双曲线的焦点相同．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点为抛物线上的定点，，为抛物线上两个动点.且，问直线是否经过定点?若是，求出该定点，若不是，请说明理由．
23．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点.
24．（黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学2022-2023学年高三上学期期中）双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.
25．（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点．
(1)求四边形面积的最小值；
(2)直线是否过定点？若过定点，求此定点坐标；若不过定点，请说明．
26．（辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中）已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点两点都在轴上方，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.
27．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，点在上，．
(1)求；
(2)过点作直线，与交于，两点，关于轴的对称点为．判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．
定值问题
28．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
29．（2022秋·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学上学期期中）已知椭圆，，是C的左、右焦点，过的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且的周长为，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，证明:为定值.
30．（山东省聊城市第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知双曲线与椭圆的焦点重合，且与的离心率之积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左､右顶点分别为，若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于两点，记直线的斜率为的斜率为，那么是否为定值？并说明理由．
31．（2022秋·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考期中）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.
32．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）已知随圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为.
(1)求的方程.
(2)设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点（不同于左右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则是否存在实常数，使得恒成立.
33．（江苏省无锡市2022-2023学年高三上学期期中）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；
(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.
34．（2023届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中）已知椭圆，四点，，中恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线过椭圆右焦点交椭圆于A，两点，在轴上是否存在一定点使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
定直线问题
35．（2022秋·黑龙江牡丹江·牡丹江一中上学期期中）以椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为，一个焦点
(1)求椭圆的标准方程
(2)过F的直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在一条定直线：，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列？若存在，求出直线的方程，若不存在说明理由
36．（重庆市杨家坪中学2023届高三上学期期中）已知直线，圆.
(1)证明：直线与圆相交；
(2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
37．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该定直线的方程.
38．（海南省琼海市嘉积第三中学2023届高三上学期期中）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：
①为定值；
②点M在定直线上.
39．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
40．（2022秋·山西阳泉·高三统考期中）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
41．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，当l与x轴垂直时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与直线交于点P，证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程．
向量共线问题
42．（广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2023届高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P.
(1)若，求的方程；
(2)若，求.
43．（海南省琼海市嘉积中学2023届高三上学期期中）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果，求椭圆C的方程.
44．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点．
(1)求椭圆的焦距和离心率；
(2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线；
(3)若是椭圆上的点，且，求的面积．
45．（2022秋·河南安阳·高三统考期中）已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.
46．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.
47．（广东省罗定中学城东学校2023届高三上学期期中）已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．
48．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
(2)若，求的面积；
(3)设直线与直线交于点，证明：三点共线．
面积问题
49．（山西省运城市2023届高三上学期期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)延长，并与椭圆分别相交于两点，求的面积.
50．（江苏省常州市横林高级中学 2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率，且________．在①过点；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为1；③长轴长为4；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点．当直线l的倾斜角为时，求的面积．
51．（河北省石家庄精英中学2023届高三上学期期中）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，记点．
(1)求的轨迹方程；
(2)若直线与曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积．
52．（广东省江门市新会区新会陈经纶中学2022-2023学年高三上学期期中）已知点在椭圆C：上，点在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记，分别为，的面积，若，求m的值.
53．（河北省张家口市第一中学2023届高三上学期期中）已知离心率的椭圆C：的一个焦点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
(3)设M是椭圆C上的点，，为椭圆的焦点，，求的面积．
54．（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期中）在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点.
(1)求双曲线的方程;
(2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求点的坐标,使得的面积最小.
55．（湖南省岳阳市第一中学2023届高三上学期期中）在平面直角坐标系中，过椭圆M：的右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求椭圆M的方程;
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线，求四边形面积的最大值.
切线问题
56．（湖南省常德市五校联盟2022-2023学年高三上学期期中）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．
57．（黑龙江省大庆中学2022-2023学年高三上学期期中）已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．
(1)求的轨迹的方程；
(2)过的直线交于两点，在第一象限，在处的切线为交轴于点，过作的平行线交于点是否存在最大值？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
58．（河北省五个一联盟2023届高三上学期期中）点为抛物线上一点，为其焦点，已知．
(1)求与的值；
(2)以点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求的面积．
59．（河北省唐山市第十-中学2023届高三上学期期中）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；
(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
60．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）如图，已知平行四边形ABCD与椭圆相切，且，，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上位于第一象限一动点，且点处的切线与AB，AD分别交于点E，F.证明：为定值.
61．（2022秋·江苏淮安·高三统考期中）已知椭圆．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；
(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．
62．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，若直线，的斜率分别为，，且．
(1)求圆的半径；
(2)探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
1．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学上学期期中）已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与交于两点，当时，.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设线段的中垂线与轴交于点，抛物线在两点处的切线相交于点，设两点到直线的距离分别为，求的值.
2．（江苏省盐城市四校2023届高三上学期期中）已知椭圆的两焦点分别为，A是椭圆上一点，当时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，线段的中点为，过作垂直轴的直线在第二象限交椭圆于点S，过S作椭圆的切线，的斜率为，求的取值范围.
3．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知圆：与轴相交于，两点（点在轴的上方），过点作圆的切线，是平面内一动点，过点作的垂线，垂足为，且，记点的运动轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值.
4．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知椭圆经过点，且离心率为，为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，连接，，．
(1)证明：直线经过定点；
(2)若记、的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程．
参考结论：为椭圆上一点，则过点的椭圆的切线方程为．
5．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）已知椭圆C：的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为，．
①求证：为定值；
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
6．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）已知动圆恒过定点，圆心到直线的距离为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．
7．（福建省南平市浦城县第三中学2023届高三上学期期中）如图所示，在直角坐标系xOy中，椭圆C：，直线l：，点P是直线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，连接OP，交AB于点M．
(1)求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标；
(2)设的面积为，的面积为，求的值．
8．（辽宁省沈阳市四校2023届高三上学期期中）已知以为焦点的椭圆过，记椭圆的另一个焦点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线是曲线的切线，且与直线和分别交于点，与轴交于点，求证：为定值.
9．（2022秋·山东·高三山东师范大学附中校考期中）已知的焦点为，且经过的直线被圆截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为，若过点作直线与抛物线相交于不同的两点，，过点，作抛物线的切线分别与直线，相交于点，，请问直线是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
10．（湖南省岳阳市第五中学2022-2023学年高三上学期期中）在中，点，，的周长为6.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若椭圆上点处的切线方程是，
①过直线上一点引的两条切线，切点分别是、，求证：直线恒过定点；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
11．（广东省广州市白云中学2023届高三上学期期中）已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、．求证：为定值．
12．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）已知经过点的椭圆的上焦点与抛物线焦点重合，过椭圆上一动点作抛物线的两条切线，切点分别为．
(1)求和的方程；
(2)当在椭圆位于轴下方的曲线上运动时，试求面积的最大值．
13．（河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，，为线段的中点，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知圆，为圆上任意一点，过点作椭圆的切线，交圆于点，若与斜率都存在，求证：为定值．
14．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任意一点，、斜率之积为，且的面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线交椭圆于另一点，分别过、作椭圆的切线，这两条切线交于点，证明：.
专题15圆锥曲线压轴大题
相关点法求轨迹方程
1．（江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学2022-2023学年高三上学期期中）已知双曲线C的方程为．
(1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值；
(2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程．
2．（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考期中）已知A是圆O：x2+y2＝4上一动点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，动点D满足.
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）垂直于x轴的直线M交轨迹C于M、N两点，点P（3，0），直线PM与轨迹C的另一个交点为Q.问：直线NQ是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
3．（湖南省衡阳市第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）在直角坐标系中，线段，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动．
(1)求线段的中点C的轨迹方程；
(2)若直线．
①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点；
②求直线l被曲线C截得的最短弦长．
4．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）已知圆，点．
(1)直线l过点P且与圆C相交于A，B两点，若，求直线l的方程；
(2)若动圆D经过点P且与圆C外切，求动圆的圆心D的轨迹方程；
(3)是否存在异于点P的点Q，使得对于圆C上任意一点M，均有为常数？若存在，求出点Q坐标和常数的值；若不存在，也请说明理由．
5．（江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期中）已知在平面直角坐标系中，坐标原点为，点，、两点分别在轴和轴上运动，并且满足，，动点的轨迹为曲线.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）作曲线的任意一条切线（不含轴），直线与切线相交于点，直线与切线、轴分别相交于点与点，试探究的值是否为定值，若为定值请求出该定值；若不为定值请说明理由.
交轨法求轨迹方程
6．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.
7．（安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期期中）已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程．
8．（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期期中考）已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过三点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，求直线与直线的交点的轨迹方程.
10．（2022秋·山东烟台·高三统考期中）已知双曲线的左､右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求直线和交点的轨迹方程.
参数法求轨迹方程
11．（福建省龙岩市永定区坎市中学2023届高三上学期期中）
如图，过抛物线（＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．
⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标
⑵求弦AB中点M的轨迹方程
13．（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期期中考）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ），为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.
14．（江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高三上学期期中）已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．
（1）若直线过焦点，且，求的值；
（2）已知点，记直线，的斜率分别为，，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．
求参数范围及最值问题
15．（江苏省南京东山外国语学校2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
16．（福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三期中）已知，为椭圆C的左右焦点，且抛物线的焦点为，M为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，О为坐标原点，且，若椭圆C上存在一点E，使得四边形OAED为平行四边形，求的取值范围.
17．（2022秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校期中）已知为坐标平面上的动点，且直线与直线的斜率之积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点斜率为的直线与曲线交于不同的两点中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，求证为定值；
(3)在（2）的条件下，设，且，求直线在轴上的截距的变化范围．
18．（2022秋·福建泉州·高三泉州五中校考期中）设分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值．
19．（山东省青岛市青岛第十九中学2022-2023学年高三上学期期中）椭圆的左焦点为，右顶点为，且，椭圆离心率．
(1)求椭圆方程；
(2)过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于，两点，已知点，当时，求满足的直线的斜率的取值范围．
20．（广东省广州六中2023届高三上学期期中）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．
定点问题
21．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线距离的倍，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线：与曲线交于两点，问曲线上是否存在两点满足，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.
22．（辽宁省六校2022-2023学年高三上学期期中）在直角坐标系中，抛物线的顶点是双曲线的中心，抛物线的焦点与双曲线的焦点相同．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点为抛物线上的定点，，为抛物线上两个动点.且，问直线是否经过定点?若是，求出该定点，若不是，请说明理由．
23．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点.
24．（黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学2022-2023学年高三上学期期中）双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.
25．（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点．
(1)求四边形面积的最小值；
(2)直线是否过定点？若过定点，求此定点坐标；若不过定点，请说明．
26．（辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中）已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点两点都在轴上方，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.
27．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，点在上，．
(1)求；
(2)过点作直线，与交于，两点，关于轴的对称点为．判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．
定值问题
28．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆的上、下顶点分别为，已知点在直线：上，且椭圆的离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求的值．
29．（2022秋·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学上学期期中）已知椭圆，，是C的左、右焦点，过的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且的周长为，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，证明:为定值.
30．（山东省聊城市第二中学2022-2023学年高三上学期期中）已知双曲线与椭圆的焦点重合，且与的离心率之积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左､右顶点分别为，若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于两点，记直线的斜率为的斜率为，那么是否为定值？并说明理由．
31．（2022秋·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考期中）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.
32．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）已知随圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为.
(1)求的方程.
(2)设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点（不同于左右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则是否存在实常数，使得恒成立.
33．（江苏省无锡市2022-2023学年高三上学期期中）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；
(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.
34．（2023届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中）已知椭圆，四点，，中恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线过椭圆右焦点交椭圆于A，两点，在轴上是否存在一定点使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
定直线问题
35．（2022秋·黑龙江牡丹江·牡丹江一中上学期期中）以椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为，一个焦点
(1)求椭圆的标准方程
(2)过F的直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在一条定直线：，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列？若存在，求出直线的方程，若不存在说明理由
36．（重庆市杨家坪中学2023届高三上学期期中）已知直线，圆.
(1)证明：直线与圆相交；
(2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
37．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知抛物线和圆，倾斜角为的直线过焦点，且与相切.
(1)求抛物线的方程；
(2)动点在的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设，证明点在定直线上，并求该定直线的方程.
38．（海南省琼海市嘉积第三中学2023届高三上学期期中）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：
①为定值；
②点M在定直线上.
39．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
40．（2022秋·山西阳泉·高三统考期中）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
41．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，当l与x轴垂直时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与直线交于点P，证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程．
向量共线问题
42．（广东省深圳市南山区北京师范大学南山附属学校2023届高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P.
(1)若，求的方程；
(2)若，求.
43．（海南省琼海市嘉积中学2023届高三上学期期中）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果，求椭圆C的方程.
44．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点．
(1)求椭圆的焦距和离心率；
(2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线；
(3)若是椭圆上的点，且，求的面积．
45．（2022秋·河南安阳·高三统考期中）已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.
46．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.
47．（广东省罗定中学城东学校2023届高三上学期期中）已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．
48．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
(2)若，求的面积；
(3)设直线与直线交于点，证明：三点共线．
面积问题
49．（山西省运城市2023届高三上学期期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)延长，并与椭圆分别相交于两点，求的面积.
50．（江苏省常州市横林高级中学 2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率，且________．在①过点；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为1；③长轴长为4；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点．当直线l的倾斜角为时，求的面积．
51．（河北省石家庄精英中学2023届高三上学期期中）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，记点．
(1)求的轨迹方程；
(2)若直线与曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积．
52．（广东省江门市新会区新会陈经纶中学2022-2023学年高三上学期期中）已知点在椭圆C：上，点在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记，分别为，的面积，若，求m的值.
53．（河北省张家口市第一中学2023届高三上学期期中）已知离心率的椭圆C：的一个焦点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
(3)设M是椭圆C上的点，，为椭圆的焦点，，求的面积．
54．（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期中）在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点.
(1)求双曲线的方程;
(2)在轴上是否存在一点,使得,若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)求点的坐标,使得的面积最小.
55．（湖南省岳阳市第一中学2023届高三上学期期中）在平面直角坐标系中，过椭圆M：的右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求椭圆M的方程;
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线，求四边形面积的最大值.
切线问题
56．（湖南省常德市五校联盟2022-2023学年高三上学期期中）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．
57．（黑龙江省大庆中学2022-2023学年高三上学期期中）已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．
(1)求的轨迹的方程；
(2)过的直线交于两点，在第一象限，在处的切线为交轴于点，过作的平行线交于点是否存在最大值？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
58．（河北省五个一联盟2023届高三上学期期中）点为抛物线上一点，为其焦点，已知．
(1)求与的值；
(2)以点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求的面积．
59．（河北省唐山市第十-中学2023届高三上学期期中）已知双曲线为其左右焦点，点为其右支上一点，在处作双曲线的切线.
(1)若的坐标为，求证：为的角平分线；
(2)过分别作的平行线，其中交双曲线于两点，交双曲线于两点，求和的面积之积的最小值.
60．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）如图，已知平行四边形ABCD与椭圆相切，且，，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上位于第一象限一动点，且点处的切线与AB，AD分别交于点E，F.证明：为定值.
61．（2022秋·江苏淮安·高三统考期中）已知椭圆．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为；
(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值．
62．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，若直线，的斜率分别为，，且．
(1)求圆的半径；
(2)探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
1．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学上学期期中）已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与交于两点，当时，.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设线段的中垂线与轴交于点，抛物线在两点处的切线相交于点，设两点到直线的距离分别为，求的值.
2．（江苏省盐城市四校2023届高三上学期期中）已知椭圆的两焦点分别为，A是椭圆上一点，当时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，线段的中点为，过作垂直轴的直线在第二象限交椭圆于点S，过S作椭圆的切线，的斜率为，求的取值范围.
3．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知圆：与轴相交于，两点（点在轴的上方），过点作圆的切线，是平面内一动点，过点作的垂线，垂足为，且，记点的运动轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与曲线相交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值.
4．（2022秋·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）已知椭圆经过点，且离心率为，为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，连接，，．
(1)证明：直线经过定点；
(2)若记、的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程．
参考结论：为椭圆上一点，则过点的椭圆的切线方程为．
5．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）已知椭圆C：的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为，．
①求证：为定值；
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
6．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）已知动圆恒过定点，圆心到直线的距离为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．
7．（福建省南平市浦城县第三中学2023届高三上学期期中）如图所示，在直角坐标系xOy中，椭圆C：，直线l：，点P是直线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，连接OP，交AB于点M．
(1)求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标；
(2)设的面积为，的面积为，求的值．
8．（辽宁省沈阳市四校2023届高三上学期期中）已知以为焦点的椭圆过，记椭圆的另一个焦点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线是曲线的切线，且与直线和分别交于点，与轴交于点，求证：为定值.
9．（2022秋·山东·高三山东师范大学附中校考期中）已知的焦点为，且经过的直线被圆截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为，若过点作直线与抛物线相交于不同的两点，，过点，作抛物线的切线分别与直线，相交于点，，请问直线是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
10．（湖南省岳阳市第五中学2022-2023学年高三上学期期中）在中，点，，的周长为6.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若椭圆上点处的切线方程是，
①过直线上一点引的两条切线，切点分别是、，求证：直线恒过定点；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
11．（广东省广州市白云中学2023届高三上学期期中）已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、．求证：为定值．
12．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）已知经过点的椭圆的上焦点与抛物线焦点重合，过椭圆上一动点作抛物线的两条切线，切点分别为．
(1)求和的方程；
(2)当在椭圆位于轴下方的曲线上运动时，试求面积的最大值．
13．（河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，，为线段的中点，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知圆，为圆上任意一点，过点作椭圆的切线，交圆于点，若与斜率都存在，求证：为定值．
14．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任意一点，、斜率之积为，且的面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线交椭圆于另一点，分别过、作椭圆的切线，这两条切线交于点，证明：.
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